1、 - 1 - 2018 高考 高 三 数学 12 月月考试题 01 满分 150 分；考试时间 120 分钟 一填空题（本大题共有 14 题，满分 56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分 1若 iiiz ?11（ i 为虚数单位），则 ?z _ 2已知集合 ,0)1)(2( R? xxxxA ， ,01 R? xxxB ， 则 ?BA? _ 3函数 1)co s(sin)( 2 ? xxxf 的最小正周期是 _ 4一组数据 8 ， 9 ， x ， 11， 12的平均数是 10，则这组数据的方差是 _ 5在等差数列 na 中， 101 ?a
2、，从第 9 项开始为正数， 则公差 d 的取值范围是 _ 6执行如图所示的程序框图，则输出的 a 的 值为 _ 7小王同学有 5 本不同的语文书和 4 本不同的英语书，从中任取 2 本，则语文书和英语书各有 1本的概率为 _（结果用分数表示）。 8一个圆锥的侧面展开图是一个半径为 R 的半圆，则这个圆锥的底面积是 _ 9动点 P ),( yx 到点 )1,0(F 的 距离与它到直线 01?y 的距离相等，则动点 P 的轨迹方程为 _ 10在 ABC 中，角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ，且满足 5522cos ?A ，3?ACAB ，则 ABC 的面积为 _ 11已
3、知点 ? ? 0,11 nA， ? ?nB 22,0， ? ? nnC 23,12，其中 n 为正整数，设 nS 表示 ABC 的面积，则 ? nn Slim_ 12给定两个长度为 1，且互相垂直的平面向量 OA和 OB ，点 C 在以 O 为圆心、 |OA 为半径的劣弧 AB 上运动，若 OByOAxOC ? ，其中 x 、 R?y ，则 22 )1( ? yx 的最大值为开始 4?a 0?i 结束 3?i 1?ii 22?aaa 输出 a 是 否 （第 6 题图） - 2 - _ 13设 a 、 R?b ，且 2?a ，若定义在区间 ),( bb? 内的函数 xaxxf 211lg)( ?
4、 是奇函数，则 ba 的取值范围是 _ 14在数列 na 中，若存在一个确定的正整数 T ，对任意 *N?n 满足 nTn aa ? ，则称 na是周期数列， T 叫做它的周期已知数列 nx 满足 11?x ， ax?2 （ 1?a ）， | 12 nnn xxx ? ? ，当数列 nx 的周期为 3 时，则 nx 的前 2013项的和 ?2013S _ 二选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）每题有且只有一个正确 答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分 15已知 R?x ，条件 p ： xx ?2 ，条件 q ： 11?x ，则 p 是
5、 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 16以下说法错误的是（ ） A直角坐标平面内直线的倾斜角的取值范围是 ),0 ? B直角坐标平面内两条直线夹角的取值范围是 ? 2,0 ?C平面内两个非零向量的夹角的取值范围是 ),0 ? D空间两条直线所成角的取值范围是 ? 2,0 ?17设函数 )(xf 是偶函数，当 0?x 时， 42)( ? xxf ，则 0)2( ?xfx 等于（ ） A 2 ?xx 或 2?x B 2 ?xx 或 4?x C 0 ?xx 或 6?x D 0 ?xx 或 4?x 18在平面直角坐标系内，设 ),( 11 yxM
6、 、 ),( 22 yxN 为不同的两点，直线 l 的方程为0? cbyax ， cbyax ? 111? ， cbyax ? 222? 有四个命题：若 021 ? ，则点 M 、 N 一定在直线 l 的同侧；若 021 ? ，则点 M 、 N 一定在直线 l 的两侧； 若 021 ? ，则点 M 、 N 一定在直线 l 的两侧；若 2221 ? ? ，则点 M 到直线 l 的距离大于点 N 到直线 l 的距离上述命题中，全部真命题的序号是（ ） A B C D 三解答题（本大题共有 5 题，满分 74 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 19（本题满分 12 分）
7、 设复数 iaz ? )c o s1(2)s in4( 22 ?，其中 R?a ， ),0( ? ， i 为虚数单位若z 是方 程 0222 ? xx 的一个根，且 z 在复平面内对应的点在第一象限，求 ? 与 a 的值 - 3 - 20（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分 如图，在三棱锥 ABCP? 中， ?PA 底面 ABC ， BCAC? ， 2? PABCAC （ 1）求三棱锥 ABCP? 的体积 V ； （ 2）求异面直线 AB 与 PC 所成角的大小 21（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，
8、第 2 小题满分 8 分 如图，已知椭圆 1716 22 ? yx 的左、右顶点分别为 A 、 B ，右焦点为 F 设过点 ),( mtT的直线 TA、 TB与椭圆分别交于点 ),( 11 yxM 、 ),( 22 yxN ，其中 0?m ， 01?y ， 02?y （ 1）设动点 P 满足 3| 22 ? PBPF ，求点 P 的轨迹； （ 2）若 31?x ， 212?x，求点 T 的坐标 22（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分 设等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 34135 ?aa ， 93
9、?S 数列 nb 的前 n 项和为 nT ，满足 nn bT ?1 （ 1）求数列 na 的通项公 式； （ 2）写出一个正整数 m ，使得91?ma是数列 nb 的项； （ 3）设数列 nc 的通项公式为taac n nn ?，问：是否存在正整数 t 和 k （ 3?k ），使得1c ， 2c ， kc 成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的有序整数对 ),( kt ；若不存在，请说明理由 P A B C x O M B N y A T F - 4 - 23（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分 已知 R?a
10、 ，函数 |)( axxxf ? （ 1）当 2?a 时，写出函数 )(xf 的单调递增区间（不必证明）； （ 2）当 2?a 时，求函数 )(xfy? 在区间 2,1 上的最小值； （ 3）设 0?a ，函数 )(xf 在区间 ),( nm 上既有最小值又有最大值，请分别求出 m 、 n 的取值范围（用 a 表示） - 5 - 参考答案 一填空题（每小题 4 分，满分 56 分） 1 i?2 2 12 ? xx 3 ? 4 2 5 ? 710,456 37 7 95 8 42R? 9 yx 42? 10 2 11 25 12 2 13 2,1( 14 1342 二选择题（每小题 5 分，满分
11、 20 分） 15 A 16 C 17 D 18 B 三解答题 19（本题满分 12 分） 方程 0222 ? xx 的根为 ix ?1 （ 3 分） 因为 z 在复平面内对应的点在第一象限，所以 iz ?1 ，（ 5 分） 所以? ? ? 1)cos1(2 1sin4 22 ? ?a ，解得 21cos ? ，因为 ),0( ? ，所以 32? ，（ 8 分） 所以 43sin2 ? ，所以 4sin41 22 ? ?a ，故 2?a （ 11 分） 所以 3? ? ， 2?a （ 12 分） 20（本题满分 14 分，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分） （ 1）因为 ?PA 底面
12、 ABC ，所以三棱锥 ABCP? 的高 PAh? ，（ 3 分） 所以， 34213131 ? PABCACShV （ 6 分） （ 2）取 PA 中点 E ， PB 中点 F ， BC 中点 G ， 连结 EF ， FG ， EG ，则 EF AB ， FG PC ， 所以 EFG? 就是异面直线 AB 与 PC 所成的角（或其补角）（ 2 分） 连结 AG ，则 522 ? CGACAG ，（ 3 分） 622 ? AGEAEG ， （ 4 分） 又 22? PCAB ，所以 2? FGEF （ 5 分） 在 EFG 中， 212c o s 222 ? ? FGEF EGFGEFEFG
13、，（ 7 分） 故 ? 120EFG 所以异面直线 AB 与 PC 所成角的大小为 ?60 （ 8 分） G P A B C F E - 6 - 21（本题满分 14 分，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分） （ 1）由已知， )0,4(B ， )0,3(F ，（ 1 分）设 ),( yxP ，（ 2 分） 由 3| 22 ? PBPF ，得 3)4()3( 2222 ? yxyx ，（ 5 分） 化简得， 5?x 所以动点 P 的轨迹是直线 5?x （ 6 分） （ 2）将 ),3( 1yM 和 ? 2,21 yN代入 1716 22 ? yx 得，?17641171692221yy
14、，（ 1 分） 解得?6444116492221yy，（ 2 分） 因为 01?y ， 02?y ，所以 471?y， 8212 ?y（ 3 分） 所以 ? 47,3M， ? ? 821,21N（ 4 分） 又因为 )0,4(?A ， )0,4(B ， 所以直线 MA 的方程为 )4(41 ? xy ，直线 NB 的方程为 )4(43 ? xy （ 5 分） 由?)4(43)4(41xyxy，（ 6 分） 解得? ?38yx（ 7 分） 所以点 T 的坐标为 )3,8( （ 8 分） - 7 - 22（本题满分 16 分，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 6 分） （
15、1）设数列 na 的首项为 1a ，公差为 d ，由已知，有? ? 933 3416211 da da ，（ 2 分） 解得 11?a ， 2?d ，（ 3 分 ） 所以 na 的通项公式为 12 ? nan （ *N?n ）（ 4 分） （ 2）当 1?n 时， 111 1 bTb ? ，所以 211?b（ 1 分） 由 nn bT ?1 ，得 11 1 ? ? nn bT ，两式相减，得 11 ? ? nnn bbb ， 故nn bb 211 ?，（ 2 分） 所以， nb 是首项为 21 ，公比为 21 的等比数列，所以 nnb ? 21（ 3 分） )4(2 182 191 ? mma m，（ 4 分） 要使91?ma是 nb 中的项，只要 nm 24? 即可，可取 4?m （ 6 分） （只要写出一个 m 的值就给分，写出 42 ? nm ， *N?n ， 3?n 也给分） （ 3）由（ 1）知， tnncn ? 12 12，（ 1 分） 要使 1c ， 2c ， kc 成等差数列，必须 kccc ? 122 ，即 tk ktt ? ? 12 121 13 6 ，（ 2 分）
