1、 - 1 - 山东省、湖北省部分重点中学 2018 届高三数学第二次（ 12 月）联考试题 理 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1 （原创，容易） 已知复数 z 满足 (1 ) 3i z i? ? ? ，则 z 在复平面内对应的点 位于 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象 限 【答案】 B 【解析】 (1 ) 3i z i? ? ? 3 21 izii? ? ? ? ? ,则 2zi? ? .故选 B 【考点】复数运算及几何意义 . 2（原创，容易）已知全 集 ? ? ? ?2| 5 6 0 , 1 2
2、U x Z x x A x Z x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ? ?2,3,5B? ，则 ? ?UAB? （ ） A ? ?2,3,5 B ? ?3,5 C ? ?2,3,4,5 D ? ?3,4,5 【答案】 B 【解析】 ? ? ? ?0 ,1, 2 , 3, 4 , 5 , 0 ,1, 2UA?,则 ? ?UAB? ? ?3,5 . 【考点】二次不等式及 集合运算 . 3.（原创，容易）在 等差数列 ?na 中， 7=14S ，则 2 4 6aaa? ? ? （ ） A 2 B 4 C 6 D 8 【答案】 C 【解析】 7 4 4= 14 7 1 4 2S a a? ?
3、? ?,则 2 4 6 436a a a a? ? ? ?. 【考点】等差数列性质 . 4.（原创，容易）如图，网格纸上的小正方形边长为 1，粗实线画 出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ） A 8+43 B 8+23 C 4+4 3 D 4+2 3 【答案】 A 【解析】三视图还原为三棱锥 A BCD? ，如左下图所示， - 2 - 则三棱锥 A BCD? 的表面积为 A BCDS? ? 2134 2 2 ( 2 2 ) 2 8 4 324? ? ? ? ? ? ? ? 【考点】三视图还原及三棱锥的表面积 . 5.（原创，中档）已知1 .1 0 .6 122 , 3 , lo g
4、 3a b c? ? ?,则 ,abc的大小为（ ） A b c a? B.a c b? C. bac? D.abc? 【答案】 D 【解析】1 .1 0 .6 122 0 , 3 0 , lo g 3 0a b c? ? ? ? ? ?, 51 .1 0 .6 3 52 2 , 3 3 2 3 2ab? ? ? ? ? ? 【考点】指数函数对数函数的性质 . 6.（原创，中档） 若 函数 ( ) sin(2 )3f x x ?图象的横坐标伸长到原来的 2 倍 , 纵坐标不变 ,再向左平移 6? 得到函数 ()gx的图象，则有 （ ） A ( ) cosg x x? B ( ) sing x
5、x? C ( ) cos( )3g x x ? D ( ) sin( )3g x x ? 【答案】 A 【解析】： 2 6s i n ( 2 ) s i n ( ) s i n ( ) c o s3 3 2y x y x y x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?左 移横 坐 标 变 为 倍. 【考点】正余弦型函数的图象变换 . 7.（原创，中档）已知命题 :p 若 a c b c? ? ? ，则 ab? ，命题 :q 若 2,a b a b? ? ?，则2 1b? ，则有 （ ） A p 为真 B. q? 为真 C. pq? 为真 D.pq? 为真 【答案】 D 【解析】 p 为假
6、， 2,a b a b? ? ? 22 1 1b b b b? ? ? ? ? ? ?， q 为真 . 则 pq? 为真，故选 D 【考点】向量数量积与模、不等式及简易逻辑 . - 3 - 8.（原创，中档）若 2 co s 2 3 sin 2co s( )4? ? ?，则 sin2? （ ） A 13 B 23 C 23? D 13? 【答案】 C 【解析】 222 ( c o s s i n ) 3 s i n 2 2 ( c o s s i n ) 3 s i n 2c o s s i n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 24 4 s in 2 3 s in 2 s in 2
7、3? ? ? ? ? ? ?或 sin2 2? (舍 ),故选 C 考点：三角函数恒等变形 9.（原创，中档） 如图所示，扇形 AOB 的半径为 2 ，圆心角为 90 ，若扇形 AOB 绕 OA 旋转一周，则图中阴影部分绕 OA 旋转一周所得几何体的体积为（ ） A 3? B 5? C 83? D 163? 【答案】 C 【解析】 扇形 AOB 绕 OA 旋转一周所得几何体的体积为球体积的12 ，则 32 1633Vr?， AOB? 绕 OA 旋转一周所得几何体的体积为 31833r ? ，阴影部分旋转所得几何体的体积为 83? ，故选 C 【考点】旋转体体积、割与补 . 10 （原创，中档）
8、函数 22() 41xx xfx ? ?的图象大致为（ ） A B - 4 - C D 【答案】 A 【解析】 222( ) ( ) ( ) ( )4 1 2 2xx x xxxf x f x f x f x? ? ? ? ? ? ?为奇函数，排除 B； ( ) 0x f x? ? ? ?；排除 D； 2 1 2 1(1 = ( ) ( ) (1 )3 2 4 2f f f f? ? ?） ， ， 排除 C；故选 A 【考点】函数性质及图象 . 11.（原创，中档）已知从 1 开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为 1，第二行为 3， 5，第三行为 7， 9， 11，第四行为 13，
9、15， 17， 19，如图所示，在宝塔形数表中位于第 i 行，第 j 列的数记为 ,ija ，比如3 2 4 2 5 49 , 1 5, 2 3， ， ，? ? ?a a a，若 , 2017ij? ，则 ij?（ ） A 64 B 65 C 71 D 72 【答案】 D 【解析】奇数数列 2 1 2 0 1 7 1 0 0 9na n n? ? ? ? ?， 按照蛇形排列，第 1 行到第 i 行末共有 (1 )12 2iii ? ? ? ? 个奇数 ,则第 1 行到第 44 行末共有 990 个奇数；第 1 行到第 45 行末共有 1035个奇数；则 2017 位于第 45 行；而第 45
10、行是从右到左依次递增，且共有 45 个奇数；故 2017 位于第 45 行，从右到左第 19 列，则4 5, 2 7 7 2i j i j? ? ? ? ?，故选 D 【考点】等差数列与归纳推理 . 12.（原创，难）已知函数 ( ) 2 c o s 2 c o s ( )4f x x x ?，给出下列命题：函数 ()fx的最小正周期为 2? ；函数 ()fx关于 4x ? 对称；函数 ()fx关于 3( ,0)4? 对称；函数 ()fx的值域为 4 6 4 6 , 99? ，则其中正确的命题个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 - 5 - 【答案】 D 【解析】 ( ) 2
11、c o s 2 c o s ( )4f x x x ?的周期显然为 2? ； ( ) 2 c o s ( 2 ) c o s ( ) 2 s i n 2 s i n4 2 2f x x x x x? ? ? ? ? ? ?； ( ) 2 c o s ( 2 ) c o s ( ) 2 s i n 2 s i n4 2 2f x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?； ( ) ( )44f x f? ? ?，故正确 . 33( ) 2 c o s ( 2 ) c o s ( ) 2 s i n 2 c o s42f x x x x x? ? ? ? ? ? ? ( ) 2 c o s
12、 ( 2 ) c o s ( ) 2 s i n 2 c o sf x x x x x? ? ? ? ? ? ?； 33( ) ( )44f x f x? ? ?，故正确 . 2( ) ( c o s s in ) ( c o s s in )f x x x x x? ? ?， 设 22c o s s in ( c o s s in ) 2x x t x x t? ? ? ? ? ?，则 2, 2t? ， 32y t t? 2 m i n m a x6 4 6 4 62 3 0 ,3 9 9y t t y y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，故正确 【考点】三角恒等变形、函数周期性、
13、对称性及值域 . 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 . 13.（原创，容易） 若 ( , 2), ( 1,1)a x b x? ? ?，若 ( ) ( )a b a b? ? ? ，则 x? 【答案】 1? 【解析】 22( ) ( ) 1a b a b a b x? ? ? ? ? ? ? ? 【考点】 向量坐标运算及向量垂直 . 14.（原创，容易） 已知实数 ,xy满足 102 4 00xyxyx? ? ? ? ?，则 2z x y? 的最小值为 【答案】 5 【解析】 由题意可得可行域为如图所示（含边界），112 22z x y y x z? ? ? ? ? ?，则在点
14、(1,2)A 处取得最小值 5 【考点】基本型的 线性规划 15.（原创，中档） 已知在数列 ?na 的前 n 项之和为 nS ， 若 1112, 2 1nnna a a ? ? ? ?，则10S? - 6 - 【答案】 1078 【解析】 111 1 12 , 2 1 2 1nnn n n na a a a a? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 2 3 2 2 1 1( ) ( ) ( ) ( )n n n n na a a a a a a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 23 12 2 2 1 1nnna n a? ? ? ? ? ? ? ?. 1 1
15、12 1 2 212n nnn? ? ? ? ? ? ? . 2910 1 0 1 11 2 2 2 1 0 7 82S ? ? ? ? ? ? ?. 【考点】等差 等比数列及均 值不等式 16.（原创，难） 四棱锥 S ABCD? 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，侧面 SAD 是以 SD为斜边的等腰直角三角形，若 2 2 4SC?，则四棱锥 S ABCD? 的体积 取值范围为 【答案】 4 3 8 , 33 【解析】如图所示， 四棱锥 S ABCD? 中，可得：;A D S A A D A B A D? ? ? ?平面 SB? 平面 SAB? 平面ABCD ，过 S 作 SO A
16、B? 于 O ，则 SO? 平面 ABCD ，故1433S A B C D A B C DV S S O S O? ? ? ?，在 SAB? 中， 2SA AB?， 设 SAB ?，则有，2 3 2 cosSC ? ,又 2 2 4SC? 1 1 2c o s , 2 2 3 3? ? ? ? ? ?，则2 sin 3, 2SO ?，四棱锥 S ABCD? 的体积 取值范围为 4 3 8 , 33 【考点】线面垂直、面面垂直、解三角不等式及体积范围 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17.（本题满分 12 分） （原创，容易） 已知单
17、调的等比数列 ?na 的 前 n 项的和为 nS ，若 3 39S? ，且 43a 是 65,aa? 的等差中项 . ( )求数列 ?na 的通项公式； - 7 - ( )若数列 ?nb 满足 3 2 1lognnba? ，且 ?nb 前 n 项的和为 nT ，求1 2 31 1 1 1nT T T T? ? ? ?. 【答案】 ( ) 3nna? ； ( )43 （ 18） 解： ( ) 24 6 56 6 0 3a a a q q q? ? ? ? ? ? ? ?或 2q? （舍）； 3分 3131(1 ) 3 9 31aqSaq? ? ? ? 5 分 3nna? 6 分 ( ) 213l
18、og 3 2 1nnbn? ? ?； 7 分 3 5 2 1 ( 2 )nT n n n? ? ? ? ? ? ? 8 分 1 1 1 1 1()( 2 ) 2 2nT n n n n? ? ? 10 分 1 2 31 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )2 1 3 2 2 4 2 3 5 2 2nT T T T n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 31 1 1 1 1 3 1 1()2 2 1 2nT T T T n n? ? ? ? ? ? ? ? 12 分 【考点】等比数列基本量运算、数列求和 18（本题满分 12 分） （原创，中档）设函数 3( ) 2 s in ( ) c o s32f x x x? ? ? ( ) 求 ()fx的单调增区间； ( ) 已知 ABC? 的内角分别为 ,ABC ，若 3()22Af ? ，且 ABC? 能够盖住的最大圆面积为 ? ，求 ABAC? 的最小值 . 【答案】 ( ) 5 , ,1 2 1 2k k k Z? ? ? ? ； ( )6 （ 18） 解： ( ) 3 1 3( ) 2 s i n ( ) c o s s i n 2 c o s 23 2 2 2f x x x x x? ? ? ? ? 3 分
