1、 - 1 - 成都经开区实验中学 2016级高三上学期入学考试试题 数学（理工类） （考试用时： 120分 全卷满分： 150分 ） 注意事项： 1.答题时，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.选做题的作答：先把所做题 目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答
2、题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 5.考试结束后，请将答题卡上交； 第卷（选择题部分，共 60分） 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知集合 ? ? ? ?21 , 2 , 3 , | 3 0 , ,A B x x x a a A? ? ? ? ? ?，若 AB? ，则 a的值为 A. 1 B. 2 C.3 D.1 或 2 2. 已知复数 z满足 zi=2i+x（ xR ），若 z的虚部为 2，则 |z|= A 2 B 2 C D 3.等差数列 ?na 的公差为 2， 若 2a , 4a , 8a 成
3、等比数列 ， 则 ?na 的前 8项和 8S = A.72 B.56 C.36 D. 16 4.若函数? ? ? xg(x), 0,22)( xxf x 为奇函数，则 ?)2(gf A.-2 B.2 C.-1 D.1 5.某学校高三年级有 2 个文科班， 3个理科班，现每个班指定 1人对各班的卫生进行检查，若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排方法的种数是 A.24 B.32 C.48 D. 84 - 2 - 6. “ 牟合方盖 ” 是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在
4、同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是 A B C D 7.已知函数 ? ?y f x 与 xye 互为反函数，函数 ? ?y g x 的图象与 ? ?y f x 的图象关于 x 轴对称，若 ? ? 1ga ，则实数 a 的值为 A e- B 1e? C 1e D e 8.已知命题 xexp x ln)21(,: ? ;命题 22l o g2l o g,1,1: ? abbaq ba,则下列命题中为真命题的是 A. qp? B. qp?)( C. )( qp ? D. )(
5、 qp ? 9.已知函数 )1( ? xfy 的图象关于直线 1?x 对称，且当 0?x 时， )1ln ()( 3 xxxf ? ,设 )10( l o g),8( l o g),6( l o g 543 fcfbfa ? ,则 a, b, c 的大小关系是 A. abc B. cba C. bca D. bac 10.如 右 图 ,在边长为 2 的正方形 ABCD 中 ,M 是 AB 的中点 ,则过 DMC , 三点的抛物线与 CD 围成阴影 部分的面积是 A. 32 B. 34 C.2 D. 38 11、过抛物线 ? ?2 20y px p 焦点的直线 l 与抛物线交于 A 、 B 两点
6、，以 为直径的圆的方程为 ? ? ? ? ? ? ?223 2 16xy，则 ?p - 3 - A 1 B 2 C 3 D 4 12.已知椭圆 C ： 22143xy?的右焦点为 F ，过点 F 的两条互相垂直的直线 1l ， 2l ， 1l 与椭圆 C 相交于点 A ， B ， 2l 与椭圆 C 相交于点 C ， D ，则下列叙述不 正确的是 A存在直线 1l ， 2l 使得 | | | |AB CD? 值为 7 B存在直线 1l ， 2l 使得 | | | |AB CD? 值为 487 C四边形 ABCD 的面积存在最大值，且最大值 为 6 D四边形 ABCD 的面积存在最小值，且最小值为
7、 57649 第卷（非选择题部分，共 90分） 二、填空题：本题共 4 题，每小题 5分，共 20 分 13.执行如图所示的程序框图，若输入5, 6pq?，则输出a的值为 . 14 在 5(1 )(2 )xx?的展开式中， 3x 的系数为 _（用数字作答） 15.已知点 M（ a,b） 由 004xyxy?确定的平面区域内运动，则动点 N（ a+b,a-b） 所在平面区域的面积为 _. 16.已知双曲线 C ： 22 1( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?的右焦点为 F ，左顶点为 A .以 F 为圆心， FA为半径的圆交 C 的右支于 P ， Q 两点， APQ? 的一个内角为 6
8、0 ，则 C 的离心率为 - 4 - 三、解答题 :（ 本题包括 6小 题， 共 70 分。要求写出证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分 10分） 在 ABC中， a 、 b 、 c 分别为角 A 、 B 、 C 所对的边， =1b ，且 2 cos 2 0C a c? ? ? ( )求角 B 的大小； ( )求 ABC外接圆的圆心到 AC 边的距离 18（本小题满分 10分） 已知数列 ?na 的前 n 项和为 nS ,且 1 2nnaS? ? 对一切正整数 n 恒成立 （ 1）求当 1a 为何值时 ,数列 ?na 是等比数列 ,并求出它的通项公式； （ 2）在（ 1）的条件下，记数列
9、? ? ?1 11nnnnab aa? ?的前 n 项和为 nT ，求 nT 19.（本小题满分 10分） 为了研究学生的数学核心素养与抽象能力 (指标 x)、推理能力 (指标 y)、建模能力 (指标 z的相关性，将它们各自量化为 1、 2、 3 三个等级，再用综合指标 w=x+y+x 的值评定学生的数学核心素养，若 43 ?w ,则数学核心素养为一级；若则数学核心素养为二级：若 65 ?w ,则数 学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核心素养，调查人员随机访问了某校 10名学生，得到如下数据： (1)在这 10 名学生中任取两人，求这两人的建棋能力指标相同条件下综合指标值也相同的概率；
10、(2)在这 10 名学生中任取三人，其中数学核心素养等级足一级的学生人数记为 X,求随机变量 X的分布列及其数学期望 。 - 5 - 20 (本小题满分 12分） 如图 ,在三棱柱 ABC-A1B1C1中 ,侧面 ABB1A1为矩形 ,AB=1,AA1= ,D 是 AA1的中点 ,BD 与 AB1交于点 O,且 CO 平面 ABB1A1. （ 1） 证明 BC AB1; （ 2） 若 OC=OA,求直线 CD与平面 ABC所成角的正弦值 . 21 （本小题满分 10分） 设二次函数 f(x) ax2 bx c 的图象过点 (0,1)和 (1,4)，且对于任意的实数 x，不等式f(x)4 x恒成
11、立 (1)求函数 f(x)的表达式； (2)设 g(x) kx 1，若 F(x) log2g(x) f(x)在区间 1,2上是增函数，求实数 k的取值范围 22.（本小题满分 10分） 已知函数 ? ? ? ?1af x log x?， ? ? ? ?1ag x log x?（其中 0a? ，且 1a? ） . （ I）求函数 ? ? ? ?f x g x? 的定义域 . （ II）判断函数 ? ? ? ?f x g x? 的奇偶性，并予以证明 . （ III）求使 ? ? ? ? 0f x g x?成立的 x 的集合 . - 6 - 成都经开区实验中学 2016级高三上学期入学考试试题 数学
12、 （理工类）参考答案 1 5 BBABA 6 10 BCBAD 11 12 BD 13.30 14. 120 15. 16 16. 43 17.（本小题满分 10分） 解：（）由 2 cos 2 0C a c? ? ?， =1b 结合余弦定理得： 221 20ac aca? ? ? ?，? 2分 22 1a c ac? ? ? ? ?，? 3分 则 2 2 2 2 2 11c o s 2 2 2a c b a cB a c a c? ? ? ? ? ? ?，? 4分 0 B ? 23B ? . ? 5分 ( ) 设 ABC外接圆的半径为 R，由正弦定理知 122 2s in 3s in 3bR
13、B ? ? ?，? 7分 故 13R?,? 8分 则 ABC外接圆的圆心到 AC 边的距离 22 1 1 3()2 3 4 6bdR? ? ? ? ?.?10分 18.（本小题满分 12分） 【答案】（ 1） 2nna? ；（ 2）1113 2 1n? ?【解析】试题分析：（ 1）再写一个式子，利用 11,2 ,1nnn S S na Sn? ?可求得 na （ 2）由（ 1）可得 2nna? ，所以 ? ? ? ?112 1 11 2 1 21 2 1 2nnnnnnb ? ? ?，用裂项求和求和 nT - 7 - （ 2） ? ? ? ?112 1 11 2 1 21 2 1 2nnnnn
14、nb ? ? ?2 2 3 11 1 1 1 1 12 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1n nnT ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?111= 3 2 1n? ?19 （本小题满分 12 分） 解： x 2 3 3 1 2 2 2 2 2 2 y 2 2 3 2 3 3 2 3 1 2 z 3 3 3 2 2 3 2 3 1 2 w 7 8 9 5 7 8 6 8 4 6 （ 1）由题可知 :建模能力一级的学生是 ；建模能力二级的学生是 ；建模能力三级的学生是 . 记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件 ，
15、记“所取的两人的综合指标值相同”为事件. 则 22322245( ) 4 1( | ) ( ) 1 6 4CCP A BP B A P A C C? ? ? ? 6分 (2)由题可知，数学核心素养一级的学生为 : ，非一级的学生为余下 4人 的所有可能取值为 0,1， 2， 3. 0 3 1 26 4 6 4331 0 1 02 1 3 16 4 6 41 0 1 013( 0 ) , ( 1 )3 0 1 011( 2 ) , ( 3 )26C C C CP X P XCCC C C CP X P X? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?随机变量 的分布列为： - 8 - 0 1 2 3
16、 ? 10 分 ? 12 分 20. （本小题满分 12 分） 解 :(1)证明 :由题意 ,因为四边形 ABB1A1是矩形 , D为 AA1中点 ,AB=1,AA1= ,AD= ,所以在直角三角形 ABB1中 ,tan AB1B= 在直角三角形 ABD 中 ,tan ABD= ,所以 AB1B= ABD. 又 BAB1+ AB1B=90 , BAB1+ ABD=90 , 所以在三角形 ABO 中 , BOA=90 ,即 BD AB1.? 4分 又因为 CO平面 ABB1A1,AB1?平面 ABB1A1, 所以 CO AB1.所以 AB1面 BCD, 因为 BC?面 BCD,所以 BC AB1
17、. ? ? 6分 (2)如图 ,分别以 OD,OB1,OC 所在的直线为 x,y,z 轴 ,以 O 为原点 ,建立空间直角坐标系 ,则A ,B ,C ,B1 ,D ,? -7分 又因为 =2 ,所以 C1 . 所以 设平面 ABC的法向量为 n=(x,y,z), 则根据 可得 n=(1, ,- )是平面 ABC的一个法向量 ,? 10 分 设直线 CD与平面 ABC 所成角为 ,则 sin = , - 9 - 所以直线 CD 与平面 ABC所成角的正弦值为 .? 12 分 21.（本小题满分 12分） 解： (1)f(0) c 1， f(1) a b c 4， . ? .2分 f(x) ax2
