1、 - 1 - 2017-2018 学年度上学期高三数学（理）学科月考考试试题 （ 120分钟 150 分） 一、选择题 1.cos120 = （ ） A. 12 B. 32 C. 12? D. 32? 2.设集合 ? ?1,2,4? ， ? ?2 40x x x m? ? ? ? ?。若 ?1? ? ，则 ?（ ） A.? ?1, 3? B.? ?1,0 C.?1,3 D.?1,5 3.设 1iz i? ? （ i 为虚数单位），则 1z?（ ） A. 22 B. 2 C. 12 D. 2 4. 在等差数列 ?na 中 , 若 76543 aaaaa ? =450, 则 82 aa ? = (
2、 ) A.45 B.75 C.180 D.300 5. 数列 ?na 的前 n 项和为 nS ,若)2)(1( 1 ? nnan,则 8S 等于 ( ) A. 52 B. 301 C. 307 D. 65 6.已知两个单位向量 ,ab的夹角为 60 ，且满足 ()a a b? ，则实数 ? 的值为（ ） A -2 B 2 C 2 D 1 7.已知命题 : ,sin 1,p x R x? ? ?则（ ） A. : ,sin 1p x R x? ? ? ? B. : ,sin 1p x R x? ? ? ? C. : ,sin 1p x R x? ? ? ? D. : ,sin 1p x R x?
3、 ? ? ? 8.设 ?R ，则“ |12 12?”是“ 1sin 2? ”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9 已知 ABC 中 ， 内角 A， B， C 的对边分别为 ， b， c， 若 2 b2 c2 bc， bc 4， 则 ABC的面积为 ( ) A.12 B 1 C. 3 D 2 - 2 - 10 下列函数中，既是奇函数又 上单调递增的是 （ ） A 1yxx? B xxy e e? C 3y x x? D lny x x? 11.已知 AB AC? ， AB AC? ，点 M 满足 ? ?1AM t AB t AC? ?
4、?，若 3BAM ?，则 t的值为（ ） A. 32? B. 21? C. 312? D. 312? 12 定义在 R 上的偶函数 ()fx错误 !未找到引用源。 ，当 0x? 错误 !未找到引用源。 时，22( ) ln ( 1)xf x e x x? ? ? ?错误 !未找到引用源。 ，且 错误 !未找到引用源。 在 ( 1, )x? ? ? 错误 !未找到引用源。 上恒成立，则关于 错误 !未找到引用源。 的方程 错误 !未找到引用源。 的根的个数叙述正确 的是（ ） A 有两个 B 有一个 C 没有 D 上述情况都有可能 二、填空题 13. 已知等差数列 ?na 的通项公式 3 2 ,
5、nan? 则它的公差为 14 已知 ( ) cos(2 )f x x ?， 其中 0,2 )? ， 若 ( ) ( )63ff? ， 且 f(x)在区间 ( , )63? 上有最小值 ， 无最大值 ， 则 ? _ 15.已知 ABC是边长为 2的等边三角形， P为平面 ABC内一点，则 ( C)PA PB P? 的最小值是 16已知函数 ? ?xfy? 的定义域为 R ，且满足下列三个条件： 对任意的 ? ?84, 21 ，?xx ， 当 21 xx? 时 ， 都有 ? ? ? ? 02121 ? xx xfxf 恒成立； ? ? ? ?xfxf ? 4 ； ? ?4? xfy 是偶函数； 若
6、 ? ? ? ? ? ?2017116 fcfbfa ? ， ， 则 cba, 的大小关系是 第 II 卷（非选择题，共 90 分） 17.（本小题满分 10分） 已知平面内三个向量 : (3 , 2 ), ( 1, 2 ), ( 4 ,1).a b c? ? ? ? （）若 ( ) / /(2 )a kc b a?,求实数 k 的值； - 3 - （）设 ( , )d x y? ,且满足 ( ) ( )a b d c? ? ? ,| | 5dc? ，求 d . 18. （本小题满分 12 分） 等差数列 ?na 的各项均为正数 , 1a =3, 前 n 项和为 nS , ?nb 为等比数列
7、, 1b =1,且 6422 ?Sb , 96033 ?Sb . (1)求 na 和 nb ； (2)求 .11121 nSSS ? ?19（本小题满分 12分） 已知 p ：函数 2lg( 1)y ax ax? ? ? 的定义域为 R， q ： 函数 2 23aayx?在 (0, )x? ? 上是减函数，若“ pq? ”为真，“ pq? ”为假，求 a 的取值范围 20 （本小题满分 12分） 已知数列 na 中， 1 5a? 且 12 2 1nnnaa? ? ?（ 2n? 且 *n?N ） . （）证明：数列 12n na ?为等差数列； （）求数列 1na? 的前 n 项和 nS . 2
8、1 （本小题满分 12分） 已知函数 f(x) sin? ?76 2x 2sin2x 1(x R)， (1)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间； (2)若在锐角 ABC? 中 ，已知函数 f(x)的图象经过点 ? ?A， 12 ， 边 3?BC ，求 ABC? 周长的- 4 - 最大值 22 （本小题满分 12分） 已知函数 ln()xxkfx e?（ k 为常数 ， 2.71828e? 是自然对数的底数 ），曲线 ()y f x? 在点 (1, (1)f 处的切线与 x 轴平行 （ I）求 k 的值 ； （ II）求 ()fx的单调区间 ； （ III）设 ( ) ( )g x xf
9、 x? ， 其中 ()fx为 ()fx的导函数 证明：对任意 0x? ， 2( ) 1g x e? - 5 - 一、选择题 1. C 2.C 3 B 4. C 5.A 6. B 7. D 8.A 9.C 10 B 11. D 12 A 13、 填空题 13. -2 14 _2? _ 15. 32? 16 cab ? 三、解答题 17.（本小题满分 10分）已知平面内三个向量 : (3 , 2 ), ( 1, 2 ), ( 4 ,1).a b c? ? ? ? （）若 ( ) / /(2 )a kc b a?,求实数 k 的值； （）设 ( , )d x y? ,且满足 ( ) ( )a b d
10、 c? ? ? ,| | 5dc? ，求 d . 【答案】（） 163k? ；（） ? ?6,0d? 或 ? ?2,2 . 19. （本小题满分 12 分） 等差数列 ?na 的各项均为正数 , 1a =3, 前 n 项和为 nS , ?nb 为等比数列 , 1b =1,且 6422 ?Sb , 96033 ?Sb . (2)求 na 和 nb ； (2)求 .11121 nSSS ? ?【答案】 解 :(1)设 的公差为 d, 的公比为 q,则 d为正整数 , , 根据题意有 计算得出 ,或(舍去 ) 故 , (2) - 6 - 19（本小题满分 12分） 已知 p ：函数 2lg( 1)y
11、 ax ax? ? ? 的定义域为 R， q ： 函数 2 23aayx?在 (0, )x? ? 上是减函数，若“ pq? ”为真，“ pq? ”为假，求 a 的取值范围 【答案】 1 0 3 4aa? ? ? ? ?或 20 （本小题满分 12分）已知数列 na 中， 1 5a? 且 12 2 1nnnaa? ? ?（ 2n? 且 *n?N ） . （）证明：数列 12nna?为等差数列； （）求数列 1na? 的前 n 项和 nS . 解：（）设11 51,222nn nabb? ? ? ? ?1111111 1 ( 2 ) 12 2 2nnn n n nn n naab b a a? ?
12、 ? ? ? ?= 111 (2 1) 1 12 nn ? ? ? ? 所以数列 12nna?为首项是 2公差是 1的等差数列 . （）由（）知， 11 1 ( 1) 1,22n na a n? ? ? ? ?( 1) 2 1nnan? ? ? ? ? ? nn na 211 ? nnn nnS 2)1(22322 121 ? ? 132 2)1(223222 ? nnn nnS ? -，得 nS 1 2 3 1 12 2 ( 2 2 2 ) ( 1 ) 2 2n n nT n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 21已知函数 f(x) sin? ?76 2x 2sin2x 1(
13、x R)， (1)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间； (2)已知函数 f(x)的图象经过点 ? ?A， 12 ， 若在锐角 ABC? 中，边 3?BC ，求 ABC? 周长的最大值 解析： f(x) sin? ?76 2x 2sin2x 1 12cos2x 32 sin2x cos2x - 7 - 12cos2x 32 sin2x sin? ?2x 6 。 (1)最小正周期 ： T 22 ， 由 2k 22 x 6 2 k 2 (k Z)可解得 ： k 3 x k 6(k Z)， 所以 f(x)的单调递增区间为： ? ?k 3， k 6 (k Z)。 (2)由 f(A) sin? ?
14、2A 6 12可得： 2A 6 6 2k 或 2A 6 56 2k( k Z)， 所以 A 3， 又 3BC? ，由正弦定理知， 2sinBC RA? ，得 322sin 3R ?， 所以 2sinAC B? ， 2sinAB C? ， 所以 ABC? 得周长为 23 2 s i n 2 s i n 3 2 s i n 2 s i n3B C B B? ? ? ? ? ?= 313 2 s i n 2 c o s s i n 3 2 3 s i n2 2 6B B B B ? ? ? ? ? ? ? ? 因为0 22032BB? ? ? ? ?，所以 62B? ，则 3263 ? ? B ，
15、所以 3 sin 126B ? ? ?，所以 ABC? 周长的最大值为 33 22 已知函数 ln()xxkfx e?（ k 为常数 ， 2.71828e? 是自然对数的底数 ），曲线()y f x? 在点 (1, (1)f 处的切线与 x 轴平行 （ I）求 k 的值 ； （ II）求 ()fx的单调区间 ； （ III）设 ( ) ( )g x xf x? ， 其中 ()fx为 ()fx的导函数 证明：对任意 0x? ， 2( ) 1g x e? 【答案】（ I） 1k? ；（ II） 单调递增区间是 ? ?0,1 ， 单调递减区间是 (1, )? ；（ III）证明见解析 解：（ I） 1 ln( )xxkxfxe? ， 由已知 ， 1(1) 0kf e?， ? 1k? - 8 - （ II）由（ I）知， 1 ln 1( )xxxfxe? 设 1( ) ln 1k x xx? ? ?， 则211( ) 0kx xx? ? ? ?， 即 ()kx在 (0, )? 上是减函数 ， 由 (1) 0k ? 知 ， 当 01x?时 ( ) 0kx? ， 从而 ( ) 0fx? ， 当 1x? 时 ( ) 0kx? ， 从而 ( ) 0fx? ， 综上可知， ()fx的单调递增区间是 ? ?0,1 ， 单调递减区间是 (1, )?
