1、 - 1 - 2018高考 高 三 数学 12 月月考试题 09 （满分 150分，时间 120分钟） 一、填空题 (本大题满分 56分 )本大题共有 14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4分，否则一律得零分 1 已知集合 ? ?0,Aa? , ? ?21,Ba? ，若 ? ?0,1,4,16AB? ，则 a? 2 若行列式 124012x? ? ，则 x? 3 若函数 ( ) 2 3xfx?的图像与 ()gx的图像关于直线 yx? 对称，则 (5)g 4 某林场有树苗 30000 棵，其中松树苗 4000 棵为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容
2、量为 150的样本，则样本中松树苗的数量为 5 已知数列 na 的前 n 项和 2nnSn?，则 3a? 6 己知 (1,2sin )a ? ， cos 1b ?（ ， ） ， 且 ba? ，则 tan? 7 抛物线的焦点为椭圆 145 22 ? yx 的右 焦点，顶点 在 椭圆 的 中心，则抛物线方程为 8 已知 lg lg 1xy?，则 25xy?的最小值为 9 在 ABC中，角 ,ABC 所对的边分别是 ,abc，若 2 2 2b c a bc? ? ? ，且 8bc? ， 则 ABC的面积等于 10 若二项式 7()?xa展开式中 5x 项的系数是 7，则 )(lim 242 nn a
3、aa ? ?= 11 给出四个函数： xxxf 1)( ? ， xxxg ? 33)( ， 3)( xxu ? ， xxv sin)( ? ，其中满足条件：对任意实数 x 及任意正数 m ，都有 ( ) ( ) 0f x f x? ? ?及 ( ) ( )f x m f x? 的函数为 （ 写出所有满足条件的函数的序号 ） 12 甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为 a ，再由乙猜想甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为 b ，且 ? ?9,3,2,1,0, ?ba ，若 1?ba ，则称甲乙“心有灵犀” 现找两个人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为 13 已知 )(xfy? 是
4、定义在 R 上的增函数， 且 ()y f x? 的图 像 关于点 (6,0) 对称若实数 yx,满足不等 式 22( 6 ) ( 8 3 6 ) 0f x x f y y? ? ? ? ?， 则 22 yx ? 的取值范围是 14 定义变换 T 将平面内的点 ( , )( 0, 0)P x y x y?变换到平面内的点 ( , )Q x y 若曲线0 : 1( 0 , 0 )42xyC x y? ? ? ?经变换 T 后得到曲线 1C ，曲线 1C 经变换 T 后得到曲线2C ，依次类推，曲线 1nC? 经变换 T 后得到曲线 nC ，当 *nN? 时，记 曲线 nC 与 x 、 y 轴正半轴
5、的交点为 ( ,0)nnAa 和 (0, )nnBb 某同学研究后认为曲线 nC 具有如下性质： 对任意的 *nN? ，曲线 nC 都关于原点对称； - 2 - 对任意的 *nN? ，曲线 nC 恒过点 (0,2) ； 对任意的 *nN? ，曲线 nC 均在矩形 n n nOADB （含边界）的内部，其中 nD 的坐标为( , )n n nD a b ； 记矩形 n n nOADB 的面积为 nS ，则 lim 1nn S? ?其中所有正确结论的序号是 二、选择题 (本大题满分 20 分 )本大题共有 4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方 格 涂黑，选对
6、 得 5分，否则一律得零分 15 过点 (1,0) 且与直线 2 2 0xy? ? ? 平行的直线方程是 A 2 1 0xy? ? ? B 2 1 0xy? ? ? C 2 2 0xy? ? ? D 2 1 0xy? ? ? 16 对于原命题：“已知 a b c R?、 、 ，若 ab? ，则22ac bc? ”， 以及它的逆命题、否命题、逆否命题， 在这 4个命题中，真命题的个数为 A 0个 B 1 个 C 2个 D 4 个 17 右图给出了一个程序框图，其作用是输入 x 的值，输出相应的 y 值若要使输入的 x 值与输出的 y 值相等，则这样的 x 值有 A 1个 B 2个 C 3个 D
7、4个 18 设 ()fx是定义在 R上的偶函数，对任意 xR? ，都有 ( 2) ( 2),f x f x? ? ?且当 2,0x?时， 1( ) ( ) 12 xfx? 若在区间 (2,6? 内关于 x 的方程 ( ) lo g ( 2 ) 0 ( 1)af x x a? ? ? ?恰有 3个不同的实数根，则实数 a 的取值范围是 A (1,2) B (2, )? C 3(1, 4) D 3( 4,2) 三解答题 (本大题满分 74 分 )本大题共有 5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出 必要的步骤 19 （本题满分 12 分） 已知 (2cos ,1)ax? ， (cos
8、 , 3 sin 2 )b x x? ，其中 xR? .设函数 ()f x a b? ，求 ()fx的最小正周期、最大值和最小值 20 （本题满分 14 分）本题共有 2个小题，第 1小题满分 7分，第 2小题满分 7分 - 3 - 已知 zC? ，且满足 2 ( ) 5 2z z z i i? ? ? ? （ 1）求 z ； （ 2）若 mR? ， w zi m?，求证： w 1? 21 （本题满分 14 分）本题共有 2个小题，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分 “ 活水围网 ” 养鱼 技术具有 养 殖 密度高、经济效益好的特点 研究表 明： “ 活水围网 ”养鱼 时， 某种鱼在一
9、定的条件下，每尾鱼的平均生长速度 v（单位：千克 /年）是 养殖密度 x（ 单位： 尾 /立方米 ）的函数 当 x 不超过 4（尾 /立方米）时， v 的值为 2（千克 /年）；当 4 20x?时， v 是 x 的一次函数；当 x 达到 20 （尾 /立方米）时，因缺氧等原因， v 的值为 0 （千克 /年）。 （ 1）当 0 20x? 时，求函数 ()vx的表达式； （ 2）当 养殖密度 x 为多大时，鱼的年生 长 量（单位：千克 /立方米） ( ) ( )f x x v x? 可以达到最大，并求出最大值 22 （本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小
10、题满分 6 分，第 3 小题满分 6分 已知 递增的等差 数列 na 的首项 1 1a? ，且 1a 、 2a 、 4a 成等比数列 （ 1）求数列 na 的通项公式 na ； （ 2）设数列 nc 对任意 *nN? ，都有 12122 2 2n nnccc a ? ? ? ?成立，求 1 2 2012c c c? ? ? 的值 （ 3）若 1nn nab a?*()nN? ，求证 ：数列 nb 中的任意一项总可以表示成其他两项之积 23 （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分 对于双曲线 :C 22 1 ( 0
11、 , 0 )xy abab? ? ? ?，定义 1:C 221xyab?为其伴随曲线，记双曲线 C 的左 、右顶点为 A 、 B . （ 1）当 ab? 时，记双曲线 C 的半焦距为 c ，其伴随椭圆 1C 的半焦距为 1c ，若 12cc? ，求双曲 线 C 的渐近线方程； （ 2）若双曲线 C 的方程为 22142xy?，弦 PQ? x 轴，记直线 PA 与直线 QB 的交点为 M ，求动点 M 的轨迹方程； （ 3）过双曲线 22:1C x y?的左焦点 F ，且斜率为 k 的直线 l 与双曲线 C 交于 1N 、 2N 两- 4 - 点，求证：对任意的 1144 2 ,2 k ? ，在
12、伴随曲线 1C 上总存在点 S ，使得 212FN FN FS?. - 5 - 参考答案 1 4 2 2 3 1 4 20 5 5 6 21 7 2 4yx? 8 2 9 23 10 21 11 12 257 13 16,36 14 15 D 16 C 17 C 18 D 19 解： 由题意知 2( ) 2 c o s 3 s in 2f x a b x x? ? ? ? ? 3分 co s 2 12 3 sin 22x x? ? ? cos 2 3 sin 2 1xx? ? ? 2 sin 2 16x ? ? ? ? 6分 最小正周期 22T ? ? ? 8分 当 2262xk? ? ? ?
13、 ，即 ? ?,Z6x k k? ? ? ?时 ， max( ) 2 1 3fx ? ? ? ? 10 分 当 32262xk? ? ? ? ，即 ? ?2 ,Z3x k k? ? ? ?时 ， ? ?m in 2 1 1fx ? ? ? ? ? 12分 20解：（ 1）设 ( , )z a bi a b R? ? ?，则 2 22z a b?， ( ) 2z z i ai? ? 2分 由 22 2 5 2a b ai i? ? ? ? 得 22522aba? ? ? 4分 解得 12ab?或 12ab? ? 5分 12zi? 或 12zi? ? 7分 （ 2）当 12zi? 时， 2(1 2
14、 ) 2 ( 2 ) 1w z i m i i m i m m? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1? ? 10 分 当 12zi? 时， 2(1 2 ) 2 ( 2 ) 1w z i m i i m i m m? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1? ? 13分 w 1? ? 14分 21 解： （ 1）由题意：当 04x?时， ? ? 2vx? ； ? 2分 当 4 20x? 时，设 ? ? baxxv ? ，显然 ? ? baxxv ? 在 4,20 是减函数， - 6 - 由已知得 20 042abab? ?，解得1852ab? ? ? 4分 故函数 ?xv = *2
15、, 0 4 ,15 , 4 2 0 ,82x x Nx x x N? ? ? ? ? ? ? ? ? 6分 （ 2）依题意并由（ 1）可得 ?xf *2*2 , 0 4 ,15 , 4 2 0 , .82x x x Nx x x x N? ? ? ? ? ? ? ? ? 8分 当 04x?时， ?xf 为增函数，故 ? ?max (4)f x f?4 2 8?； ? 10分 当 4 20x? 时， ? ? 22 2 21 5 1 1 1 0 0( 2 0 ) ( 1 0 )8 2 8 8 8f x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ? ?m ax (10) 12.5f
16、 x f? ? 12分 所以，当 0 20x? 时， ?xf 的最大值为 12.5 当 养殖密度为 10 尾 /立方米时，鱼的年生 长 量可以达到最大，最大值约为 12.5 千克 /立方米 ? 14分 22 解： （ 1） ?na 是递增的等差 数列，设公差为 d ( 0)d? ? 1分 1a 、 2a 、 4a 成等比数列， 22 1 4=a a a? ? 2分 由 2(1 ) 1 (1 3 )dd? ? ? ? 及 0d? 得 1d? ? 3分 ( *)na n n N? ? 4分 （ 2） 1 1nan? ?， 122 12 2 2nnccc n? ? ? ? ?对 *nN? 都成立 当 1n? 时， 1 22c? 得 1 4c? ? 5分 当 2n? 时，由 122 12 2 2nnccc n? ? ? ? ? ，及 112212 2 2nnccc n? ? ? ? 得 12nnc?，得 2nnc? ? 7
