1、 1 江苏省苏州市 2017届高三数学 12月月考试题 2016.12 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分不需要写出解答过程，请把答案直接填在 答题卡相应位置上 1 已知集合 1 , 3 , 0 ,1 , , 0 ,1 , 3 ,A B a A B a? ? ? ? 则= 2 设 aR? ，若复数 (1 )( )i a i?的虚部为零，则 a? 3 设命题 p： ? x R， x2 10，则 ? p为 4 函数 ln()42xxfx? ?的定义域为 5 若函数 ? ?( ) 2 sin 3f x x?( 0)? 的图象与 x 轴相邻两个交点间的距离为 2，则实数
2、? 的值为 6 已知实数 ,xy满足 5 0,2 2 0,0,xyxyy? ? ? ? ?则目标函数 z x y?的最小值为 7 设 nS 是首项不为零的等差数列 na 的前 n 项和，且 1 2 4,S S S 成等比数列，则 21aa? 8 在平面 直角坐标系 xOy 中，若曲线 lnyx? 在 ex? (e 为自然对数的底数 )处的切线与直线30ax y? ? ? 垂直，则实数 a 的值为 9 已知动圆 C 与直线 20xy? ? ? 相切于点 ? ?02A ?， ，圆 C 被 x 轴所截得的弦长为 2 ，则满足条件的所有 圆 C 的半径之积是 10 在椭圆 ? ?22: 1 0xyC
3、a bab? ? ? ?中 , 斜率为 ? ?kk? 的直线交椭圆于左顶点 A和另一点 B,点B在 x轴上的射影恰好为右焦点 F,若椭圆离心率 13e? ,则 k 的值为 11 已知函数 3 , 0 ,1() 93, (1, 3 22x xfx xx? ? ? ?，当 0,1t? 时， ( ( ) 0,1f f t ? ，则实数 t 的取值范围是 12 在面积为 2的 ABC? 中 ,E ,F 分别是 AB ,AC 的中点 ,点 P 在直线 EF 上 ,则 2BCPBPC ?2 的最小值是 13 已知 ABC? 的内角 ,AB满足 sin cos( )sin B ABA ?，则 tanB 的最
4、大值为 14 已 知 函 数 ( ) 3f x x a?与 函 数 ( ) 3 2g x x a? 在区间 (,)bc 上 都 有 零 点 ， 则2222 2 42a ab ac bcb bc c? ? ?的最小值为 二、解答题：本大题共 6小题，共计 90分请在 答题卡指定区域内 作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 15 （本小题满分 14分） 在 ABC? 中，角 A、 B、 C 所对应的边分别为 a、 b、 c，已知向量 (cos , cos ),m A B? ( 2 , ),n b c a m n? ? ?且 （ 1）求 A的大小 ； （ 2）若 43a? ， 8bc
5、? ，求 ABC? 的面积 16 （本小题满分 14分） 已知函数 f(x) ex e x，其中 e是自然对数的底数 (1)证明： f(x)是 R 上的偶函数 ； 3 A P x y O (2)若关于 x的不等式 mf(x)e x m 1在 (0， ) 上恒成立，求实数 m的取值范围 17 （本小题满分 14分） 如图 ，一条宽为 1km 的两 平行河岸有村庄 A和供电站 C，村庄 B与 A、 C的直线距离都是 2km，BC与河岸垂直，垂足为 D现要修建电缆，从供电站 C向村庄 A、 B供电修建地下电缆、水下电缆的费用分别是 2万元 /km、 4万元 /km （ 1）已知村庄 A 与 B 原来
6、铺设有旧电缆，但旧电缆需要改造，改造费用是 0.5 万元 /km现决定利用此段旧电缆修建供电线路 ，并要求水下电缆长度最短，试求该方案总施工费用的最小值 ； （ 2）如图 ，点 E 在线段 AD上，且铺设电缆的线路为 CE、 EA、 EB若 DCE (0 3 )，试用 表示出总施工费用 y (万元 )的解析式，并求 y的最小值 18 （本小题满分 16分） 椭圆 22 1( 0 )xy abab? ? ? ?的离心率为 22 , 过点 21( , )22P , 记椭圆的左顶点为 A . （ 1）求椭圆的方程； （ 2）设垂直于 y 轴的直线 l 交椭圆于 ,BC两点 , 试求 ABC? 面积的
7、最大值； （ 3）过点 A 作两条斜率分别为 12,kk的直线交椭圆于 ,DE两点，且 122kk? , 求证 : 直线 DE 恒过一个定点 . 4 19 （本小题满分 16 分） 已知函数 ? ? xxaxxf ln2221 2 ? ， a?R . (1) 当 3?a 时，求 ()fx的单调增区间； (2) 当 1?a ，对于任意 12, (0,1xx? ，都有 1 2 1 2| | | ( ) ( ) |x x f x f x? ? ?，求实数 a 的取 值范围； （ 3） 若函数 ?xf 的图 象 始终在直线 23 ? xy 的下方，求 实数 a 的 取值 范围 . 20 （本小题满分
8、16分） 已知正项数列 an的前 n项和为 Sn，且满足 a1 2， anan+1 2(Sn 1) ( *n?N ) （ 1）求数列 an的通项公式； （ 2）若数列 bn满足 b1 1，111nn n n nb a a a a? ? ( 2n ， *n?N )，求 bn的前 n项和 Tn； 5 （ 3）若数列 cn满足1 1lg 3c?， 1lg3nn nac ?( 2n ， *n?N )，试问是否存在正整数 p， q（其中1 0)，则 t1，所以 m t 1t2 t 1 1t 1 1t 1 1对任意 t1 成立 ? ? ? 10 分 因为 t 1 1t 1 12 （ t 1） 1t 1 1
9、 3, ? ? ? 12分 所以 1t 1 1t 1 1 13， 当且仅当 t 2, 即 x ln 2时等号成立 ? ? ? 13分 10 因此实数 m 的取值范围是 ? ? ， 13 .? ? ? 14分 17 解： （ 1） 由已知可得 ABC为等边三角形 ， AD CD， 水下电缆 的最短线路 为 CD. 过 D作 DE AB于 E，可知 地下电缆 的最短线路为 DE、 AB. ? 3分 又 CD 1， DE 32 ， AB 2， 故 该方案 的 总费用 为 1 4 32 2 2 0.5 5 3 （万元） ? 6分 （ 2） DCE (0 3 ) CE EB 1cos ， ED tan
10、， AE 3 tan . 则 y 1cos 4 1cos 2 ( 3 tan ) 2 2 3 sincos 2 3 ? 9分 令 f ( ) 3 sincos (0 3 ) 则 f ， ( ) cos2 (3 sin )( sin )cos2 3sin 1cos2 ， ? 11分 0 3 ， 0 sin 32 ，记 sin 0 13， 0 (0, 3 ) 当 0 0时， 0 sin 13， f ， ( ) 0 当 0 3 时 ， 13 sin 32 ， f ， ( ) 0 f ( )在 0, 0)上单调递减，在 ( 0, 3 上单调递增? 13分 f ( )min f ( 0)3 132 23 2 2，从而 ymin 4 2 2 3， 此时 ED tan 0 24 ， 答： 施工总费用的最小值为 （ 4 2 2 3） 万元，其中 ED 24 . ? 14 分 18 解析 （ 1） 由222 2 22211124caaba b c = += =+， 解得 221, ,a b c= = =
