1、3.1.2指数函数(二)第三章3.1指数与指数函数学习目标1.掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断.2.能借助指数函数性质比较大小.3.会解简单的指数方程、不等式.4.了解与指数函数相关的函数奇偶性的判断方法.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考知识点一不同底指数函数图象的相对位置y2x与y3x都是增函数，都过点(0,1)，在同一坐标系内如何确定它们两个的相对位置？答案答案答案经描点观察，在y轴右侧，2x3x，即y3x图象在y2x上方，经(0,1)点交叉，位置在y轴左侧反转，y2x在y3x图象上方.一般地，在同一坐标系中有多个指数函数图象时，图象的相对位置与
2、底数大小有如下关系：梳理梳理(1)在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小.即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.这一性质可通过令x1时，ya去理解，如图.(2)指数函数yax与y (a0且a1)的图象关于y轴对称.思考知识点二比较幂的大小若x1x2，则a 与a (a0且a1)的大小关系如何？答案答案答案当a1时，yax在R上为增函数，所以ax1ax2，当0a1时，yax在R上为减函数，所以ax1ax2.x1x2梳理梳理比较幂大小的方法(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的 性来判断；(2)对于底数不同指数相同的两个幂的
3、大小，利用指数函数的 的变化规律来判断；(3)对于底数不同，指数也不同的两个幂的大小，则通过 来判断.单调图象中间值思考知识点三解指数方程、不等式若 ，则x1，x2的大小关系如何？答案答案答案当f(x)在区间m，n上单调递增(减)时，若x1，x2m，n，则f(x1)f(x2)x1x2(x1x2).所以，当0a1时，x1x2，当a1时，x1x2.此原理可用于解指数方程、不等式.1xa2xa1xa2xa1xa2xa梳理梳理简单指数不等式的解法(1)形如af(x)ag(x)的不等式，可借助yax的 求解；(2)形如af(x)b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助yax的求解；(3)形
4、如axbx的不等式，可借助两函数yax，ybx的图象求解.单调性单调性知识点四与指数函数复合的函数单调性思考答案形如yaf(x)(a0，且a1)的函数的性质(1)函数yaf(x)与函数yf(x)有 的定义域.(2)当a1时，函数yaf(x)与yf(x)具有 的单调性；当0a0，原方程可化为t26t50，解得t5或t1，即5x5或5x1，x1或x0.命题角度命题角度1比较大小比较大小例例2比较下列各题中两个值的大小：(1)1.72.5,1.73；类型二指数函数单调性的应用解答解解1.71，y1.7x在(，)上是增函数.2.53，1.72.51.73.(2)1.70.3,1.50.3；解答解解方法
5、一1.71.5，在(0，)上，y1.7x的图象位于y1.5x的图象的上方.而0.30，1.70.31.50.3.1.70.31.50.3.(3)1.70.3,0.83.1.解答解解1.70.31.701,0.83.10.801，1.70.30.83.1.当两个数不能利用同一函数的单调性作比较时，可考虑引入中间量，常用的中间量有0和1.反思与感悟跟踪训练跟踪训练2比较下列各题中的两个值的大小.(1)0.80.1,1.250.2；解答解解00.81，y0.8x在R上是减函数.0.20.1，0.80.20.80.1，即0.80.11.250.2.解答命题角度命题角度2解指数不等式解指数不等式例例3解
6、关于x的不等式：a2x1ax5(a0，且a1).解答解解(1)当0a1时，a2x1ax5，2x1x5，解得x6.综上所述，当0a1时，不等式的解集为x|x6.解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式，再利用指数函数单调性化为常规的不等式来解，注意底数对不等号方向的影响.反思与感悟跟踪训练跟踪训练3已知(a2a2)x(a2a2)1x，则x的取值范围是_.答案解析命题角度命题角度3与指数函数复合的单调性问题与指数函数复合的单调性问题例例4(1)求函数y 的单调区间；解答2617xx 在(，3上，yx26x17是减函数，在3，)上，yx26x17是增函数，解答同理可得减区间是(，2.复合函数单调性问
7、题归根结底是由x11时，y关于u为增函数；当0a1时，原函数的增区间为(1，)，减区间为(，1；当0a1时，原函数的增区间为(，1，减区间为(1，).223xxa 解答解解已知函数的定义域为x|x0.而根据y 的图象可知在区间(，1)和(1，)上，y是关于u的减函数，原函数的增区间为(，1)和(1，).当堂训练1.若a0.5 ，b0.5 ，c0.5 ，则a、b、c的大小关系是A.abc B.abcC.acb D.bca答案23451解析1213142.方程42x116的解是答案23451解析3.函数f(x)的单调递增区间为A.(，0 B.0，)C.(1，)D.(，1)答案23451解析21xf
8、(x)的单调递增区间为u(x)x21的单调递减区间，即(，0.4.设0a1，则关于x的不等式 的解集为_.答案23451解析解析解析0a1，yax在R上是减函数，22232223xxxxaa (1，)又 22232223xxxxaa ，2x23x22x22x3，解得x1.5.若指数函数yax 在1,1上的最大值与最小值的差是1，则底数a_.解析解析若0a1，则aa11，即a2a10，答案解析23451规律与方法1.比较两个指数式值的大小的主要方法(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数yax的单调性.(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且cbn，则amc且cbn，则ambn.2.解简单指数不等式问题的注意点(1)形如axay的不等式，可借助yax的单调性求解.如果a的值不确定，需分0a1两种情况进行讨论.(2)形如axb的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助yax的单调性求解.(3)形如axbx的不等式，可借助图象求解.3.(1)研究yaf(x)型单调区间时，要注意a1还是0a1时，yaf(x)与f(x)单调性相同.当0a1时，yaf(x)与f(x)单调性相反.(2)研究yf(ax)型单调区间时，要注意ax属于f(u)的增区间还是减区间，其中uax.本课结束
