1、 1 江苏省扬州市 2018届高三数学 10月月考试题 一、填空题（本大题共 14小题，每小题 5分，计 70分） 1. 已知集合 2 | 2 0A x x x a? ? ? ?，且 1A? ，则实数 a 的取值范围是 2. 设 2(1 2 ) ( , R )i a bi a b? ? ? ?， 其中 i 是虚数单位， 则 ab? 3. 已知 m 为实数，直线 1 : 1 0l mx y? ? ?， 2 : (3 2 ) 1 0l m x m y? ? ? ?，则“ 1m? ”是 “ 12/ll”的 条件（请在“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不 必要”中选择一个填空） 4. 抛物线
2、2 4yx? 的焦点到双曲线 22128xy?的渐近线的距离为 _ _ 5. 若曲线 lny kx x? 在点 (1, )k 处的切线平行于 x 轴 ,则 k? _ _. 6. 方程 lg( 2) 1xx?有 个不同的实数根 7. 设 1F 、 2F 是椭圆 14 22 ?yx 的两个焦点，点 P 在椭圆上，且满足 221 ? PFF， 则点 P 到 x 轴的距离为 8. 在三角形 ABC中， CBBCABA s ins in,7,5,120 则? ? 的值为 9. 已知函数 ? ?2( ) 2f x x x x a b? ? ?， ，的值域为 ? ?13?， ，则 ba? 的取值范围是 _
3、_ 10. 已知圆 C 过点 (1,0) ，且圆心在 x 轴的正半轴上直线 :1l y x?被圆 C 所截得的弦长为 22，则过圆心且与直线 l 垂直的直线的方程为 11. 已知函数 sin ( 0)yx?在区间 0, 2? 上为增函数，且图象关于点 (3,0)? 对称，则 ? 的取值集合为 12. 在矩形 ABCD 中，已知 3, 2AB AD?，点 E 是 BC 的中点，点 F 在 CD 上，若3AB AF?则 AEBF? 的值是 . 2 13. 已知定义在 R 上的函数 2( ) ( 2)f x x ax?，若函数 /( ) ( ) ( ) , 0 ,1 g x f x f x x? ?
4、 ?，在 0x? 处取得最 小 值，则 负 数 a 的 取值 范围 为 14. 在直角坐标中 xOy ，圆 1C ： 228xy?， 圆 2C ： 2218xy?，点 ? ?1,0M ，动点 A 、B 分别在 圆 1C 和 圆 2C 上，满足 MA MB? ，则 |MA MB? 的取值范围是 二、解答题（本大题共 6小题，计 90 分） 15.（本小题满分 14分） 已知函数 ? ? 22s in s in6f x x x ? ? ?， 0, 2x ? （ 1） 求 ()fx的值域 ； （ 2）若 ABC? 的面积为 332 ，角 C 所对的边为 c ，且 1()2fC? ， 7c? ， 求
5、ABC?的周长 16.（本小题满分 14分） 二次函数 2 ( 0)y x bx b? ? ?图像 与 x 轴交于 O ， A 两点，交直线 :l y x? 于 O ， B两点，经过三点 O ， A ， B 作圆 C （ 1） 求证：当 b 变化时，圆 C 的圆心在一条定直线上； （ 2） 求证：圆 C 经过除原点外的一个定点 3 17.（本小题满分 14分） 已知 33(cos , sin )22a ? ， (cos , sin )22b ?，且 0, 3? （ 1） 求|abab?的最值； （ 2）若 | | 3 | |ka b a kb? ? ?，求实数 k 的取值范围 18. （本小题
6、满分 16 分） 某建筑公司要在一块宽大的矩形地面 (如图所示 )上进行开发建设，阴影部分为一公共设施建设不能开发，且要求用栏栅隔开 (栏栅要求在一直线上 )，公共设施边界为曲线f (x) 1 ax2(a 0)的一部分，栏栅与矩形区域的边界交于点 M、 N，交曲线于点 P，设 P(t， f (t) （ 1）将 OMN(O为坐标原点 )的面积 S表示成 t的函数 S(t)； （ 2）若在 t 12处， S(t)取得最小值，求此时 a的值及 S(t)的最小值 4 19.（本小题满分 16分） 已知椭圆 22: 1( 0 )xyC a bab? ? ? ?的离心率为 12 ，右焦点 (1,0)F ，
7、 左、右顶点分别 为 A ， B ，直线 l 过 F 点且 与椭圆 C 交于 P 、 Q 两点（点 P 在 x 轴上方） ，直线 直线 AP ，BQ 的斜率分别为 1k ， 2k （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）若 1 1k? ，求 AFP? 的面积； （ 3） 是否存在常数 ? ，使得 12kk? ？若存在，求 出 ? 的值；若不存在，请说明理由 20.（本小题满分 16分） 设函数 2( ) ( )xf x ax e a? ? ? R有且仅有两个极值点 1 2 1 2, ( )x x x x? （ 1）求实数 a 的取值范围； （ 2）是否存在实数 a 满足 2311()f x e
8、x? ？如存在，求 ()fx的极大值；如不存在，请说明理由 A B O F P Q x y 5 高三数学 10 月考附加题 21. 已知矩阵 302A a?， A 的逆矩阵 1 1 031Ab?，求 A 的特征值 22. 在直角坐标系中，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相 同的单位长度已知曲线1325: 45xtCyt? ? ?（ t 为参数）和曲线 22 : sin 2 cosC ? ? ? 相交于 AB、 两点，求 AB 中点 的 直角坐标 6 23. 抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有 1， 2， 3， 4的正四面体，其底面落于桌面，记所得数字分别为 x
9、， y设 ? 为随机变量，若 xy为整数，则 0? ；若 xy为小于 1的分数，则 1? ； 若 xy为大于 1的分数，则 1? （ 1）求概率 ( 0)P? ； （ 2）求 ? 的分布列，并求其数学期望 ()E? 24. 已知 *,mn N? ，定义 ( 1 ) ( 2 ) ( 1 )() !n n n n n mfm m? ? ? ? ? （ 1）记 6()ma f m? ，求 1 2 12a a a? ? 的值； （ 2）记 ( 1) ( )mmnb mf m? ，求 1 2 2nb b b? ? 所有可能值的集合 高三 10 月考参考答案 1. 1a? 2. 12? 3. 充分不必要
10、4.255 5. -1 6.2 7. 33 8.35 7 9. 2,4 10. 30xy? ? ? 11. 13， 23， 1 12. 13? 13.3 ,0)2? 14. ? ?4,614.【解析】 |MA MB? 即为线段 AB 的长设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y，则 221122818xyxy? ? ? 又 PQ 的中点 ( , )Nxy ，即 1 2 1 2( , )22x x y yN ?， 则有 2 2 2 222 1 1 2 2 1 2 1 21 2 1 2( ) ( ) 2 ( ) 1 3 1 ()4 2 2x y x y x x y yx y
11、 x x y y? ? ? ? ? ? ? ? ?， 由条件， MA MB? ，得 1 2 1 2 1 2 1 2 1x x y y x x x? ? ? ? ? ?， 所以 22 13 122x y x? ? ? ?，即 221 25()24xy? ? ?，由于 2AB MN? ， 5 1 5 1,22MN ?，所以 ? ?4,6AB? 15. 解：（ 1）1 co s 21 co s 2 1 1 3 13( ) co s 2 s i n 2 co s 22 2 2 2 2 2xxf x x x x? ? ? ? ? ? ? ?3 1 1s in 2 c o s 2 s in 24 4 2
12、6x x x ? ? ? ? ? 0, 2x ? ， 52 , 6 6 6x ? ? ? ? ? ? ，故 11( ) , 42fx? （ 2） 由已知 ， 1 3 3sin C22ab ? 由 1()2fC? ，得 C 3? ， 所以 6ab? 由已知及余弦定理得 , 22 2 c o s C 7a b ab? ? ?故 2213ab?,从而 ? ?2 25ab? 所以 C? 的周长为 57? 16. 解：（ I）在方程 y=x2+bx中令 y=0， y=x，易得 A（ b， 0）， B（ 1 b， 1 b） 设圆 C的方程为 x2+y2+Dx+Ey=0， 8 则 ? ， 故经过三点 O，
13、A， B的圆 C的方程为 x2+y2+bx+（ b 2） y=0， 设圆 C的圆心坐标为（ x0， y0）， 则 x0= ， y0= ， y 0=x0+1， 这说明当 b变化时，（ I）中的圆 C的圆心在定直线 y=x+1上 （ II）设圆 C过定点（ m， n），则 m2+n2+bm+（ b 2） n=0，整理得（ m+n） b+m2+n2 2n=0， 它对任意 b0 恒成立， ? 或 故当 b变化时，（ I）中的圆 C经过除原点外的一个定点坐标为（ 1， 1） 17. 解答 (1) a b cos2 ， |a b|2 |a|2 |b|2 2a b 2 2cos2 4cos2 . a b|a
14、 b| cos22cos cos 12cos . 令 t cos ，则 12 t1 ， ? ?t 12t 1 12t20. t 12t在 t ? ?12， 1 上为增函数 12 t 12t 12， 即所求式子的最大值为 12，最小值为 12. (2)由题设可得 |ka b|2 3|a kb|2， 又 |a| |b| 1， a b cos2 ， 原式化简得 cos2 1 k24k . 由 0 3，得 12cos2 1 ， 12 1 k24k 1 ， 解得 k 2 3， 2 3 1 18.【解析】 (1)y 2ax，切线斜率是 2at， 切线方程为 y (1 at2) 2at(x t) 令 y 0
15、，得 x212atat， M21 ,02atat? ， 令 x 0，得 y 1 at2， N(0， 1 at2)， OMN的面积 S(t)? ?221 4atat. (2)S( t)2 4 2 2 2223 2 1 1 ) ( 3 144a t a t a t a ta t a t （ ）， 9 由 a 0， t 0， S( t) 0，得 3at2 1 0，即 t13a. 当 3at2 1 0，即 t13a时， S( t)0；当 3at2 10，即 0t13a时， S( t)0. 当 t13a时， S(t)有最小值 已知在 t12处， S(t)取得最小值，故有13a 2， a43.故当 a43
16、， t12时， S(t)min S12?241(1 ? )34414 32?23. 答：略 19. 解：（ 1） 21,21 ? acace? ， 222 cba ? 3?b ， 134 22 ? yx椭圆方程为 ? 4分 （ 2） 10,2- 1 ?kA ），（? ， 2? xyAP 的方程为直线 由?134222 yxxy 得 ?02712722211yxyx71871232121)712,72( ? ? PAFP yAFSP ? 10分 （ 3） 设 11( , )Px y ， 22( , )Qx y ，直线 l 的方程为 1x my?， 代入椭圆方程 22143xy?，得 22( 4
17、3 ) 6 9 0m y m y? ? ? ?， 12 2643myy m? ? ? ?，12 2943yy m? ?，所以1 2 1 2293 ()4 3 2mm y y y ym? ? ? ?， 10 由 ( 2,0)A? ， (2,0)B ， 111x my?， 221x my?， 所以 1 1 22 1 222k y xk x y? 1 2 11221 1 2 23 ()( 1 ) 123( 3 ) 3( ) 32y y yy m yy m y y y y? ? ?， 故存在常数 13? ，使得1213kk? ? 16 分 20. (1) ( ) 2 xf x ax e? ? 显然 0a? ， 12,xx是直线 12y a?与曲线 ()xxy g x e?两交点的横坐标 由 1( ) 0xxgx e? ?，得 1x? 列表： x ( ,1)? 1 (1, )? ()gx? ? 0 ? ()gx max 1()gx e? 此外注意到： 当 0x? 时， ( ) 0gx? ； 当 0,1x? 及 (1, )x? ? 时， ()gx的取值范围分别为 10, e和 1(0, )e 于
