1、 1 2018届高三 1 月教学质量测评 文科数学 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12个小题 ,每小题 5分 ,共 60分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.设函数 1yx?的定义域为 A ，函数 lgyx? 的定义域为 B ，则 AB? 等于（ ） A (0, )? B 1, )? ? C 1,0)? D ( , 1 (0, )? ? ? 2. 在复平面内，复数 z 满足 (1 ) 4 2i z i? ? ? ，则复数 z 对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3.抛物线的顶点在坐标原点，开口向上，其准线经过双曲线
2、22149xy? 的一个顶点，则此抛物线的标准 方程为 （ ） A 2 8xy? B 2 12xy? C 2 8yx? D 2 12yx? 4. 设命题 :p 向量 (1,1), (0, 2)ab?，则 a 在 b 方向上的投影为 1，命题 2:1qx? 是 1x? 的必要非充分条件，则下列说法正确的是（ ） A命题 pq? 是假命题 B命题 pq? 是真命题 C命题 ()pq?是假命题 D命题 ()pq? 是真命题 5. 若实数 ,xy满足约束条件 2 1 03 3 010xyxyxy? ? ? ? ? ? ?，则 34xy? 的最小值为（ ） A 3 B 2 C 75 D 45 6. 设函
3、数 ? ? 2lo g ( 1 ) , 0 , 7 13 , 3 , 0 )2 xxxfx x? ? ? ? ?，若在区间 3,7? 内随机取一个实数 m ，则事件“ ? ? ? ?1f m f? ”的概率为（ ） A 15 B 35 C 710 D 910 2 7. 函数 ? ? s in ( 2 ) c o s 26f x x x? ? ? 的一条对称轴的方程可以是（ ） A 6x ? B 1112x ? C 23x ? D 712x ? 8.函数 31xy x? ?的部分图象大致是 （ ） 9. 在 ABC? 中，内角 ,ABC 的对边分别为 ,abc，已知向量 ( 3 , ) , (
4、c o s , c o s ) , ( 0 , 1 )m c b a n A C p? ? ? ?，若 mn? 且 /mp，则 ab 等于（ ） A 23 B 22 C 7 D 3 10.超市中的商品条码是由一组规则排列的条、空及其对应的代码组成，用来表示商品信息，我们通常缩减的条码是“ 13EAN? ”通用代码，它是由左到右排列的 13个数字（用 1 2 13, , ,a a a 表示）组成，这些数字分别表示前缀部分、制造厂商、商品代码和校验码，其中 13a 是校验码，用来校验前 12个数字代码的正确性，图（ 1）是计算第 13 为校验码的程序框图，框图中符号 ?m 表示不超过 m 的最大整
5、数，（例如? ?3657 365? ），现有以商品条形码如图（ 2）所示 3(97 740119916)a ，其中第 3个数被污损，那么这个被污损数字 3a 是 （ ） A 4 B 5 C 8 D 9 11. 如图所示的四个正方体中， ,AB正方体的两个顶点， ,MNP 分别为其所在棱的中点，能得出 /AB 平3 面 MNP 的图形的序号为（ ） A B C D 12. 设函数 ? ? s in ( ) ( 0 )f x w x w? ? ?，已知集合 0 0 0( , ( ) |A x f x x? 为 ?fx的极值点 ，22 ( , ) | 162xyB x y? ? ?，若存在实数 ?
6、，使得集合 AB中恰好有 5个 元素，则的取值范围是（ ） A 2 3 5 3 , )36? B 2 3 5 3 , )34? C 3 3 5 3 , )46? D 3 3 11 3 , )4 12? 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上） 13.若 2 co s co s( )2?，则 tan2? 14.中国古代数学名著九章算术中记载的叫邹傲的一个几何体，如图所示是邹傲的三视图（图中每个小正方形的边长到时 1个单位），则该邹傲的体积为 15.已知双曲线 22 1( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?的一条渐近线与圆 22( 4 ) ( 3)
7、 5xy? ? ? ? 相切，则此双曲线的离心率为 16.设函数 ? ? 2 22(3xf x x e m x m e? ? ?为自然对数的底数），当 xR? 时， ? ? 0fx? 恒成立，则实数 m 的取值范围是 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 4 17. 设数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，且 1, ,nnaS成等差数列 ()nN? . （ 1）求数列 ?na 的通项公式； （ 2）若 ? ?21 2 2 3 1 11 1 1n n nfna a a a a a a? ? ? ? ? ?，当 ? ? 8fn? 时，求 n
8、 . 18. 如图所示，在四棱锥 P ABCD? 中， 02 , 9 0P A P D A P D? ? ? ?,底面为梯形， / / , 2AB CD CD AB? 且 AB? 平面 PAD . （ 1）证明：平面 PAB? 平面 PCD ； （ 2）当异面直线 PA 与 BC 所成角为 060 时，求四棱锥 P ABCD? 的体积 . 19.某市甲水厂每天生产 45 万吨的生活用水，其每天固定生产成本为 22.5 万元，居民用水的税费价格为每吨 2.5 元，该市居民每天用水需求量是在 ? ?10,70 （单位：万吨）内的随机数，经市场调查，该市每天用水需求量的频率分布直方图如图所示，设 x
9、 （单位：万吨， 10 70x? ）表示该市一天用水需求量 ?fx（单位：万元）表示甲水厂一天销售生活用水的利润（利润 =税费收入 -固定生产成本），注：当该市用水需求量超过 45 万吨时，超过的部分居民可以用其他水厂生产的水，甲水厂只收成本厂供应的税费，该市每天用水需求量的概率用频率估计 . （ 1）求 (40), (50)ff的值，并直接写出 ?fx表达式； （ 2）求甲水厂每天的利润不少于 55 万元的概率 . 20. 已知椭圆 22 1( 0 )xy abab? ? ? ?的左焦点为 F ，上顶点为 ,PO为坐标原点，椭圆的离心率 22e? 且PFO? 的面积为 2 . 5 （ 1）求
10、椭圆的方程； （ 2）设线段 PO 的中点为 M ，经过 M 的直线 l 与椭圆交于 ,AB两点， ( 3,0)C? ，若点 A 关于 x 轴的对称点在直线 BC 上，求直线 l 方程 . 21.设函数 ? ? ? ?2 l n , ( 2 ) 1 ,f x a x x g x a x a R? ? ? ? ? ?. （ 1）当 3a? 时，证明： ? ? 1()4f x g x?； （ 2）若关于 x 的方程 ? ? ? ?f x g x? 有且只有一个实根，求实数 a 的取值范围 . 请考生在 22、 23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22.直线坐标系 xOy 中
11、，在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中， 曲线 : (1 c o s 2 ) 2 c o s (C m m? ? ?为非零常数） （ 1）求曲线 C 的直角坐标方程； （ 2）若直线222:(212xtltyt? ? ? ? ? ? ?为参数） l 与曲线 C 相交于 ,AB两点，点 P 的坐标为 ( 2, 1)?， 当 22PA PB?时，求实数 m 的值 . 23.已知函数 ? ? 2 1 1f x x x? ? ? ?. （ 1）求不等式 ? ? 1fx? 的解集； （ 2）若 0xR?，使不等式 20( ) ( ) 2f x f m?成立，求实数 m 的取值范围 . 试
12、卷答案 一、选择题 1-5: BDADC 6-10:CBCBC 11、 D 12： A 二、填空题 6 13. 13 14.143 15.5511 或 5 16.0,6e 三、解答题 17.解：因为 1, ,nnaS成等差数列，所以 12nnSa? ， 当 1n? 时， 1 1 11 2 1S a a? ? ? ?， 当 2n? 时， 1112nnSa? ， 则 1122n n n nS S a a? ? ?，则 122n n na a ?，即 12nnaa? ， 又 1 0a? ，1 2nnaa? ?，所以 ?na 成等比数列，所以 111 22nnnaa ? ? ?. （ 2）因为 111
13、1 1 1 1()2 2 3 2 nnnnnaa ? ? ? ?， 又 ? ?21 2 2 3 1 11 1 1n n nfna a a a a a a? ? ? ? ? ?，所以12111 ( ) ()321 212nnfn? ?， 所以 ? ? 22 (2 2 )3 nnfn ?， 又 ? ? 22 ( 2 2 ) 83 nnfn ? ? ?，所以 (2 1)(2 3) 0nn? ? ?， 所以 24n? ，所以 2n? . 18.解：（ 1） 090APD?，所以 AP PD? ， 因为 AB? 平面 ,PADPA? 平面 PCD ,所以 AB PA? , 因为 /AB CD ，所以 P
14、A CD? . 因为 CD PD D? ，所以 AP? 平面 PCD ， 又 AP? 平面 PAB ，所以平面 PAB? 平面 PCD . （ 2）如图，取 CD 的中点 M ，连接 ,PMAM ， 因为 2 , / /CD AB AB CD? ， 所以四边形 ABCM 为平行四边形， /AM BC ， 则 PAM? 为异面直线 ,PABC 所成的角，即 060PAM?， 7 由（ 1）知， PA? 平面 PCD ,所以 PA PM? ，又 2PA? ，所以 4AM? ， 而 222 2 2 2AD ? ? ?，所以 224 ( 2 2 ) 2 2DM ? ? ?，所以 4 2 , 2 2CD
15、 AB?， 如图，取 AD 的中点 H ，连接 ,PH PAD? 为等腰直角三角形，则 ,2PH AD PH?， 因为 AB? 平面 PAD ，所以 AB PH? ，又 AB AD A? ，所以 PH? 平面 ABCD . 所以 11 ( 2 2 4 2 ) 2 2 2 4 232P A B C DV ? ? ? ? ? ? ?. 19.解：（ 1） ? ?1 0 2 .5 4 0 2 2 .5 7 7 .5f ? ? ? ?（万元） ? ?5 0 4 5 2 .5 2 2 .5 9 0f ? ? ? ?（万元） 所以 ? ? 2 . 5 2 2 . 5 , 1 0 , 4 5 9 0 , (
16、 4 5 , 7 0 xxfx x ? ? ?（ 2）依题意，当 10 45x? 时，利润 ? ? 2.5 22.5f x x?， 由 2.5 22.5 55x?，解得 31x? ，即 31 45x? ， 当 45 70x? 时，利润 90 万元，显然满足条件， 而 1( 3 1 7 0 ) 1 (0 . 0 0 1 0 . 0 1 2 0 . 0 1 ) 1 0 0 . 810Px ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 所以甲水厂每天的利润不少于 55 万元的概率为 0.8 . 20.解：（ 1）因为 22ca? ，所以 2ac? ， 因为 1 22bc? ，所以 1b c? ， 因为 2
17、2 2a b c?，所以 222162ccc?，所以 2c? ，所以 2 2, 2ab?， 所以 22184xy? . （ 2） PO 的中点为 (0,1)M ，当 AB 垂直于 x 轴时，根据椭圆的对称性，显然满足， 即直线 l 的方程为 0x? ， 当 AB 不垂直于 x 轴时，设 :1AB y kx? 交椭圆于 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y， 8 22221(1 2 ) 4 6 0184y k xk x k xxy? ? ? ? ? ?， 所以1 2 1 22246,1 2 1 2kx x x xkk? ? ? ? ?， 因为点 A 关于 x 轴对称点在直
18、线 BC 上，所以 AC BCkk? ， 1 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2110 , 0 , 2 ( 3 1 ) ( ) 6 03 3 3 3y y k x k x k x x k x xx x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 故226 4 32 ( ) ( 3 1 ) ( ) 6 01 2 1 2 8kk k kkk? ? ? ? ? ? ? ?，所以 3 18yx?， 综上可知， AB 所在的直线方程 l 为 0x? 或 3 8 8 0xy? ? ? . 21.解：（ 1）当 3a? 时，令 ? ? ? ? 213( ) 3 l n ( 0 )44F x f x g x x x x x? ? ? ? ? ? ? ?， ? ? 21 6 1 ( 2 1 ) ( 3 1 ) 16 1 0 2x x x xF x x xx x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 故当 1(0, )2x? 时， ( ) 0Fx? ? ，所以
