1、 - 1 - 四川省彭州市 2018 届高三数学 9 月月考试题 理 一 选择题 每小题 5 分共 60 分 1 设集合 ? ?1,0,1,2,3A ? ， ? ?2 30B x x x?，则 ? ?RA C B?（ ） A. ?1? B. ? ?0,1,2 C. ? ?1,2,3 D. ? ?0,1,2,3 2 若复数 z 满足 ? ?211z i i? ? ? ，其中 i 为虚数单位，则 z 在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3 已知向量 ? ?,1ax?， ? ?1, 3b? ，若 ab? ，则 a? （ ） A. 2 B.
2、3 C. 2 D. 4 4 张丘建算经是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题： “ 今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？ ” ，已知 “ 日减功迟 ” 的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则此问题的答案是（ ） A. 10 日 B. 20 日 C. 30 日 D. 40 日 5 设直线 0x y a? ? ? 与圆 224xy?相交于 ,AB两点， O 为坐标原点，若 AOB? 为等边三角形，则实数 a 的值为（ ） A. 3? B. 6? C. 3? D. 9? 6 方程 22123xymm?表示双曲线的一个充分不必要条件是（ ） A. 30
3、m? ? ? B. 32m? ? ? C. 34m? ? ? D. 13m? ? ? 7 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为 3，则输入的数不可能是（ ） A. 15 B. 18 C. 19 D. 20 8 如图 1 所示，是一个棱长为 2 的正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图，其中- 2 - 1 1DD? ， 1 2AB BC AA? ? ?，若此几何体的俯视图如图 2 所示，则可以作为其正视图的是（ ） A. B. C. D. 9 四面体的顶点和各棱的中点，共 10 个点，在其中取出 4 个不共面的点 ,不同的取法有 ( ) A.150 种 B.147 种 C.144 种 D.
4、141 种 10 设 F 为双曲线 C ： 22 1( 0, 0 )xy abab? ? ? ?的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线 C 的左、右支交于点 ,PQ，若 2PQ QF? ， 60PQF?，则该双曲线的离心率为（ ） A. 3 B. 13? C. 23? D. 4 2 3? 11 已知函数 ? ? ? ?2 3 xf x x e?，设关于 x 的方程 ? ? ? ? ? ?2212 0f x m f x m Re? ? ? ?有 n 个不同的实数解，则 n 的所有可能的值为（ ） A. 3 B. 1 或 3 C. 4 或 6 D. 3 或 4 或 6 12 如图，圆形纸片的圆心为
5、 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O.D、 E、F 为圆 O 上的点， DBC， ECA， FAB 分别是以 BC， CA， AB 为底边的等腰三角形 .沿虚线剪开后，分别以 BC， CA， AB 为折痕折起 DBC， ECA， FAB，使得 D、 E、 F 重合，得到三棱锥 .当 ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位： cm3）的最大值为 ( ) A. 15 B. 152 C. 153 D. 154 二填空题 每小题 5 分共 20 分 - 3 - 13 在 522 ax x?的展开式中 4x? 的系数为 320，则实数 a? _ 14 甲、乙两组数据的茎
6、叶图如图所示，其中 m 为小于 10 的自然数，已知甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数，则甲组数据的平均数也大于乙组数据的平均数的概率为 _ 15 设函数 ? ?22lo g , 12 1 4 2,13 3 3x xfxx x x? ? ? ? ? ? ?，若 ?fx在区间 ? ?,4m 的值域为 ? ?1,2? ，则实数 m 的取值范围为 _ 16 已知数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，若 1 1a? ， 2nna n a? ， 21 1nnaa? ?，则100S ? _（用数字作答） 三 解答题 （一）必考题 60 分 17 （本小题满分 12 分） 在 ABC? 中，角 ,ABC
7、 所对的边分别为 ,abc，已知? ? 2s in 2 s in 24CAB ? ? ? （ 1）求 sin cosAB的值； （ 2）若 233ab? ，求 B 18 （本小题满分 12 分） 如图，矩形 ABCD 中， 22AB? ， 2AD? ， M 为 DC 的中点，将 DAM? 沿 AM 折到 DAM? 的位置， AD BM? （ 1）求证：平面 DAM? ? 平面 ABCM ； - 4 - （ 2）若 E 为 DB? 的中点，求二面角 E AM D? 的余弦值 19 （本小题满分 12 分） “ 微信运动 ” 已成为当下热门的健身方 式，小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了 “ 微
8、信运动 ” ，他随机选取了其中的 40 人（男、女各 20 人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下： （ 1）已知某人一天的走路步数超过 8000 步被系统评定 “ 积极型 ” ，否则为 “ 懈怠型 ” ，根据题意完成下面的 22? 列联表，并据此判断能否有 95%以上的把握认为 “ 评定类型 ” 与 “ 性别 ” 有关？ 附： ? ? ? ? ? ?22 n a d b cka b c d a c b d? ? ? ? ?， ? ?2 0P K k? 0 10 0 05 0 025 0 010 0k 2 706 3 841 5 024 6 635 （ 2）若小王以这 40 位好友
9、该日走路步数的频率分布来估计其所有微信好友每日走路步数的概率分布，现从小王的所有微信好友中任选 2 人，其中每日走路不超过 5000 步的有 X 人，超过 10000 步的有 Y 人，设 XY?，求 ? 的分布列及数学期望 20 （本小题满分 12 分） 已知 ,AB分别为椭圆 C ： 22142xy?的左、右顶点， P 为椭圆 C上异于 ,AB两点的任意一点，直线 ,PAPB 的斜率分别 记为 12,kk - 5 - （ 1）求 12,kk； （ 2）过坐标原点 O 作与直线 ,PAPB 平行的两条射线分别交椭圆 C 于点 ,MN，问： MON?的面积是否为定值？请说明理由 21 （本小题满
10、分 12 分） 已知曲 线 ? ? 2ln lnx a x afx x? 在点 ? ? ?,e f e 处的切线与直线220x e y?平行， aR? （ 1）求 a 的值； （ 2）求证： ? ?xfx axe? （二 ）选考题：共 10 分。请考生在第 22， 23 题中任选一题做答。 如果多做，则按所做的第一题记分 2 2 选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 1 12x tcosy tsin? ?（ t 为参数），以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 22244sin cos? ? ? （ 1
11、）写出曲线 C 的直角坐标方程； （ 2）已知点 P 的直角坐标为 11,2?，直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 ,AB，求 PAPB的取值范围 23 选修 4-5：不等式选 讲 已知函数 ? ? 3f x x a x a? ? ? ? （ 1）若 ?fx的最小值为 2，求 a 的值； （ 2）若对 xR? ， ? ?1,1a? ? ，使得不等式 ? ?2 0m m f x? ? ?成立，求实数 m 的取值范围 9 月月考数学参考答案（理科） 1-5 DCCCB 6-10ADCDB 11A 12D - 6 - 13 2 14 35 15 ? ?8, 1? 16. 1306 17 ? ?
12、? ?s i n 1 c o s 1 s i n 1 s i n 2 s i n c o s 12A B C C A B A B? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 1sin cos 2AB?； （） sin 2 3sin 3AaBb? ，由（）知 2 3 3 1s i n c o s s i n c o s s i n 23 3 2A B B B B? ? ?， 3sin2 2B?， 2 3B ?或 23? ， 6B ?或 3? . 18 （）由题知，在矩形 ABCD 中， 45AM D BM C ? ? ? ?， 90AMB ? ? ，又DA BM? ? ， BM?面 DAM? ，
13、 ?面 ABCM? 面 DAM? ； （）由（）知，在平面 DAM? 内过 M 作直线 NM MA? ，则 NM? 平面 ABCM ， 故以 M 为原点， ,MA MB MN 分别为 ,xyz 轴的正方向建立空间直角坐标系， 则 ? ?0,0,0M ， ? ?2,0,0A ， ? ?0,2,0B ， ? ?1,0,1D? ， 于是 11,1,22E?， ? ?2,0,0MA? ， 11,1,22ME ?， 设平面 EAM 的法向量为 ? ?,m x y z? ，则 2011022xx y z? ? ?- 7 - 令 1y? ，得平面 EAM 的一个法向量 ? ?0,1, 2m?，显然平面 DA
14、M? 的一个法向量为? ?0,1,0n? ， 故 1cos ,5mn ?，即二面角 E AM D? 的余弦值为 55 . 19 （） 积极型 懈怠型 总计 男 14 6 20 女 8 12 20 总计 22 18 40 ? ? 22 4 0 1 4 1 2 6 8 40 3 .8 4 12 0 2 0 2 2 1 8 1 1K ? ? ? ? ? ?，故没有 95%以上的把握认为二者有关； （）由题知，小王的微信好友中任选一人，其每日走路步数不超过 5000 步的概率为 18 ，超过 10000步的概率为 14 ，且当 0XY?或 1XY?时， 0? ， 125 5 1 1 2 98 8 8
15、4 6 4PC? ? ? ? ?；当 1, 0XY?或 0, 1XY?时， 1? ， 11221 5 1 5 3 08 8 4 8 6 4P C C? ? ? ? ?；当 2, 0XY?或 0, 2XY?时， 2? ， 221 1 54 8 64P ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，即 ? 的分布列为： 58E? . 20（）设 ? ?00,P x y ，则 220 0 0 012 220 0 0 0 12 2 4 2 2y y y ykk x x x y? ? ? ? ? ? ? ? ?； - 8 - （）由题知，直线 1:OM y k x? ，直线 2:ON y k x? ，
16、设 ? ? ? ?1 1 2 2, , ,M x y N x y， 则 ? ?1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1 21 1 12 2 2S x y x y x k x x k x k k x x? ? ? ? ? ? ? ?，由22 21 21124 4 12xy x ky k x? ? ?， 同理可得 22412x k? ?，故有? ? ? ? ?222 1 2 1 22 12 22 2 2 2 212 1 2 1 21 6 24441 2 1 2 4 2 1k k k kS k kkk k k k k? ? ? ? ? ? ? ?， 又12 12kk?，故 ? ? ?221
17、2222121 6 14822kkSkk?， 2S? . 21 （） ? ? ? ?22ln 2 lnx a xfx x? ? ? ?，由题 ? ?221 2 2 3af e aee? ? ? ? ? ? ? ?； （） ? ? 2ln 3ln 3xxfx x? ， ? ? ? ?2ln ln 1xxfx x? ?， ? ? 101f x xe? ? ? ? ?， 故 ?fx在 10,e?和 ? ?1,? 上递减，在 1,1e?上递增， 当 ? ?0,1x? 时， ? ? 1f x f ee?，而 ? ? 313()xxxxee?，故 3xxe在 ? ?0,1 上递增， 33xx eee? ?
18、 ? ， ? ? 3xxfx e?即 ? ? 3xfxxe? ； 当 ? ?1,x? ? 时， 2ln 3 ln 3 0 0 3 3xx? ? ? ? ? ?，令 ? ? 23xxgx e?，则 ? ? ? ?232xxxgx e? ?故 ?gx 在 ? ?1,2 上递增， ? ?2,? 上递减， ? ? ? ?21223g x g e? ? ? ?， 22 3ln 3ln 3xxxx e? ? ? ?即? ? 3xfxxe? ； - 9 - 综上，对任意 0x? ，均有 ? ? 3xfxxe?. 22（） 22 2 2 2 2 2 24 s i n c o s 4 4 4 14xy x y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?； （）因为点 P 在椭圆 C 的内部，故 l 与 C 恒有两个交点，即 R? ，将
