1、 - 1 - 成都龙泉中学 2016级高三上学期入学考试试题 数学（理工类） （考试用时： 120分 全卷满分： 150分 ） 注意事项： 1.答题时，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.填空题和解答题的作答：用 黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.选做题的作答：先把所做题目的 题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题
2、区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 5.考试结束后，请将答题卡上交； 第卷（选择题部分，共 60分） 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.若集合 A=y|y=2x+2， B=x| x2+x+2 0，则 A A?B B A B=R C AB=2 D AB= ? 2.若复数 z 满足 i 1izz ? ，其中 i 是虚数单位，则复数 z 的共轭复数为 A. 11i22? B. 11i22? （ C） 11i22? （ D） 11i22? 3.已知命题 p： x0 R， 使 2x0 2 x0 1；命题 q： x R
3、， 都有 lg(x2 2x 3)0.下列结论中正确的是 A.命题 “ p q” 是真命题 B.命题 “ p q” 是真命题 C.命题 “ p q” 是真命 题 D.命题 “ p q” 是假命题 4已知1sin( )33? ?，则sin( 2 )6 ?A79B79C 79?D25已知 F 是抛物线 2 4yx? 的焦点， ,MN是该抛物线上两点， 6MF NF?，则 MN 的 - 2 - 中点到准线的距离为 A 32 B 2 C 3 D 4 6.某 四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和为 A 2 B 4 C 52? D 524?7.有一长、宽分别为50m、30的矩形游
4、泳池，一名工作人员在池边巡逻，某时刻出现在池边任一位置可能性相同，一人在池中心（对角线交点）处呼唤工 作人员，其声音可传出152m，则工作人员能及时听到呼唤（出现在声音可传到区域）的概率是 A34B38C16?D12332?8若 101()2a? ， 121()5b ? ，15log 10c?，则 ,abc大小关系为 A abc? B a c b? C c b a? D bac? 9.若 f(x)= ? ?( 1), 4 2 12xaxa xx? ? ?是 R上的单调递增函数 ,则实数 a的取值范围为 A. (1,+) B. (4,8) C. 4,8) D. (1,8) - 3 - 10.已知
5、 ()fx是定义在 R 上的奇函数， 满足 ( ) (2 ) 0f x f x? ? ?, 且 当 0,1)x? 时，( ) ln ( )1x xf x e x?,则函数 1( ) ( ) 3g x f x x?在区间 6,6? 上的零点个数是 A.4 B.5 C.6 D.7 11.已知 ,ab是非零向量，它们之间有 如下一种运算： s in ,a b a b a b? ? ? ?，其中 ,ab?表示 ,ab的夹角下列命题中真命题的个数是 a b b a? ? ? ； ( ) ( )a b a b? ? ?； ()a b c a c b c? ? ? ? ? ?； a b a b a b? ?
6、 ? ?； 若 1 1 2 2( , ), ( , )a x y b x y?，则 1 2 2 1a b x y x y? ? ? ， A 2 B 3 C 4 D 5 12. 已知 双曲线22 1 ( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?与函数 ( 0)y x x?的 图象 交于点 P ，若函数yx? 在点 P 处的切线过 双曲线 左焦点 ( 1,0)F? ，则 双曲线 的离心率是 A 512?B 532?C 312?D 32 第卷（非选择题部分，共 90分） 二、填空 题：本题共 4 题，每小题 5分，共 20分 13.若数列 na 满足 21 1( ) ( ) lg (1 )n n
7、nn a a a n n n? ? ? ? ? ?，且 1 1a? ，则 100a ? _ 14已知实数 ? ?2,30?x ，执行如图所示的程序框图，则输出的 x 不小于 103 的概率是 - 4 - 15 2 2121 4e dx x dxx? ? ?错误！未找到引用源。 16.在 ABC? 中， D 为 AC 上一点，且 2AD? ， 1DC? ， BD 为 ABC? 的角平分线，则 ABC?面积的最大值为 三、解答题 :（ 本题包括 6小 题， 共 70分。要求写出证明过程或演算步骤） 17（本题满分 12分） 已知各项均不相等的等差数列 na 满足 1 1a? ，且 1 2 5,a
8、a a 成等比数列 （ 1）求 na 的通项公式； （ 2）若 *11( 1 ) ( )n nnnnnaab n Naa ? ? ?，求数列 nb 的前 n 项和 nS 18.（ 本小题满分 12分） 某校高三有 500名学生，在一 次考试的英语成绩服从正态分布 2(100,17.5 )N ，数学成绩的频率分布直方图如下： （ ） 如果 成绩大于 135 的为特别优秀，则本次考试英语、数学特别优秀的大约各多少- 5 - 人？ （ ） 试问本 次考试 英语和数学的 成绩哪个较高， 并说明理由 . （ ） 如果英语和数学两科都特别优秀的共有 6人，从 （ ） 中的这些同学中随机抽取 3人，设三人中
9、两科都特别优秀的有 ? 人，求 ? 的分布列和数学期望。 参考公式及数据： 若 2 ( , )XN? ，则 ( ) 0 .6 8Px? ? ? ? ? ? ? ?， ( 2 2 ) 0 .9 6Px? ? ? ? ? ? ? ?， ( 3 3 ) 0 .9 9Px? ? ? ? ? ? ? ?. 19.（本题满分 12分）如图，在三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中， AB AC? ，顶点 1A 在底面 ABC 上的射影恰为 AC 的中点 M ， 2AB AC?， 1 3AA? （ 1）证明： 1AB CC? ； （ 2）若点 P 为 11BC 的中点，求二面角 1P AB A?的余弦值 2
10、0.（本题满分 12 分） 已知 A， B， C 为椭 圆 E: 12 22 ?yx 上三个不同的点， 0为坐标原点，若 O为 ABC 的重心。 (1)如果直线 AB、 0C的斜率都存在，求证 OCABkk 为定值； (2)试判断 ABC 的面积是否为定值，如果是就求出这个定值，否则请说明理由 。 - 6 - 21. （本题满分 12分） 已知函数 ? ? 3h x x? ? . （ 1）若 ? ? 2h x x n? ? ?对任意的 0x? 恒成立，求实数 n 的最小值； （ 2）若函数 ? ? 3 5 , 0 3 2 , 3xfx xxx? ? ?， 求函数 ? ? ? ? ? ?g x
11、f x h x?的值域 . 22.（本题满分 10分） 在平面直角坐标系 xoy 中，斜率为 1的直线 l 过定点（ 2， 4） ， 以 O为 极 点 ， x 轴 非 负 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 已 知 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为0co s4sin 2 ? ? . （ 1）求曲线 C 的直角坐标方程以及直线 l 的 参数方程； （ 2） 直线 l 与 曲线 C 相交于 M， N两点，若 P（ 2， 4），求 |PM|+|PN|的值 - 7 - 成都龙 泉中学 2016级高三上学期入学考试试题 数学（理工类）参考答案 1 5 DBABC 6 10 CBDCB
12、11 12 BA 13.300 14 91415. 16.3 17.【解析】 （ ） 设等差 数列 na 的公差为 d ，由题意得 22 1 5a aa? ，即 2(1 ) 1 4dd? ? ? ， 解得 2d? 或 0d? （舍），所以 21nan?. （ ） 由 21nan?，可得 114 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( )( 2 1 ) ( 2 1 ) 2 1 2 1n n nnnnnnaa nb a a n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 当 n 为偶数时， 1 1 1 1 1 1 1 1 2( 1 ) ( ) ( ) ( ) 13 3 5 5 7 2
13、 1 2 1 2 1 2 1n nS n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 当 n 为奇数时， 1n? 为偶数，于是 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2( 1 ) ( ) ( ) ( ) 13 3 5 5 7 2 1 2 1 2 1 2 1n nS n n n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 18.解： （ 1） 英语成绩服从正态分布 2(100,17.5 )N , 英语成绩特别优秀的概率为1 1( 1 3 5 ) (1 0 . 9 6 ) 0 . 0 22P P X? ? ? ? ?
14、?数学成绩特别优秀的概率为2 30 .0 0 1 6 0 .0 2 44P ? ? ?, 英语成绩特别优秀的同学有 500 0.02 10?人， 数学成绩特别优秀的同学有 500 0.024 12?人 . 4 分 （ 2）英语的平均成绩为 100分，数学的平均成绩 为 6 0 0 . 1 6 8 0 0 . 1 6 8 1 0 0 4 8 1 2 0 0 . 1 6 1 4 0 0 . 0 3 2 9 4 . 7 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 因为 94.72 100? ， 所以英语的平均成绩更高 . 6分 （ 3） 英语和数学都特别优秀的有 6人，单科优秀的有 10人， ?
15、可取得值有 0,1,2,3， 310316 3( 0) 14CP C? ? ? ?； 211 0 6316 27( 1) 56CCP C? ? ? ?； - 8 - 121 0 6316 15( 2 ) 56CCP C? ? ? ?； 36316 1( 3) 28CP C? ? ? ?故 ? 的分布列为： ? 0 1 2 3 P 314 2756 1556 128 ? 的数学期望 为 3 2 7 1 5 1 9( ) 0 1 2 31 4 5 6 5 6 2 8 8E ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（ 人 ） 或：因 ? 服从超几何分布，所以 3 6 9() 16 8E ? ? 12分
16、 19 （ 1）证明：因为顶点 1A 在底面 ABC 上的射影恰为 AC的中点 M， 所以 1AM ABC?平 面 ，又 AB ABC?平 面 ，所以 1AM AB? ， 又因为 AB AC? ，而 1 1 1A M A ACC? 平 面 ， 11AC A ACC? 平 面 且 1AM AC M? ， 所以 AB? 平面 11AACC ，又因为 1 1 1CC A ACC? 平 面 ， 所以 1AB CC? （ 2） 解： 如图 9，以 M 为原点，建立空间直角坐标系 M xyz? ， 则1( 0 0 0 ) ( 2 1 0 ) ( 0 1 0 ) ( 0 0 2 2 )M B A A?， ，
17、 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，11( 2 0 2 2 ) ( 0 1 0 ) ( 0 2 2 2 ) ( 1 1 2 2 )B C C P， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 于是 1( 2 0 0 ) ( 0 1 2 2 )A B A A?， ， ， ， ， 求得平面 1ABA 的一个法向量为 (0 4 2)n?， ， ， 由 ( 2 0 0 ) (1 2 2 2 )A B A P?， ， ， ， ， 求得 平面 PAB 的一个法向量 为 (0 2 2)m?， ， ，则 | | 1 0 5 3c o s9| | | | 3 2 6mnmn mn? ? ? ? ?， 所以二面角 1P AB A?的余弦值 为 539 20 解：（ 1）设直线 ，代入 得：- 9 - 设 ， 则 ； 由 得： 线段 AB 中点222( , )2 1 2 1km mD kk? ?,因为 为 的重心，
