1、 2021 年高考全国名校 9 月数学（理）模拟好题集锦：三角函数与解三角形 一、单选题 1 （2020 广东禅城高三月考（理） ）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 cos(2)coscaBabA，则ABC为（ ） A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】余弦定理得 222222 cos,cos 22 cbacab AB bcac 代入原式得 222222222222222 2, 22222 cabcbacbacabcba a cbccacbc 解得 222 0abcab或 则形状为等腰或直角三角形,选 D. 2 （2020 全国
2、高三其他（理） ）已知0, 2 ， 5 sincos 5 ，则tan 4 （ ） A 3 2 B 2 3 C3 D 1 3 【答案】C 【解析】将 5 sincos 5 平方得 1 1 sin2 5 ，得 4 sin2 5 ， 249 sincos1 sin21 55 ， 3 5 sincos 5 aa+= ，与 5 sincos 5 联立， 2 5 sin 5 ， 5 cos 5 ， tan2， tan12 1 tan3 41tan1 2 故选：C 3 （2020 嘉祥县第一中学高三其他）我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜 求积”，设ABC的三个内角, ,A B
3、C所对的边分别为, ,a b c，面积为S，则“三斜求积”公式为 2 222 22 1 42 acb Sa c ，若 2 sin5sinaCA , 22 ()16acb，则用“三斜求积”公式求得 ABC的面积为（ ） A 3 2 B 3 C 1 2 D2 【答案】D 【解析】 2 sin5sinaCA ， 2 5a ca ，5ac ,因为 22 ()16acb， 所以， 222 1626acbac ，从而ABC的面积为 2 2 16 52 42 . 故选:D. 4 （2020 广东高三零模（理） ）公元 263 年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的 面积求圆周率，他从单位
4、圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即 12，24，48，192， 逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，正一百九十二边形，的面积，这些数值逐步地逼 近圆面积， 刘徽算到了正一百九十二边形， 这时候的近似值是 3.141024， 刘徽称这个方法为“割圆术”， 并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所 失矣”.刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无穷，这种 思想极其重要，对后世产生了巨大影响.按照上面“割圆术”，用正二十四边形来估算圆周率，则的近似 值是( )（精确到0.01）.（参考数据si
5、n150.2588） A3.14 B3.11 C3.10 D3.05 【答案】B 【解析】由题意可知，单位圆面积 2 Sr，正二十四边形的面积 2 1 241sin15 2 S . 则 22 1 24sin15 2 rr. 即12sin1512 0.25883.10563.11. 故选：B 5 （2020 全国高三其他（理） ）函数 costanf xxx的部分图象大致为（ ） A B C D 【答案】B 【解析】解： sin ,tan0 costan sin ,tan0 xx f xxx xx ，其定义域为, 2 x xkk Z 当x在第一象限时， sin0f xx，当x在第三象限时， si
6、n0f xx，当x在第二象限时， sin0f xx ，当x在第四象限时， sin0f xx ，结合定义域可知选 B. 故选：B 6 （2020 全国高三其他（理） ）函数 coin 4 s sf xxx 的最小正周期为（ ） A4 B2 C D 2 【答案】C 【解析】解:函数 coscos 22 sin 42 sin 2 cosxxxxf xx 2 12 1 cos2 sin2 2222 x x 222 sin2cos2 444 xx 12 sin 2 244 x ， 其最小正周期为 2 2 T 故选:C 7 （2020 吉林（理） ）若 4 sincos 3 ，且 3 , 4 ，则sin(
7、)cos()（ ） A 2 3 B 2 3 C 4 3 D 4 3 【答案】A 【解析】由题意， 416 sincos1 2sincos 39 ，则 7 2sincos0 9 ， 由于 3 , 4 ，则 2 2 sin()cos()sincos(sincos )12sincos 3 . 故选 A. 8 （2020 山西迎泽太原五中高三二模（理） ） 函数 2 sin(6 ) 2 41 x x x y 的图象大致为( ) A B C D 【答案】D 【解析】 令 2 sin(6 ) 2 cos6 2 ( ) 4141 x x xx x x yf x ， 2cos( 6 )2 cos6 ()( )
8、 411 4 xx xx xx fxf x ， 所以函数 ( )f x 是奇函数，故排除选项 A，又在区间 (0,) 12 时，( )0f x ，故排除选项 B，当x 时，( )0f x ，故 排除选项 C；故选 D. 9 （2020 山西迎泽太原五中高三二模（理） ）已知函数 sin , 4 cos , 4 x x f x x x ，给出下列四个结论： （1） f x不是周期函数 （2） f x是奇函数 （3） f x的图象关于直线 4 x 对称 （4） f x在 5 2 x 处取得最大值 其中所有正确结论的编号是（ ） A （1） （3） B （2） （4） C （1） （3） （4） D
9、 （1） （2） （4） 【答案】A 【解析】函数 sin , 4 cos , 4 x x f x x x 的图象如下图所示： 由上图可知，函数 yf x不是周期函数，命题（1）正确； 函数 yf x不是奇函数，命题（2）错误； 函数 yf x的图象关于直线 4 x 对称，命题（3）正确； 55 coscos 2cos01 2222 f ，命题（4）错误. 故选：A. 10 （2020 全国高三其他（理） ）已知为第二象限角，且3sincos0，则sin 2 （ ） A 10 10 B 3 10 10 C 10 10 D 3 10 10 【答案】D 【解析】3sincos0，3sincos ，
10、 22 sincos1， 22 sin9sin1， 2 1 sin 10 ， 2 9 cos 10 ， 已知为第二象限角，cos0， 3 10 cos 10 ， 即 3 10 10 sincos 2 . 故选：D 11 （2020 全国高三其他（理） ）已知函数 sinsinf xxx， sin sing xxx，现给出如下 结论： f x是偶函数； g x是奇函数； f x和 g x都不是周期函数； f x的最大值为2， 其中错误结论的个数为（ ） A0 B1 C2 D3 【答案】D 【解析】因为 sinsinsinsinfxxxxxf x ， 所以 f x是奇函数，错误； 因为 sinsi
11、ngxxxg x， 所以 g x是偶函数，错误； 因为 1 sinyx的周期 1 2T，是无理数， 2 sinyx的周期 2 2T ，是有理数， 所以 12 yy与 12 y y都不是周期函数，故正确； 假设存在这样的 0 x使得 f x最大值为 2， 故 0 2 2 xk 且 0 2 2 xkkZ ， 即 0 2 2 xk 且 0 1 2 2 xkkZ， 故 1 22 22 kk ，解得 1 4 kk ，与kZ矛盾，故错误， 故选：D. 12 （2020 全国高三其他（理） ）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成 等差数列，设ABC的面积为S，若 2 3 cos
12、3 acBS ，则ABC的形状为（ ） A直角三角形 B钝角三角形 C等边三角形 D等腰直角三角形 【答案】C 【解析】由已知得 3 cossin 3 acBacB ，得tan 3B ， 因为0B，所以 3 B . 因为, ,a b c成等差数列，所以2acb， 由余弦定理，得 222 2cos 3 bacac ， 所以 222 3bacac， 得 2 0ac， 所以acb，所以ABC是等边三角形. 故选：C. 13（2020 河北邢台高三其他 （理） ） 已知定义域为R的函数 ( )f x满足 11 ( ),( )40 22 ffxx， 其中( )fx 为 ( )f x的导函数，则不等式(s
13、in )cos20fxx 的解集为（ ） A 2 ,2 , 33 kkkZ B 2 ,2 , 66 kkkZ C 2 2 ,2 , 33 kkkZ D 5 2 ,2 , 66 kkkZ 【答案】D 令 2 ( )21g xf xx， ( )40gxfxx， 故 g x在 R上单调递增. 又 2 (sin )cos2(sin )2sin1fxxfxx，且 1 ( )0 2 g， 故原不等式可转化为 1 (sin )( ) 2 gxg，所以 1 sin 2 x ， 解得 5 2 2 , 66 kxkkZ. 故选：D. 14 （2020 河南高三其他（理） ）已知函数 ( )2sin(0)f xx
14、的图象沿 x轴向右平移(0) 个单位长度 后得到函数( )g x的图象，若对满足 12 4g xg x的 12 ,x x，有 12min 3 xx ，则（ ） A1 B2 C3 D6 【答案】C 【解析】据题意，得( )2sin()(0)g xx 又对满足 12 4g xg x的 12 ,x x，有 12min 3 xx ， 所以 22 3 ，即3 故选：C 15 （2020 四川内江高三月考（理） ）设函数 23 ( )cos 2sin 2 32 f xxx ，将函数 ( )f x的图像 向左平移(0) 个单位长度，得到函数( )g x的图像，若( )g x为偶函数，则的最小值是（ ） A
15、6 B 3 C 2 3 D 5 6 【答案】A 【解析】因为 23 ( )cos 2sin 2 32 f xxx 22 cos2 cossin2 sin 33 xx sin(22 ) 2 x 13 cos2sin2 22 xx sin(2) 2 x 13 cos2sin2cos2 22 xxx 31 sin2cos2 22 xx sin(2) 6 x ， 所以( )sin 2() 6 g xx sin(22) 6 x ， 因为( )g x为偶函数，所以2 62 k ，kZ， 所以 26 k ，kZ， 因为0，所以0k 时，取最小值 6 . 故选：A. 16（2020 贵州六盘水 高三其他 （理
16、） ） 在 ABC中， 三个内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c， 若 1 s i n 2 bC cosAsinAcosC，且 a2 3，则 ABC面积的最大值为_. 【答案】3 3 【解析】因为 1 sin 2 bC cosAsinAcosC， 所以 1 2 bcosAsinCcosAsinAcosC， 所以 1 2 bcosAsin(AC)，所以 1 2 bcosAsinB， 所以 cos 2 A sin B b ， 又 sin B b sin A a ，a2 3， 所以 cos 2 A sin 2 3 A ，得 tanA3， 又 A(0，)，则 A 3 ， 由余弦定理得(2
17、3)2b2c22bc 1 2 b2c2bc2bcbcbc， 即 bc12，当且仅当 bc2 3时取等号， 从而 ABC 面积的最大值为 1 2 12 3 2 3 3. 故答案为：3 3. 17 （2020 河北邢台高三其他（理） ）已知函数 22 2 a f xsin xcos x的图象关于直线 12 x 对称，则 4 f _. 【答案】 3 3 【解析】函数 22 2 a f xsin xcos x的周期为 ，它的图象关于直线 12 x 对称， f（0）f（ 6 ）1 31 42 a ，a 2 3 3 ， f（ 4 ） 3 23 a ， 故答案为： 3 3 . 18（2020 正定河北正中实
18、验中学高三其他 （理） ） 函数 3sin4cosyxx在x处取得最大值， 则sin _ 【答案】 3 5 【解析】 34 3sin4cos5sincos5sin 55 yxxxxx ，其中 3 cos 5 ， 4 sin 5 依题意可得5sin5，即sin1，2, 2 kkZ 所以 3 sinsin2cos 25 k 故答案为： 3 5 19 （2020 全国高三其他（理） ）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若 3cosi 3 s nabBA ，2bc ，则ABC的面积是_ 【答案】 1 2 【解析】因为3cosi 3 s nabBA ， 由正弦定理得sinsinssin
19、 3 in3ABBA 因为0B，得sin0B ， 所以ssin3co 3 AA ， 化简得 sincoss 1 3 22 in 3 AAA ， 解得 3 tan 3 A ， 又因为0A， 所以 6 A 所以ABC的面积 11 sin 22 SbcA 故答案为： 1 2 20 （2020 辽宁省本溪满族自治县高级中学高三其他（理） ）在ABC 中，角 A，B，C的对边分别为 a，b， c，设ABC 的面积为 S，若 222 4sin3sin2sinABC，则 S AB AC 的最大值为_ 【答案】 7 2 【解析】 222 4sin3sin2sinABC， 所以 222 432abc； 所以 2
20、 2 2 2 2 2 2 1111 2 4242 2 cos 2224 bca A bcbbc b c cbc ， 当且仅当 22 11 42 bc即 2bc 时等号成立， 因为 2 si 1 11 2 1 2cos2cos n c b sinA S c b cosAAAAB AC A 所以当 2 cos 4 A时 S AB AC 取得最大值 7 2 ， 故答案为： 7 2 21 （2020 全国高三一模（理） ）在 ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 b 3，B 3 , 则 2a+ c 的最大值为_ 【答案】2 7 【解析】 分析：由正弦定理可得得22asinAcsi
21、nC， ，化为253acsinAcosA， 即可得出 详解：由 3 2 3 ac sinAsinC sin ， 得22asinAcsinC， ， 24242120532 7acsinAsinCsinAsinAsinAcosAsin A（）（），其中 3 5 arctan 2ac的最大值是2 7 故答案为2 7 22（2020 福建福州高三其他 （理） ） 在 ABC中， 内角 , ,A B C的对边分别为, ,a b c， 若 2 2 s i nc o s1AB， 则 c ba 的取值范围为_ 【答案】2,3 【解析】在ABC中，因为 2 2sincos1AB，所以cos cos2BA，所以2
22、BA 由正弦定理及题设得 sinsin sinsinsinsin ABcC baBABA sincos2cossin2 sin2sin AAAA AA 22 sin2cos12sincos 2sincossin AAAA AAA 2 4cos1 2cos1 2cos1 A A A ， 由 02, 03 BA CA 得 0 3 A，故 1 cos1 2 A， 所以 c ba 的取值范围为2,3 故答案为：2,3 23 （2020 吉林高三其他（理） ）设, ,a b c分别为ABC内角 , ,A B C的对边已知 3 A ，1b 且 22222 (sin4sin)8(sinsinsin)AB c
23、BCA，则a _ 【答案】2 【解析】因为 22222 (sin4sin)8(sinsinsin)AB cBCA 所以 22222 (4)8()ab cbca 又因为1b ，所以 22222 (4)8()ab bcbca 22222 4 88cos4 22 abbca A bc 即 22 4 4 2 ab ，解得2a 故答案为：2 24 （2020 全国高三其他（理） ）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 22 3 sinsin 222 CBbc bc bca （1）求角A的大小； （2）若c a ，求 ab m c 的取值范围 【答案】 （1） 3 A； （2）12m 【
24、解析】 （1）由 22 1 cos1 coscoscos sinsin 222222 bCcBCBbcbCcB bc 222222 22 22222 abcacb bcbcabca aa 所以 3 22 bcabc bca ，可得 2 2 3bcabc， 即 222 bcabc 由余弦定理得 222 1 cos 222 bcabc A bcbc ， 又0,A，所以 3 A （2）由 32 331 sin cossin sinsin23 222 sinsinsin C CC AB m CCC 3 1 cos 1 2 sin2 C C 2 3cos3cos 1131 22 222 2sincos2
25、sin2tan 2222 CC CCCC 因为c a ，所以 3 c ， 又 2 3 BC，所以 2 33 C， 所以 623 C ，得 3 tan3 32 C ， 所以 31 3 3 tan 2 C ， 所以12m 25 （2020 河北邢台高三其他（理） ）ABC的内角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，已知 ()cos2sintanAtanBBC. （1）求A； （2）若 13a ，3 3 ABC S，且sinsinBC，求sinB 【答案】 （1）A 3 ； （2） 3 39 26 【解析】 （1）由()cos2sintanAtanBBC， 得 sinsin cos2sin cosc
26、os AB BC AB ， 即 sincoscossin cos2sin coscos ABAB BC AB ，所以 sin 2sin cos C C A ， 因为在三角形中，sin0C ，所以 1 cos 2 A， 由(0, )A， 所以 3 A . （2） 13 sin3 3 24 ABC SbcAbc ，所以12bc ， 由余弦定理可得： 22222 2cos()2()36abcbcAbcbcbcbc， 所以 2 13()36bc， 所以b+c=7，且12bc ， 因为sinsinCB，所以cb， 解得：3b ，4c ， 由正弦定理 sinsin ab AB ，得 333 39 sins
27、in 22613 b BA a . 26 （2020 四川阆中中学高三其他（理） ）在ABC中，, ,a b c分别是内角, ,A B C的对边，且 22 ()3acbac （1）求角B的大小； （2）若2b ，且sinsin()2sin2BCAA，求ABC的面积 【答案】 （1） 3 B （2） 2 3 3 【解析】 （1）: 2 2 3acbac，可得： 222 acbac， 由余弦定理可得： 222 1 cos 22 acb B ac ， 0,B， 3 B （2）sinsin2sin2BCAA ， sinsin2sin2CACAA， sin coscos sinsin coscos si
28、n4sin cosCACACACAAA，可得：cossin2sin0ACA， cos0A，或sin2sinCA， 当cos0A时， 2 A ，可得 2 tan3 b c B ，可得 1122 3 2 2233 ABC Sbc ； 当sin2sinCA时，由正弦定理知2ca，由余弦定理可得： 222222 4423acacaaaa， 解得： 2 3 3 a ， 4 3 3 c ， 12 34 332 3 23323 ABC S 27 （2020 西藏日喀则区南木林高级中学高三月考）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 2cos( coscos )C aBbAc. （1）求角 C；
29、（2）若7c ， 3 3 2 ABC S，求ABC的周长. 【答案】 （1） 3 C （2）5 7 【解析】 ： （1）由已知可得2cos (sincossincos )sinCABBAC 1 2cossin()sincos 23 CABCCC （2） 1313 sin36 2222 ABC SabCabab 又 222 2cosababCc 22 13ab， 2 ()255abab ABC的周长为57 28 （2020 全国高三一模（理） ）如图，在四边形 ABCD 中，60A，90ABC，已知3AD ， 6BD . （1）求sinABD的值； （2）若2CD ，且CDBC，求 BC的长.
30、【答案】 （1） 6 4 （2）1BC 【解析】 （1）在ABD中，由正弦定理，得 sinsin ADBD ABDA ， 因为60A，3AD ，6BD ， 所以 136 sinsin 242 AD ABDA BD ； （2）由（1）可知， 6 sin 4 ABD，因为90ABC， 所以 6 coscos 90sin 4 CBDABDABD ， 在BCD中，由余弦定理，得 222 2cosCDBCBDBC BDCBD， 因为2CD ，6BD ， 所以 2 6 4626 4 BCBC， 即 2 320BCBC，解得 1BC 或2BC ， 又CDBC，则1BC . 29（2020 全国高三其他 （理
31、） ） 已知函数 sincosf xmxnx的部分图象如图所示， 其中m，nR， 0 （1）根据图中提供的信息，求函数 f x的解析式； （2）若ACB为ABC的内角，且 3 10 410 ACB f ，D为AB的中点，2AB ，若ACB为锐角， 求CD的最大值 【答案】 （1） sin 2 4 f xx ； （2）2. 【解析】 （1）由题图可知 3 4884 T ，所以T， 所以 2 ，所以2， 所以 sin2cos2f xmxnx， 又因为1 8 f ， 3 0 8 f ， 所以 22 0 22 22 1 22 mn mn ， 解得 2 2 m ， 2 2 n ， 所以 22 sin2c
32、os2sin 2 224 f xxxx （2）因为 223 10 sincos 4222210 ACBACBACB f ， 所以 2 2 3 5 sincos 225 ACBACB ， 即 9 1 sin 5 ACB ， 所以 4 sin 5 ACB， 又因为ACB为锐角， 所以 3 cos 5 ACB， 如图所示，设BCa，ACb，ABc，ADC， 由题可知2c ， 1 1 2 ADBDAB， 由余弦定理可得， 22 1 2cosaCDCD ， 22 1 2cosbCDCD ， 所以 222 22CDab ， 在ABC中，由余弦定理可知， 22 6 4 5 abab， 因为 22 2abab
33、， 所以 222222 32 4 55 bababa， 解得 22 10ab，当且仅当5ab时，取等号， 所以CD的最大值为 2 30（2020 山西迎泽太原五中高三二模 （理） ） 在 ABC中， 3 cos()cossin()sin() 5 ABBABAC ， 其中角, ,A B C的对边分别为, ,a b c； （1）求sin A的值; （2）若 4 2a ，5b ，求向量BA在BC方向上的投影. 【答案】 （1） 4 sin 5 A ； （2） 2 2 . 【解析】 （1）由已知得： 3 cos()cossin()sin 5 ABBABB 3 cos() 5 ABB ，即 3 cos
34、5 A 又0A，所以 4 sin 5 A （2）由正弦定理，有 sinsin ab AB ，所以 sin2 sin 2 bA B a ， 由题知ab，则 AB，故 4 B . 根据余弦定理，有 222 3 (4 2)52 5() 5 cc ， 即 2 706cc 解得1c 或7c （负值舍去） ， 向量BA在BC方向上的投影为cosBAB 2 2 . 31（2020 全国高三二模 （理） ） 已知 ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 且 2 t a nt a n b cc AC （1）求角A； （2）若7a ，ABC的面积为 3 3 2 ，求ABC的周长. 【答案】 （1） 3
35、 A ； （2）5 7 . 【解析】 （1）因为 2 tantan bcc AC ，所以 sinsin (2) coscos CA bcc CA ， 在ABC中，由正弦定理得 sinsin (2sinsin)sin coscos CA BCC CA ， 因为sin0C ，所以(2sinsin)cossincosBCAAC， 整理得2sincossincossincossin()sinBAACCAACB， 由sin0B ，得 1 cos 2 A，所以 3 A . （2）因为 1133 3 sin 23222 ABC Sbcbc ，所以6bc ， 因为 7a ，所以 2222222 72cos()
36、3()18 3 abcbcbcbcbcbcbc ，得 5bc. 即ABC的周长为5 7 . 32（2020 全国高三二模 （理） ） 在 ABC中， 角 , ,A B C的对边分别是, ,a b c， 且 2 3 s i n2 c o s 2 BC aCc . （1）求角 A的大小； （2）若7a ，ABC的面积是15 3 4 ，求ABC的周长. 【答案】 （1） 2 3 ； （2）15 【解析】 （1）在ABC中，ABC，所以coscossin 222 BCAA ， 根据正弦定理，得 2 3sinsin2sinsin 2 A ACC， 因为sin0C ，所以 2 3sin2sin 2 A A
37、， 所以 2 2 3sincos2sin 222 AAA ，又sin0 2 A ，所以3cossin 22 AA ， 所以tan3 2 A ，易知0,0 22 A A ，所以 23 A ，故 2 3 A . （2）由题意得 1315 3 sin 244 bcAbc，得15bc ， 由余弦定理，得 2222 2cos49bcbcAbcbc， 即 2 49bcbc，所以 2 1549,8bcbc， 故ABC的周长为15abc . 33 （2020 全国高三其他（理） ）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 bcbca ac. （1）求B； （2）若ABC是锐角三角形，且ABC的面
38、积为 3，求边c的取值范围. 【答案】 （1） 3 B ； （2） 2,2 2. 【解析】 （1）由bcbca ac，得 222 acbac， 所以在ABC中，由余弦定理得 222 1 cos 22 acb B ac ， 因为ABC中，0B，所以 3 B . （2）因为ABC是锐角三角形，所以 0, 32 0, 2 2 0, 32 B A A ，即 62 A . 因为 113 sinsin3 2234 ABC SacBacac ，所以4ac . 设ABC的外接圆半径为R，则 2 4sinsin4acRAC ，所以 2 4 4 sinsin R AC ， 即有 2 222 4sin 4sin4sin3 4sin sinsinsinsin A CC cRC ACAA 31 4cossin 22 2 3 2 sintan AA AA ， 因为 62 A ，所以 3 tan 3 A，即有 1 03 tan A ， 2 3 228 tan A ， 所以 2 28c ，即 22 2c . 故边c的取值范围为2,2 2
