1、 1 双鸭山市 2017-2018 学年度上学期高三数学（理）学科月考考试试题 （ 120分钟 150 分） 一、选择题 1. = （ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 ， 故选 C. 2. 设集合 ， ,若 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 由 得 ，即 是方程 的根，所以， ，故选 C 点睛 :集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是 否满足互异性两个防范： 不要忽视元素的互异性； 保证运算的准确性 3. 设 为虚数单位），则 （ ） A. B. C. D. 2 【答案】 B
2、 【解析】, ,故选 B. 4. 在等差数列 中 , 若 , 则 ( ) A. 45 B. 75 C. 180 D. 300 【答案】 C 【解析】试题分析：因为数列 为等差数列，且 ，所以， ，从而 ，所以2 ，而 ，所以 ，故选 C. 考点：等差数列的性质 . 5. 数列 的前 项和为 ,若 ,则 ( ) A. B. C. D. 【答案】 A 6. 已知两个单位向量 的夹角为 ，且满足 ，则实数 的值为（ ） A. -2 B. 2 C. D. 1 【答案】 B 【解析】 两个单位向量 的夹角为 ，且满足，即 ，解得 ，故选B. 7. 已知命题 则（ ） A. B. C. D. 【答案】 D
3、 【解析】 因为全称命题的否定是特称命题 ， 所以命题 的否定为， 故选 D. 8. 设 ，则 “ ” 是 “ ” 的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】 A 【解析】 ，但 ，不满足 ，所以是充分不必要条件，选 A. 3 【考点】 充要条件 【名师点睛】本题考查充要条件的判断，若 ，则 是 的充分条件，若 ，则 是 的必要条件，若 ，则 是 的充要条件；从集合的角度看，若 ，则 是 的充分条件，若 ，则 是 的必要条件，若 ，则 是 的充要条件，若 是 的真子集，则 是的充分不必要条件，若 是 的真子集，则 是 的必要不
4、充分条件 . 9. 已知 中，内角 的对边分别为 ，若 ，则的面积为 ( ) A. B. 1 C. D. 2 【答案】 C 【解析】试题分析： ,故选C. 考点： 1、余弦定理； 2、三角形面积公式 . 10. 下列函数中，既是奇函数又上单调递增的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】试题分析：选项 A、 C在区间 非单调函数，选项 D为非奇非偶函数，故选B 考点： 1、函数的单调性； 2、函数的奇偶性 11. 已知 ， ，点 满足 ，若 ，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 由题意可得： ，则： ， 即 . 其中 ，由正弦定理： ， 整理可得：
5、的值为 . 4 本题选择 C选项 . 点睛： 三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线 12. 定义在 上的偶函数 ，当 时， ，且 在 上恒成立，则关于 的方程 的根的个数叙述正确的是（ ） A. 有两个 B. 有一个 C. 没有 D. 上述情况都有可能 【答案】 A 【解析】 由于函数 ， 为偶函数，且在 单调递增 ， 如图所示，函数 ， 在 上恒成立，函数 在上的图象位于 的图象上方，当 时 ， 由可得， 解得 ， 故 的图象至少向左平移两个单位，才符合题意，即 ， 由于函数的值域为 ，故函数 的图象和直线 有 个
6、交点 ，关于 的方 的根有 个，故选 A. 【方法点睛】本题主要考查函数的奇偶性、对称性以及函数图象的应用 ， 属于难题 .函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“ 形 ” 的直 观性归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有： 1、 确定方程根的个数 ； 2、5 求参数的取值范围 ； 3、 求不等式的解集 ； 4、 研究函数性质解答本题的关键是根据把在 上恒成立转化为函数 在 上的图象位于 的图象上方 ， 然后求出 ， 再利用数形结合将方程 f(2x+1)=t的根转化为函数 的图象和直线 的交点 . 二、填空题 13. 已知等差数列 的通项公式 ，则
7、它的公差为 _. 【答案】 -2 【解析】 因为数列 为等差数列，所以 常数 =公差 ， 又因为数列的通项公式为 ， 所以公差为 ， 故答案为 . 14. 已知 ，其中 ，若 ，且 在区间 上有最小值，无最大值，则 _ 【答案】 【解析】,此时无法求得 ； 或 ， 或 ，当 时 ， 此时 在区间 上有最大值， 有最小值，没有最大值，满足题意，当 时 ， ， 此时在区间上 有最大值，不满足题意， ，故答案为 . 【方法点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质、数形结合思想及分类讨论思想 .属于难题 .分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数
8、问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度 .运用这种 方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点 . 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中 . 15. 已知 是边长为 2的等边三角形， 为平面 内一点，则 的最小值是 6 _. 【答案】 【解析】 以以 为 轴 ， 以 边上的高为 轴建立坐标系，则 ， 设 ， 则， ， 当 时 ，取得最小值 ， 故答案为 . 16. 已知函数 的定义域为 ，且满足下列三个条件： 对任意的 ，当 时，都有 恒成立； ； 是偶函数； 若 ，则 的大小关系是 _. 【答案】 【解析】 根据题意
9、， ， 当 时 ， 都有 ， 则函数 在区间 上为增函数，若 ， 则 ， 即函数的周期为 ， 若 是偶函数，则函数 的图象关于直线 对称，又由函数的周期为 ， 则函数 的图象关于直线 对称， ， ，又由函数 在区间 上为增函数，则有 ， 即 ， 故答案为 . 第 II卷（非选择题，共 90 分） 17. 已知平面内三个向量 : . （ 1）若 ,求实数 的值； （ 2）设 ,且满足 ，求 . 【答案】 （ 1） ；（ 2） 或 . 7 【解析】 试 题分析 ：（ 1） 运用向量的加减和数乘运算 ， 结合向量共线的坐标表示，解方程即可得到 ；（ 2） 设出向量 ， 运用向量共线的坐标表示列出方程
10、，再由向量模的公式得到方程 ， 解方程组，即可得结果 . 试题解析：（ 1） ；（ 2） 或 . 18. 等差数列 的各项均为正数 , , 前 项和为 为等比数列 , ， 且 . （ 1）求 和 ； (2)求 . 【答案】 （ 1） ， ；（ 2） . 【解析】略 19. 已知 ：函数 的定义域为 ， ：函数 在上是减函数，若 “ ” 为真， “ ” 为假，求 的取值范围 【答案】 . . 试题解析：若 为真，则 在 上恒成立， 当 时， ，显然成立， 当 时， ， ， 综上， ； 若 为真，则 ，解有： ， 由题知： 中应一真一假， 或 ， ， 8 故： 的取值范围是 考点： 1.复合命题；
11、 2.函数性质 . 20. 已知数列 中， 且 且 . （ 1）证明：数列 为等差数列； （ 2）求数列 的前 项和 . 【答案】 （ 1）证明见解析；（ 2） . 【解析】 试题分析 ：（ 1） 要证明数列 为等差数列，只需证明 为常数）即可；（ 2）由等差数列的通项公式 ， 进而可求 ， 利用错位相减法可求数列的前 项和 . 试题解析：（ 1）设 = 所以数列 为首项是 2公差是 1的等差数列 . （ 2）由（ 1）知， - ，得 . 【 方法点睛】本题主要考查等差数列的定义以及错位相减法求数列的的前 项和，属于中档题 .一般地，如果数列 是等差数列， 是等比数列，求数列 的前 项和时，可
12、采用 “ 错位相减法 ” 求和，一般是和式两边同乘以等比数列 的公比，然后作差求解 , 在写出 “ ” 与 “ ” 的表达式时应特别注意将两式 “ 错项对齐 ” 以便下一步准确写出 “ ” 的表达式 . 21. 已知函数 ， 9 (1)求函数 的最小正周期及单调递增区间； (2)若在锐角 中，已知函数 的图象经过点 ，边 ，求 周长的最大值 【答案】 （ 1） , ；（ 2） . 【解析】 试题分析 ：（ 1） 利用两角和与差的三角函数 、 二倍角公式以及辅助角公式 ， 化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过周期公式求函数 的周期 ， 利用正弦函数的单调增区间求解函数的单调递增区间； （
13、2） 通过函数的 图象经过点 可得 A ， 由正弦定理可得 周长为 ， 根据两角和与差的三角函数以及辅助角公式，化简函数为一个角的一个三角函数的 形式，利用三角函数的有界性求解即可 . 试题解析： f(x) sin 2sin2x 1 cos2x sin2x cos2x cos2x sin2x sin , (1)最小正周期： T ， 由 2k 2 x 2 k (k Z)可解得： k x k (k Z)， 所以 f(x)的单调递增区间为： (k Z), (2)由 f(A) sin 可得： 2A 2k 或 2A 2k( k Z)， 所以 A ，又 ，由正弦定理知， ，得 ， 所以 ， ， 所以 得周
14、长为 = 因为 ，所以 ，则 ， 所以 ，所以 周长的最大值为 22. 已知函数 为常数， 是自然对数的底数），曲线在点 处的切线与 轴平行 10 （ 1）求 的值； （ 2）求 的单调区间； （ 3）设 ，其中 为 的导函数证明：对任意 ， 【答案】 （ 1） ；（ 2） 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ；（ 3）证明见解析 . 【解析】试题分析：（ 1）求导可得 ；（ 2）由（ 1）知， 设,再利用导数工具进行求解；（ 3）由（ 2）可知，当 时，故只需证明 在 时成立 ,再利用导数工具进行证明 试题解 析：（ 1） ，由已知， ， （ 2）由（ 1）知， 设 ，则 ，即 在 上是减函数， 由 知，当 时 ，从而 ， 当 时 ，从而 ， 综上可知， 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 （ 3）由（ 2）可知，当 时， ， 故只需证明 在 时成立 当 时， ，且 ， 设 ， ，则 ， 当 时， ，当 时， ， 所以当 时， 取得最大值 所以 综上，对任意 ， 考点： 1、函数的导数； 2、单调性； 3、不等式的证明 【方法点晴】本题考查导数与函数单调性的关系、不
