1、 1 成都龙泉中学高 2014级 1 月月考试题 数 学（理工类） 本试卷分第 卷（选择题）和第 卷（非选择），考生作答时，须将答案答答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效。满分 150分，考试时间 120分钟。 第卷 (选择题，共 60分 ) 注意事项： 1 必须使用 2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑 . 2 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 一、 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 . 1.集合 ? ? ?lg 1 0M x x? ? ?，集合 ? ?11N x x? ? ? ?，则 MN?（
2、） A. ? ?0,1 B. ? ?0,1 C. ? ?1,1? D. ? ?1,1? 2.复数 z 满足 izi 34)23( ? ，则复平面内表示复数 z 的点在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3. 函数 )42cos(ln ? xy 的一个单调递减区间是（ ） A )8,85( ? ? B )8,83( ? ? C )8,8( ? ? D )83,8( ? 4.在“世界读书日”前夕，为了了解某地 5 000 名居民某天的阅读时间，从中抽取了 200 名居民的阅读时间进行统计分析 .在这个问题中， 5 000名居民的阅读时间的全体是 ( ) A.个体 B.
3、总体 C.样本的容量 D.从总体中抽取的一个样本 5.已知函数 )(xf 是定义在 ( , )? 上的奇函数，若对于任意的实数 0?x ，都有 )()2( xfxf ? ，且当 ? ?2,0?x 时， )1(log)( 2 ? xxf ，则 )2012()2011( ff ? 的值为（ ） A . 1 B. -2 C. 2 D . -1 6.等比 数列 ?na 中， 1 2a? ， 8a =4，函数 ? ? 1 2 8( ) ( ) ( )f x x x a x a x a? ? ? ?，则 ? ? 0f ? （ ） A. 62 B. 92 C. 122 D. 152 7.已知点 P 在直线
4、3 2 0xy? ? ? 上 , 点 Q 在直线 3 6 0xy? ? ? 上 , 线段 PQ 的中点为2 00( , )Mx y , 且 002yx?, 则 00yx 的取值范围是 ( ) A. 1 ,0)3? B. 1( ,0)3? C. 1( , )3? ? D. 1( , ) (0, )3? ? ? 8执行如图所示的程序框图，若输入 n 10，则输出 S ( ) A 511 B 1011 C 3655 D 7255 9.F1， F2分别是双曲线 22xy 1(a , b 0 )ab? ? ?的左右焦点，点 P在双曲线上，满足 1 2PF PF 0?，若 PF1F2的内切圆半径与外接圆半
5、径之比为 3-12，则该双曲线的离心率为（ ） A B C +1 D +1 10.已知条件 p：关于 x的不等式 | 1 | | 3 |x x m? ? ? ?有解；条件 q： ( ) (7 3 )xf x m? 为减函数，则 p成立是 q成立的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 11.若以直角坐标系的原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段? ?1 0 1y x x? ? ? ?的极坐标为（ ） A. 1 ,0c o s s in 2? ? ? B. 1 ,0c o s s in 4? ? ? . C. c o s s i
6、n , 0 2? ? ? ? ? ? ? D. c o s s in , 0 4? ? ? ? ? ? ? 12.已知双曲线的方程为 ，过左焦点 作斜率为 的直线交双曲 线的右支于点 P，且 y轴平分线段 ，则双曲线的离心率是（ ） A B C D 3 二、填空题（每小题 5分，共 20 分） 13 已知 sin 0()( -1 )+ 1 0xxfx f x x? ?，则 5()6f 的值为 14. 已知正数 yx, 满足 0? xyyx ，则 yx 23? 的最小值为 . 15.在平面直角坐标系中，倾斜角为 4? 的直线 l 与曲线 2 cos1 sinxC y ? ?：，（ ? 为参数）交
7、于 A 、 B两点，且 2AB? ，以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 则直线 l 的极坐标方程是 _. 16.设 是不重合的两直线， 是不重合的两平面，其中正确命题的序号是 若 / ，则 ； 若 ，则 ； 若 ，则 / ； 若 ，则 / 或 三、解答题（共 6小题，共 70分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 17 .（本小题满分 10 分）已知函数 f(x) x1x 1， g(x) x2 2ax 4，若任意 x1 0,1，存在x2 1,2，使 f(x1) g(x2)，求实数 a的取值范围 18（本题满分 12分）已知数列 an的前 n项和为 Sn，且满足 an
8、=3Sn 2（ n N*） （ 1）求数列 an的通项公式； （ 2）求数列 nan的前 n项和 Tn 19.（本题满分 12分）在 ABC中，角 A， B， C所对边分别为 a， b， c，已知 s in 1s in s inA a bB C a c? （）若 b= 3 ，当 ABC 周长取最大值时，求 ABC的面积； 4 （） ( s i n , 1 ) , (6 c o s , c o s 2 ) ,m A n B A m n? ? ?设 求 的 取 值 范 围 . 20（本小题满分 12分）如图，在四棱锥 P-ABCD中 ,PC底面 ABCD，底面 ABCD 是直角梯形， AB AD，
9、 AB CD，AB=2AD=2CD=2,E是 PB 上的点 （） 求证：平面 EAC平面 PBC； （） E 是 PB 的中点，且二 面角 P-AC-E 的余弦值为 36，求直线 PA与平面 EAC所成角 的正弦值 21.（本题满分 12 分）高三某班男同学有 45 名，女同学有 15 名，老师按照性别进行分层抽样组建了一个 4 人的课外兴趣小组 . (1)经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出一名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率； (2)试验结束后，第一次做试 验的同学 A
10、得到的试验数据为 68， 70， 71， 72， 74，第二次做试验的同学 B得到的试验数据为 69， 70， 70， 72， 74，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由 . 请考生在第 22、 23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号，本小题满分 10分。 22（本题满分 10分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy中，过点 P（ 1， 2）的直线 l的倾斜角为 45以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 sin2 =2cos，直线 l和曲线 C的交点 为点 A、B （ I）求直线 l的参数方程； PBCDA
11、E5 （）求 |PA|?|PB|的值 23（本题满分 10分）选修 4-5：不等式选讲 已知 a是常数，对任意实数 x，不等式 |x+1| |2 x| a |x+1|+|2 x|都成立 （）求 a的值； （）设 m n 0，求证： 2m+ 2n+a 6 成都龙泉中学高 2014级 1月月考试题 数 学 （理工类）参考答案 1-5 AACBD 6-10 CDADB 11-12 AC 13. 12 14. 625? 15. 16. 17 .（本小题满分 12 分） 解析 由于 f (x) 11x 1 20， 因此函数 f(x)在 0,1上 单调递增， 所以 x 0,1时， f(x)min f(0)
12、 1. 根据题意可知存在 x 1,2， 使得 g(x) x2 2ax 4 1，即 x2 2ax 5 0，即 ax252x能成立， 令 h(x)x252x，则要使 a h(x)在 x 1,2能成立，只需使 a h(x)min， 又函数 h(x)x252x在 x 1,2上单调递减， 所以 h(x)min h(2)94，故只需 a94. 18.解：（ 1） an=3Sn 2， an 1=3Sn 1 2（ n 2）， 两式相减得： an an 1=3an， 整理得： an= an 1（ n 2）， 又 a1=3S1 2，即 a1=1， 数列 an是首项 为 1、公比为 的等比数列， 其通项公式 an=
13、（ 1） n 1? ； （ 2）由（ 1）可知 nan=（ 1） n 1? ， Tn=1?1+（ 1）? 2? +? +（ 1） n 2?（ n 1）? +（ 1） n 1? ， Tn=1?（ 1）? +2? +? +（ 1） n 1?（ n 1）? +（ 1） n?n? ， 错位相减得： Tn=1+ + +? +（ 1） n 1? （ 1） n?n? =1+ （ 1） n?n? 7 = +（ 1） n 1? ? ， Tn= +（ 1） n 1? ? = +（ 1） n 1? ? 19.（本题满分为 12分） 解：（） 1 = = = ，化简可得： a2+c2 b2=ac，则 =1， cosB
14、= = ，又 B（ 0，）， B= ? 3分 由正弦定理可得： ， ABC的周长 l=a+b+c=2（ sinA+sinB+sinC）=2sinA+ +2sin（ A） =3sinA+ cosA+ =2 sin（ A+ ） ，? 5分 0 ， A+ ，当 A+ = 时，即 A= 时， ABC周长 l取最大值 3 ，由此可以得到 ABC为等边三角形， S ABC= ? 7分 （） =6sinAcosB+cos2A=3sinA+1 2sin2A= 2（ sinA ） 2+ ，? 9分 0 ， 0 sinA 1，当 sinA= 时， 取得最大值 ，? 11 分 的取值范围为（ 1， ? 12 分 2
15、0.【解析】（）证明： ?PC?平面 ABCD， ?AC平面 ABCD， PCAC? ， 2?AB ， 1?CDAD， 2? BCAC 222 ABBCAC ? ， BCAC? 又 CPCBC ?， ?AC平面 PBC ， ?AC平面 EAC， 平面 ?EAC平面 PBC （）以 C 为原点，建立空间直角坐标系如图 所示， 则 C（ 0， 0， 0）， A （ 1， 1， 0）， B （ 1， 1， 0） 8 21.解 (1)设有 x 名男同学，则4560x4， x 3，男、女同学的人数分别为 3、 1，把 3 名男同学和 1名女同学记为 a1， a2， a3， b，则选取两名同学的基本事件有
16、： (a1， a2)， (a1， a3)， (a1， b)， (a2，a1)， (a2， a3)， (a2， b)， (a3， a1)， (a3， a2)， (a3， b)， (b， a1)， (b， a2)， (b， a3)共 12种， 其中有一名女同学的有 6种， 选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为 P61212. (2) x 168 70 71 72 745 71， x 269 70 70 72 745 71 s21（ 68 71） 2?（ 74 71） 25 4， s22（ 69 71） 2?（ 74 71） 25 3.2. 第二次同学 B的实验更稳定 . 22.解：（ 1）在直角坐标系 xOy中，过点 P（ 1， 2）的直线 l的倾斜角为 45 kl=1，直线方程是： y+2=x 1， y=x 3， 令 x=t，则 y=t 3， 直线 l 的参数方程是
