1、2.1.22.1.2函数的表示方法函数的表示方法目标导航目标导航课标要求课标要求1.1.掌握函数的三种表示方法掌握函数的三种表示方法,能根据需要选择恰当的方式能根据需要选择恰当的方式表示函数表示函数.2.2.理解分段函数理解分段函数,会求分段函数的值会求分段函数的值.素养达成素养达成通过学习函数的三种表示方法通过学习函数的三种表示方法,明确它们各自的优缺点明确它们各自的优缺点,培培养学生数形结合解决问题的能力养学生数形结合解决问题的能力,以及直观想象、数学运以及直观想象、数学运算的核心素养算的核心素养.新知探求新知探求课堂探究课堂探究新知探求新知探求素养养成素养养成点击进入点击进入 情境导学情
2、境导学知识探究知识探究1.1.函数的表示方法函数的表示方法表示法表示法定义定义列表法列表法通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系图象法图象法用用 表示函数关系表示函数关系解析法解析法用代数式用代数式(解析式解析式)表示函数关系表示函数关系图象图象2.2.在函数的定义域内在函数的定义域内,对于自变量对于自变量x x的不同取值区间的不同取值区间,有着有着 的对应法的对应法则则,这样的函数通常叫做分段函数这样的函数通常叫做分段函数.不同不同【拓展延伸拓展延伸】1.1.函数的表示方法函数的表示方法2.2.关于分段函数的几点说明关于分段函数的几点说明(1
3、)(1)分段函数是一个函数而不是几个函数分段函数是一个函数而不是几个函数.处理分段函数问题时处理分段函数问题时,首先要确首先要确定自变量的数值属于哪一个范围定自变量的数值属于哪一个范围,从而选择相应的对应关系从而选择相应的对应关系.(2)(2)分段函数的图象分段函数的图象,应根据不同定义域上的解析式分别画出应根据不同定义域上的解析式分别画出,再将它们组再将它们组合在一起得到整个分段函数的图象合在一起得到整个分段函数的图象.特别要考虑区间端点是否包含在内特别要考虑区间端点是否包含在内,若端点包含在内若端点包含在内,则用实心点则用实心点“”表示表示;若端点不包含在内若端点不包含在内,则用空心圆则用
4、空心圆圈圈“”表示表示.(3)(3)写分段函数的定义域时写分段函数的定义域时,要注意区间端点值的取舍要注意区间端点值的取舍,区间端点应不重不区间端点应不重不漏漏.分段函数的定义域是各段自变量取值范围的并集分段函数的定义域是各段自变量取值范围的并集,各段定义域的交集各段定义域的交集是空集是空集.(4)(4)分段函数的值域是各段函数在相应区间上函数取值集合的并集分段函数的值域是各段函数在相应区间上函数取值集合的并集.3.3.分段函数的定义域是各段定义域的并集分段函数的定义域是各段定义域的并集;分段函数的值域是分别求出各分段函数的值域是分别求出各段上的值域后取并集段上的值域后取并集;分段函数的最大分
5、段函数的最大(小小)值则是分别在每段上求出最大值则是分别在每段上求出最大(小小)值值,然后取各段中的最大然后取各段中的最大(小小)值值.自我检测自我检测1.1.下列图形可作为函数下列图形可作为函数y=f(x)y=f(x)的图象的是的图象的是()D D解析解析:选项选项A A、B B、C C中的图象都存在同一个中的图象都存在同一个x x值与两个值与两个y y值对应的情况不符值对应的情况不符合函数的概念合函数的概念.故选故选D.D.2.2.已知函数已知函数f(x)=xf(x)=x2 2-3x+1,-3x+1,则则f(x-1)f(x-1)的解析式为的解析式为()(A)x(A)x2 2-3x+1-3x
6、+1(B)x(B)x2 2-x-1-x-1(C)x(C)x2 2-5x+5-5x+5(D)x(D)x2 2-2x+1-2x+1C C解析解析:因为因为f(x)=xf(x)=x2 2-3x+1,-3x+1,所以所以f(x-1)=(x-1)f(x-1)=(x-1)2 2-3(x-1)+1=x-3(x-1)+1=x2 2-5x+5.-5x+5.选选C.C.A A4.4.某班连续进行了某班连续进行了5 5次数学测试次数学测试,其中王明的成绩如下表所示其中王明的成绩如下表所示:答案答案:1,2,3,4,51,2,3,4,576,84,88,90,9176,84,88,90,91次数次数1 12 23 3
7、4 45 5分数分数76768484919188889090从这张表中看出这个函数的定义域是从这张表中看出这个函数的定义域是,值域是值域是.类型一类型一 函数的表示方法函数的表示方法课堂探究课堂探究素养提升素养提升解析解析:由题意由题意f(0)=3,f(f(0)=f(3)=-1,f(f(f(0)=f(-1)=2.f(0)=3,f(f(0)=f(3)=-1,f(f(f(0)=f(-1)=2.答案答案:2 2方法技巧方法技巧 用列表法表示的函数用列表法表示的函数,可以直接从表格中寻找自变量对应的函可以直接从表格中寻找自变量对应的函数值及函数值对应的自变量数值及函数值对应的自变量.变式训练变式训练1
8、 1-1:1:已知函数已知函数f(x),g(x)f(x),g(x)分别由下表给出分别由下表给出.x x1 12 23 3f(x)f(x)2 21 11 1则则f(g(1)f(g(1)的值为的值为.解析解析:由第由第2 2个表知个表知g(1)=3,g(1)=3,所以所以f(g(1)=f(3)=1.f(g(1)=f(3)=1.答案答案:1 1x x1 12 23 3g(x)g(x)3 32 21 1变式训练变式训练1-2:1-2:已知函数已知函数y=f(n)y=f(n)满足满足f(1)=1,f(n+1)=f(n)+2n,nf(1)=1,f(n+1)=f(n)+2n,nN N*,求求f(2),f(3
9、),f(4).f(2),f(3),f(4).解解:因为因为f(1)=1,f(1)=1,所以所以f(2)=f(1)+2f(2)=f(1)+21=3,1=3,f(3)=f(2)+2f(3)=f(2)+22=7,2=7,f(4)=f(3)+2f(4)=f(3)+23=13.3=13.类型二类型二 作函数的图象作函数的图象【例例2 2】作出下列函数的图象作出下列函数的图象:(1)y=1-x(x(1)y=1-x(xZ Z且且|x|2);|x|2);(2)y=x(2)y=x2 2-2x-3(x-2x-3(xR R););方法技巧方法技巧 画函数图象时画函数图象时,以定义域、对应法则为依据以定义域、对应法则
10、为依据,采用列表、描点采用列表、描点法作图法作图,当已知是一次式或二次式时当已知是一次式或二次式时,可借助一次函数或二次函数的图象帮可借助一次函数或二次函数的图象帮助作图助作图.作图象时作图象时,应标出某些关键点应标出某些关键点,如图象的顶点、与坐标轴的交点、如图象的顶点、与坐标轴的交点、最高点、最低点等最高点、最低点等.要分清这些关键点是实心点还是空心点要分清这些关键点是实心点还是空心点.(2)y=x(2)y=x2 2-2x+2,x(-1,2;-2x+2,x(-1,2;解解:(2)x(-1,2,(2)x(-1,2,图象如图图象如图.(3)y=|x-1|,x(3)y=|x-1|,xR R.解解
11、:(3)(3)法一法一可用描点作图法可用描点作图法,画出函数图象画出函数图象.法二法二可先作出可先作出y=x-1y=x-1的图象的图象,将将x x轴下方的图象沿轴下方的图象沿x x轴翻折到轴翻折到x x轴上方轴上方,x,x轴上方的图象保持不变可得轴上方的图象保持不变可得y=|x-1|y=|x-1|的图象的图象.如图所示如图所示.类型三类型三 分段函数分段函数思路点拨思路点拨:(1)(1)根据自变量的值所在区间选用相应的关系式求值根据自变量的值所在区间选用相应的关系式求值;(2)(2)作出函数的简图作出函数的简图;(3)(3)求函数的值域求函数的值域.思路点拨思路点拨:(2)(2)分段作出函数的
12、图象分段作出函数的图象;(3);(3)借助图象求函数的值域借助图象求函数的值域.解解:(2)(2)在同一坐标系中分段画出函数的图象在同一坐标系中分段画出函数的图象,如图所示如图所示.(3)(3)由图象可知由图象可知,函数的值域为函数的值域为0,2.0,2.方法技巧方法技巧 分段函数的值域是各段函数值的集合的并集分段函数的值域是各段函数值的集合的并集,求值时求值时,一定要一定要注意所给自变量的值所在的范围注意所给自变量的值所在的范围,代入相应的解析式求得代入相应的解析式求得,有多层有多层“f f”时时,要按照要按照“由里到外由里到外”的顺序的顺序,画图象时画图象时,要注意不同段的图象间的衔接不要
13、注意不同段的图象间的衔接不要出现要出现“一对多一对多”的现象的现象.解解:(1)f(-4)=-4+2=-2,f(3)=2(1)f(-4)=-4+2=-2,f(3)=23=6,3=6,ff(-2)=f(0)=0ff(-2)=f(0)=02 2=0.=0.(2)(2)当当a-1a-1时时,a+2=10,a+2=10,得得a=8,a=8,不符合不符合;当当-1a2-1a2时时,a,a2 2=10,=10,得得a=a=,不符合不符合;当当a2a2时时,2a=10,2a=10,得得a=5.a=5.所以所以a=5.a=5.类型四类型四 实际应用中的分段函数实际应用中的分段函数【例例4 4】漳州市漳州市“网
14、约车网约车”的现行计价标准是的现行计价标准是:路程在路程在2 km2 km以内以内(含含2 km)2 km)按起步价按起步价8 8元收取元收取,超过超过2 km2 km后的路程按后的路程按1.91.9元元/km/km收取收取,但超过但超过10 km10 km后的后的路程需加收路程需加收50%50%的返空费的返空费(即单价为即单价为1.91.9(1+50%)=2.85(1+50%)=2.85元元).).(1)(1)将某乘客搭乘一次将某乘客搭乘一次“网约车网约车”的费用的费用f(x)(f(x)(单位单位:元元)表示为行程表示为行程x(0 xx(0 x60,60,单位单位:km):km)的分段函数的
15、分段函数;(2)(2)某乘客的行程为某乘客的行程为16 km,16 km,他准备先乘一辆他准备先乘一辆“网约车网约车”行驶行驶8 km8 km后后,再换乘再换乘另一辆另一辆“网约车网约车”完成余下行程完成余下行程,请问请问:他这样做是否比只乘一辆他这样做是否比只乘一辆“网约车网约车”完成全部行程更省钱完成全部行程更省钱?请说明理由请说明理由.思路点拨思路点拨:根据漳州市根据漳州市“网约车网约车”的计价标准的计价标准,分段将乘客搭乘一次出租分段将乘客搭乘一次出租车的费用车的费用f(x)(f(x)(元元)表示为行程表示为行程x(0 x60,x(038.8,40.338.8,所以该乘客换乘比只乘一辆
16、车更省钱所以该乘客换乘比只乘一辆车更省钱.方法技巧方法技巧 由实际问题决定的分段函数由实际问题决定的分段函数,要写出它的解析式要写出它的解析式,就是根据实就是根据实际问题需要分成几类就分成几段际问题需要分成几类就分成几段,求解析式时求解析式时,先分段分别求出它的解析先分段分别求出它的解析式式,再把各段综合在一起写一个函数再把各段综合在一起写一个函数.变式训练变式训练4-1:4-1:为了节约用水为了节约用水,某市打算出台一项水费政策某市打算出台一项水费政策,规定每季度每人规定每季度每人用水量不超过用水量不超过5 5吨时吨时,每吨水的水费为每吨水的水费为1.21.2元元,若超过若超过5 5吨而不超
17、过吨而不超过6 6吨时吨时,超超过部分的水费按原价的过部分的水费按原价的200%200%收费收费,若超过若超过6 6吨而不超过吨而不超过7 7吨时吨时,超过部分的水超过部分的水费按原价的费按原价的400%400%收费收费.如果某人本季度实际用水量为如果某人本季度实际用水量为x(x7)x(x7)吨吨,试计算本试计算本季度他应交的水费季度他应交的水费y(y(单位单位:元元).).类型五类型五 易错辨析易错辨析答案答案:x x2 2-1.-1.答案答案:x x2 2-1(x1)-1(x1)变式训练变式训练5-1:5-1:某城市出租车按如下方法收费某城市出租车按如下方法收费:起步价起步价6 6元元,可行可行3 km(3 km(含含3 km),3 km),3 km3 km后到后到10 km(10 km(含含10 km)10 km)每走每走1 km 1 km 加价加价0.50.5元元,10 km,10 km后每走后每走1 km1 km加价加价0.80.8元元,某人坐出租车走了某人坐出租车走了12 km,12 km,他应交费他应交费元元.答案答案:11.111.1
