1、 - 1 - 广西陆川县中学 2017 年秋季期高三 12 月月考 理科数学试题 第 I 卷 (选择题，共 60 分） 一、 选择题（本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1已知集合 ? ? ? ?2| 2 0 , | 3 , 0xA x x x B y y x? ? ? ? ? ? ?，则 ?BA? A )2,1(? B )1,2(? C 1,1(? D (0,1 2.已知复数 z 满足 1 1 11 2 1z i i?，则复数 z 的虚部是 （ ） A 15B 15iC 15?D 15i?3.已知向量 ,ab是互相
2、垂直的单位向量，且 1c a c b? ? ? ? ，则 ? ?35a b c b? ? ? ?（ ） A 1? B 1 C 6 D 6? 4. 已知变量 x 与变量 y 之间具有相关关系，并测得如下一组数据 则变量 x 与 y 之间的线性回归方程可能为（ ） A 0.7 2.3yx? B 0.7 10.3yx? ? C 10.3 0.7yx? ? D 10.3 0.7yx? 5.设 ? ? ? ? ? ?s in c o sf x a x b x? ? ? ? ? ? ?，其中 , , ,ab? 都是非零实数，若 ? ?2017 1f ? ，那么 ? ?2018f ? （ ） A 1 B 2
3、 C 0 D 1? 6. 若 01m?，则（ ） A ? ? ? ?11mmlog m log m? ? ? B (1 0)mlog m? C. ? ?211mm? ? ? D ? ? ? ?113211mm? ? ? 7. 已知一个棱长为 2 的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示 ,则该截面的面积为（ ） - 2 - A 92B 4 C. 3 D 31028. 若函数 ? ? 32 4f x x x ax? ? ? ?在区间 ? ?1,1? 内恰有一个极值点，则实数 a 的取值范围为（ ） A ? ?1,5 B ? ?1,5 C. ? ?1,5 D ? ? ? ?,1 5,?
4、? ? 9.如图，将 45? 直角三角板和 30? 直角三角板拼在一起，其中 45? 直角三角板的斜边与 30? 直角三角板的 30? 角所对的直角边重合 .若 , 0 , 0D B x D C y D A x y? ? ? ?，则 xy?（ ） A 13? B 1 23? C.23? D 23 10. 已知 , , ,ABCD 是同一球面上的四个点，其中 ABC? 是正三角形， AD? 平面 ABC ，26AD AB?，则该球的体积为（ ） A 323? B 48? C. 24? D 16? 11.已知抛物线 2:4C x y? ， 直线 :1ly? ， ,PAPB 为 抛物线 C 的两条切
5、线 ， 切点分别为 ,AB，则 “点 P 在 l 上 ”是“ PA PB? ”的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C. 充要条件 D既不充分也不必要条件 - 3 - 12. 已 知 函 数 ? ? 21ln 1fx x? ?（ , 2.71828x e e? 是 自 然 对 数 的 底 数 ） . 若? ? ? ?2 lnf m e f n?，则 ? ?f mn 的取值范围为 （ ） A 5,17?B 9,110?C. 5,17?D 3,14?二、填空题（本大题共 4 小题 ,每小题 5 分 ,共 20 分） （ 13） 已知 x， y 满足 20403 3 0xyxyxy? ?
6、? ? ? ? ? ?则 3z x y? ? 的最小值为 （ 14） 已知双曲线 221xyab?（ 0, 0ab?） 的一条渐近线被圆 226 5 0x y x? ? ? ?截得的弦长为 2，则该双曲线的离心率 为 （ 15） 设数列 ?na 的前 n 项和为 nS ,若 31?a 且 12 n n na S S ? 则 ?na 的通项公式?na （ 16）如图，设 ABC? 的内角 ,ABC 所对的边分别为 ,abc， co s co s sina C c A b B?，且 6CAB ?. 若点 D 是 ABC? 外一点， 2, 3DC DA?，则当四边 形 ABCD 面积最大值时， si
7、nD? 三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ) 17. 已知数列 ?na 的前 n 项和 22nnSa?. （ 1） 证明： ?na 是等比数列，并求其通项公式； （ 2） 求 数列 1nna?的前 n 项和 nT . 18. (本小题满分 12 分 ) 在 ABC? 中，角 A B C， ， 所对的边分别为 a b c， ， ，且 AbcBa cos)3(cos ? . （ 1）求 Acos 的值； - 4 - （ 2）若 3?b ，点 M 在线段 BC 上， ? ? AMACAB 2 ， 23| ?AM ,求 ABC? 的面积 . 19
8、. (本小题满分 12 分 ) 为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电 原则上以住宅为单位（一套住宅为一户） . 阶梯级别 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯 月用电范围（度） （ 0,210 （ 210,400 ),400( ? 某市随机抽取 10 户同一个月的用电情况，得到统计表如下： 居民用电户编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 用电量（度） 53 86 90 124 132 200 215 225 300 410 （ 1） 若规定第一阶梯电价每度 0.5 元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度 0.6 元，第三阶梯超出第二阶梯的部分每度 0.8 元，试计算 A 居
9、 民用电户用电 410 度时应交电费多少元？ （ 2） 现要在这 10 户家庭中任意选取 3 户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望； （ 3） 以表中抽到的 10 户作为样本估计 全市 的居民用电，现从全市中依次抽取 10 户，若抽到k 户用电量为第一阶梯的可能性最大，求 k 的值 . 20 (本小题满分 12 分 )已知函数 xbbxxxf 21)()( 2 ? （ 1） 当 1?b 时，求函数 )(xf 的单 调区间； （ 2） 求函数 )(xf 在 0,1? 上的最大值 . 21 (本小题满分 12 分 )已知函数 )1ln()( ? xxf . (1)当 )0,1(?x 时，求证
10、： )()( xfxxf ? ； - 5 - (2)设函数 axfexg x ? )()( )( Ra? ，且 )(xg 有两个不同的零点 21,xx )( 21 xx? ， 求实数 a 的取值范围； 求证： 021 ?xx . 请考生在 22,23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 . 22（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点为平面直角坐标系 xOy 的原点，极轴为 x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，曲线 C 的参数方程为 1 2 cos1 2 sinxy? ? ? ?（ ? 为参数），直线 l 过点(1,0)? ，且斜率为 1
11、2 ,射线 OM 的极坐标方程为 34? （ 1）求曲线 C 和直线 l 的极坐标方程； （ 2）已知射线 OM 与圆 C 的交点为 ,OP，与直线 l 的交点为 Q ，求线段 PQ 的长 23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 （ 1）函数 |3|)( ? xxf ，若存在实数 x ，使得 )1()4(2 ? xfmxf 成立，求实数 m的取值范围； （ 2）设 Rzyx ?, ，若 422 ? zyx ，求 222 4 zyx ? 的最小值 - 6 - 理科数学试题参考答案及评分标准 1-5: DCDBA 6-10: DABBA 11、 12： CC 13 0 14 621
12、5 3, 118 ,2(5 3 )(8 3 )nnnn? ?16 277 17.（ 1）证明：当 1n? 时， 1 2a? ， 由 112 2, 2 2n n n nS a S a? ? ? ?得 1122n n na a a?， 即 1 2nnaa? ? ， 所以1 2nnaa? ? ， 所以数列 ?na 是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列，于是 2nna? . （ 2）解：令 112n nnnnb a?， 则1 2 32 3 4 12 2 2 2n nnT ? ? ? ? ?， 12?得2 3 4 11 2 3 4 12 2 2 2 2 2n nnnnT ? ? ? ? ? ?， ，
13、得2 3 11 1 1 1 112 2 2 2 2n nnnT ? ? ? ? ? ?13322nn ?所以 332n nnT ?. 17. （ 1）因为 AbcBa cos)3(cos ? ，由正弦定理得： ABCBA c o s)s ins in3(c o ss in ? 即 ACABBA c o ssi n3c o ssi nc o ssi n ? , ACC cossin3sin ? 在 ABC? 中， 0sin ?C ，所以 31cos ?A ? 5 分 （ 2） ? ? AMACAB 2 ，两边平方得： 222 42 ? ? AMACABACAB 由 3?b ， 23| ?AM ，
14、 31cos ?A 得 184313292 ? cc 解得： （舍）或 97 ? cc 所以 ABC? 的面积 273 223721 ?S ? 12 分 - 7 - 19. （ 1） 2278.0)400410(6.0)210400(5.0210 ? 元 ? 2 分 （ 2） 设取到第二阶梯电量的用户数为 ? ，可知第二阶梯电量的用户有 3 户，则 ? 可取 0,1,2,3 247)0( 31037 ?CCp ? 4021)1( 3101327 ?CCCp ?407)2( 3102317 ?CCCp ? 1201)3( 31033 ?CCp ?故 ? 的分布列是 ? 0 1 2 3 p 247
15、 4021 407 1201 所以 109120134072402112470)( ?E ? 7 分 （ 3） 可知从 全市中抽取 10 户的用电量为第一阶梯，满足 )53,10( BX ，可知 kkkCkXp ? 1010 )52()53()( )10,3,2,1,0( ?k ?)1(1011101010)1(1011101010)52()53()52()53()52()53()52()53(kkkkkkkkkkkkCCCC,解得 533528 ?k ， *Nk? 所以当 6?k 时，概率最大，所以 6?k ? 12 分 20. （ 1）函数的定义域为 21,(? ，当 1?b 时，xxxx
16、f 21 )1(5)( ? ? 3 分 由 0)( ? xf 得， 0?x 或 1?x （舍去） 。 当 0,(?x 时， 0)( ? xf ， 21,0?x 时， 0)( ? xf 所以函数的单调减区间是 0,(? ，增区间是 21,0 ? 5 分 （ 2）因为xbxxxf 21 )235()( ? ?，由由 0)( ? xf 得， 0?x 或 532 bx ? 当 1532 ? b 时，即 37?b 时，在 0,1? 上， 0)( ? xf ，即 )(xf 在 0,1? 上递增，所以 bfxf ? )0()( max - 8 - 当 05321 ? b 时，即 3732 ?b 时，在 53
17、2,1 b? 上， 0)( ? xf ，在 0,532 b?上， 0)( ? xf 即 )(xf 在 532,1 b? 上递减，在 0,532 b? 递增； 因为 bff ? )0(,3)1( ， 所以当 332 ?b 时， 3)1()( max ? fxf ；当 373 ?b 时， bfxf ? )0()( max 当 0532 ? b 时，即 32?b 时，在 0,1? 上， 0)( ? xf ，即 )(xf 在 0,1? 上递 减，所以 3)1()( max ? fxf 综上可得?)3(3)3()(m ax bbbxf ? 12 分21：（ 1）记 )1ln()( ? xxxq ，则 1
18、111)( ? x xxxq ，在 )0,1(? 上， 0)( ? xq 即 )(xq 在 )0,1(? 上递减，所以 0)0()( ?qxq ，即 )()1ln( xfxx ? 恒成立 记 )1ln()( ? xxxm ，则 11 11)( ? x xxxm ，在 )0,1(? 上， 0)( ? xm 即 )(xm 在 )0,1(? 上递增，所以 0)0()( ? mxm ，即 0)1ln( ? xx 恒成立 )()1ln ( xfxx ? ? 5 分 （ 2） axexg x ? )1ln()( ，定义域： ),1( ? ，则 11)( ? xexg x 易知 )(xg? 在 ),1( ? 递增，而 0)0( ?g ，所以在 )0,1(? 上， 0)( ? xg )(xg 在 0,1(? 递
