1、高中数学必修高中数学必修 15 知识点概要知识点概要 - 1 - 必修必修 1 1 数学数学知识点知识点 第一章、集合与函数概念 1.1.1、集合、集合 1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总 体叫做集合。集合三要素： 。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个 集合 。 3、 常见数集符号表示：正整数集合：_，整数集 合：_，有理数集合：_，实数集合：_. 4、集合的表示方 法： , , . 1.1.2、集合间的基本关系、集合间的基本关系 1、 一般地，对于两个集合 A、B，如果集合 A 中任 意一个元素都是集合 B 中的元素，则称集合 A 是 集合 B 的子集。记作_.
2、 2、 如果集合BA，但存在元素Bx，且Ax， 则称集合 A 是集合 B 的 .记作：A B. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：_.并规 定：空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合 A 中含有 n 个元素，则集合 A 有_个 子集,有 个真子集. 1.1.3、集合间的基本运算、集合间的基本运算 1、 一般地，由所有属于集合 A 或集合 B 的元素组成 的集合，称为集合 A 与 B 的并集.记作：_. 2、 一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素 组成的集合，称为 A 与 B 的交集.记作：_. 3、 全集、 补集、 符号表示？_ 1.2.1、函数的概念、函数的概念 1、
3、 设 A、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应 关系f，使对于集合 A 中的任意一个数x，在集 合 B 中都有惟一确定的数 xf和它对应， 那么就 称BAf:为集合 A 到集合 B 的一个函数，记 作： Axxfy,. 2、 一个函数的构成要素为： . 如果两个函数_， 则称这两个函数相等. 1.2.2、函数的表示法、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法：_. 1.3.1、单调性与最大（小、单调性与最大（小）值）值 1、 注意函数单调性证明的一般格式： 解： 设baxx, 21 且 21 xx ， 则： 21 xfxf= 1.3.2、奇偶性、奇偶性 1、 一般地，_， 那么就称函数 xf
4、为偶函数.偶函数图象关于 _对称. 2、 一般地，如果_， 那么就称函数 xf为奇函数.奇函数图象关于 _对称. 第二章、基本初等函数（） 2.1.1、指数与指数幂的运算、指数与指数幂的运算 1、 一般地， 如果ax n ， 那么x叫做a 的n次方根。 其中 Nnn, 1. 2、 当n为奇数时， nn a _； 当n为偶数时， nn a ._ 3、 我们规定： _ n m a（化为根式） 1, 0 * mNnma； 0 1 n a a n n ； 4、 运算性质： _0, , rs a aar sQ； _0, , s r aar sQ； _0,0, r ababrQ. 2.1.2、指数函数及其
5、性质、指数函数及其性质 1、 记住图象：1, 0aaay x 作图： 2、任意正数N可以写成指数形式： logaN Na 2.2.1、对数与对数运算、对数与对数运算 1、xNNa a x log； 高中数学必修高中数学必修 15 知识点概要知识点概要 - 2 - 2、 log _ aN a. 3、log 1_ a ，log_ aa . 4、当0, 0, 1, 0NMaa时： log_ a MN ； log_ a M N ； log_ m n a M . 5、换底公式：log_ ab 0, 1, 0, 1, 0bccaa. 6、 a b b a log 1 log 1, 0, 1, 0bbaa.
6、 2.2.2、对数函数及其性质、对数函数及其性质 1、 记住图象：1, 0logaaxy a 作图： 2、任意实数M可以写成对数形式：log M a Ma 2.3、幂函数、幂函数 1、几种幂函数的图象： 第三章、函数的应用 3.1.1、方程的根与函数的零点、方程的根与函数的零点 1、方程 0 xf有实根函数 xfy 的图象 _函数 xfy 有_. 2、 性质：如果函数 xfy 在区间ba, 上的图象 是连续不断的一条曲线，并且有_， 那么，函数 xfy 在区间ba,内有零点，即 存在bac,，使得_，这个c也就是 方程 0 xf的_. 3.1.2、用二、用二分法求方程的近似解分法求方程的近似解
7、 1、掌握二分法. 3.2.1、几类不同增长的函数模型、几类不同增长的函数模型 3.2.2、函数模型的应用举例、函数模型的应用举例 1、解决问题的常规方法：先画散点图，再用适当的函 数拟合，最后检验. 必修必修 2 2 数学数学知识点知识点 1、空间几何体的结构 常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有： 圆柱、圆锥、圆台、球。 棱柱：_ 叫做棱柱。 棱锥：_ 叫棱锥。 (4) 棱台：_叫 做棱台。 2、空间几何体的三视图和直观图 把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影 的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫 平行投影，平行投影的投影线是平行的。 3、空间几何体的表
8、面积与体积 （一） 多面体的表面积： =S棱柱_ =S棱锥_ =S棱台_ （二） 多面体的体积： 高中数学必修高中数学必修 15 知识点概要知识点概要 - 3 - =V棱柱_ =V棱锥_ =V棱台_ （三） 旋转体的表面积和体积： 圆柱侧面积；_S 侧面 圆锥侧面积：_S 侧面 圆台侧面积：_S 侧面 体积公式： _V 柱体 ；_V 锥体 ； _V 台体 球的表面积和体积： _SV 球球 ，. 第二章：点、直线、平面之间的位置关系 1、公理 1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条 直线在此平面内。 2、公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 3、公理 3：如果两个不重合的平
9、面有一个公共点，那么它 们有且只有一条过该点的公共直线。 4、公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行. 5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这 两个角相等或互补。 6、线线位置关系：平行、相交、异面。 7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直 线和平面相交。 8、面面位置关系：平行、相交。 9、线面平行线面平行： 判定：判定：_。 性质：性质：_。 10、面面平行面面平行： 判定：判定：_。 性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么 _。 11、线面垂直： 定义：如果一_， 那么就说这条直线和这个平面垂直。 判定：判定：一条直线与一个平面内的两条一条直线与一个
10、平面内的两条_都垂都垂 直，则该直线与此平面垂直。直，则该直线与此平面垂直。 性质：垂直于同一个平面的两条直线_。 12、面面垂直： 定义：两个平面相交， 如果_， 就说这两个平面互相垂直。 判定：判定：一个平面经过另一个平面的一个平面经过另一个平面的_，则，则 这两个平面垂直。这两个平面垂直。 性质：性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的 直线直线_另一个平面。另一个平面。 第三章：直线与方程第三章：直线与方程 1、倾斜角与斜率：_k 2、直线方程： 点斜式：_ 斜截式：_ 两点式：_ 截距式：_ (5)一般式：_ 3、对于直线： 2221
11、11 :,:bxkylbxkyl有： 12 /_ll ； 1 l和 2 l相交_； 1 l和 2 l重合_； 12 _ll. 4、对于直线： 高中数学必修高中数学必修 15 知识点概要知识点概要 - 4 - 0: , 0: 2222 1111 CyBxAl CyBxAl 有： 12 /_ll ； 1 l和 2 l相交_； 1 l和 2 l重合_； 12 _ll. 5、两点间距离公式： 1 2 _PP 6、点到直线距离公式： _d 7. 两平行线距离公式：_d 第四章：圆与方程第四章：圆与方程 1、圆的方程： 标准方程：_ 一般方程：_. 2、直线和圆的位置关系： (1) 直线和圆位置关系的判定
12、方法：_ (2) 以圆上一点为切点 00 (,)P xy的切线方程： _. 3、两圆位置关系： 21O Od 外离：_； 外切：_； 相交：rRdrR； 内切：rRd； 内含：rRd. 4、空间中两点间距离公式： 2 12 2 12 2 1221 zzyyxxPP 必修必修 3 3 数学数学知识点知识点 第一章：第一章： 第二章：统计第二章：统计 1、抽样方法： _（总体个数较少） _（总体个数较多） _（总体中差异明显） 注意： 在 N 个个体的总体中抽取出 n 个个体组成样本， 每个个体被抽到的机会（概率）均为 N n 。 2、总体分布的估计： 一表二图： 频率分布表数据详实 频率分布直方
13、图分布直观 频率分布折线图便于观察总体分布趋势 注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为 1。 茎叶图： 茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据 的分布，以及中位数、众位数等。 个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大 书写，相同的药重复写。 3、总体特征数的估计： 平均数：_x ； 取值为 n xxx, 21 的频率分别为 n ppp, 21 ，则其 平均数为_； 注意：频率分布表计算平均数要取组中值。 方差与标准差：一组样本数据 n xxx, 21 方差： 2 _s ； 标准差：_s 注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。 平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的 稳定
14、水平。 线性回归方程 变量之间的两类关系：函数关系与相关关系； 制作散点图，判断线性相关关系 线性回归方程：abxy （最小二乘法） 1 2 2 1 n ii i n i i x ynxy b xnx aybx 注意：线性回归直线经过定点_。 第三章：概率第三章：概率 1、随机事件及其概率： 事件： 试验的每一种可能的结果， 用大写英文字母 A、 高中数学必修高中数学必修 15 知识点概要知识点概要 - 5 - B、C表示； 必然事件、不可能事件、随机事件的特点； 随机事件 A 的概率计算公式： ( )_,(0( )1)P AP A； 2、古典概型： 基本事件： 一次试验中可能出现的每一个基本
15、结果； 古典概型的特点： 所有的基本事件只有有限个； 每个基本事件都是等可能发生。 古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事 件共有 n 个，事件 A 包含了其中的 m 个基本事件，则 事件 A 发生的概率( )_P A 。 4、互斥事件： 事件称为互斥事件； 如果事件 n AAA, 21 任意两个都是互斥事件， 则称 事件 n AAA, 21 彼此互斥。 如果事件 A，B 互斥，那么事件 A+B 发生的概率， 等于事件 A，B 发生的概率的和， 即：()_P AB 如果事件 n AAA, 21 彼此互斥，则有： 12 ()_ n P AAA 对立事件： 叫互为对立事件。 事件A的对立事件
16、记作A )(1)(, 1)()(APAPAPAP 对立一定互斥，互斥未必对立。 必修必修 4 4 数学数学知识点知识点 第一章、三角函数 1.1.1、任意角、任意角 1、 正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角终边相同的角的集合： . 3、 与角终边共线的角的集合： . 1.1.2、弧度制、弧度制 1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度 的角. 2、 r l . 3、弧长公式：R Rn l 180 . 4、扇形面积公式：_S . 1.2.1、任意角的三角函数、任意角的三角函数 1、 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 yxP ,，那么： sin_, cos_, tan_
17、. 2、 设点 00, y xA为角终边上任意一点， 那么： （设 22 00 rxy） s i n_ _ _ _ _，cos_，tan_. 3、 sin，cos，tan在四个象限的符号和三角 函数线的画法. 4、 诱导公式一： sin2_, cos2_, tan2_. k k k （其中：Zk） 5、 特殊角 0，30，45，60，90，120， 150，180，210，270的三角函数值. 0 6 4 3 2 2 3 5 6 sin cos tan 1.2.2、同角三角函数的基本关系式、同角三角函数的基本关系式 1、 平方关系：_. 2、 商数关系：_. 1.31.3、三角函数的诱导公式（
18、奇变偶不变，符号看象、三角函数的诱导公式（奇变偶不变，符号看象 限）限） 1、 诱导公式二： sin_ cos_ tan_ 2、诱导公式三： sin_ cos_ tan_ 3、诱导公式四： 高中数学必修高中数学必修 15 知识点概要知识点概要 - 6 - sin_ cos_ tan_ 4、诱导公式五： sin_ 2 cos_ 2 5、诱导公式六： sin_ 2 cos_ 2 1.4.11.4.1、正弦、正弦、余弦函数的图象、余弦函数的图象 1、记住正弦、余弦函数图象： 作出sinyx与cosyx的图像 2、 能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质： 定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心
19、、 奇偶性、单调性、周期性. 3、 会用五点法作图. 1.4.21.4.2、正弦、余弦函数的性质、正弦、余弦函数的性质 1、 周期函数定义：对于函数 xf，如果存在一个非 零常数 T，使得当x取定义域内的每一个值时，都 有 xfTxf， 那么函数 xf就叫做周期函 数，非零常数 T 叫做这个函数的周期. sinyx sinyx的周期为_;单调增区间是_; 单调减区间是_；对称中心是 _;对称轴是_ 最大值为 最大值点为 ;最小 值为 ，最小值点是 cosyx cosyx的 周 期 为 _; 单 调 增 区 间 是 _;单调减区间是_； 对 称 中 心 是 _; 对 称 轴 是 _ 最 大 值
20、为 最 大 值 点 为 ;最小值为 ，最小值点是 tanyx tanyx的 周 期 为 _; 单 调 增 区 间 是 _;对称中心是_; 1.4.31.4.3、正切函数的图象与性质、正切函数的图象与性质 1、记住正切函数的图象： 作出tanyx的图像 2、 能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、 值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 1.51.5、函数、函数xAysin的图象的图象 1 、 能 够 讲 出 函 数xysin的 图 象 和 函 数 bxAys in的图象之间的平移伸缩变 换关系. 2、 对于函数： 0, 0sinAbxAy有：振幅 A， 周期_T ，初相为，相位是x，频
21、 率_f .它的单调区间_, 最值_. 1.1.6 6、三角函数模型的简单应用、三角函数模型的简单应用 1、 要求熟悉课本例题. 第二章、平面向量 2.1.1、向量的物理背景与概念、向量的物理背景与概念 1、 了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度. 2、 _的量叫做向量. 2.1.2、向量的几何表示、向量的几何表示 1、 带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三 高中数学必修高中数学必修 15 知识点概要知识点概要 - 7 - 个要素：起点、方向、长度. 2、 向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称 模） ， 记作_； 长度为零的向量叫做 ； _的向量叫做单位向量. 3、_的向量叫做
22、平行向量 （或共线向量）.规定：零向量与 向量平行. 2.1.32.1.3、相等向量与共线向量、相等向量与共线向量 1、 长度相等且方向相同的向量叫做 . 2.2.12.2.1、向量加法运算及其几何意义、向量加法运算及其几何意义 1、 三角形法则和平行四边形法则. 2、 baba . 2.2.22.2.2、向量减法运算及其几何意义、向量减法运算及其几何意义 1、 _ 叫做a的相反向量. 2.2.32.2.3、向量数乘运算及其几何意义、向量数乘运算及其几何意义 1、 规定：实数与向量a的积是一个向量，这种运 算叫做向量的数乘.记作：a，它的长度和方向 规定如下： aa, 当0时, a的方向与a的
23、方向_； 当0时, a的方向与a的方向_. 2、 平面向量共线定理：向量0aa与b 共线，当 且仅当有唯一一个实数，使ab. 2.3.12.3.1、平面向量基本定理、平面向量基本定理 1、 平面向量基本定理：如果 21,e e是同一平面内的两 个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量a， 有且只有一对实数 21, ，使_a . 2.3.22.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量的正交分解及坐标表示 1、 yxjyi xa,. 2.3.32.3.3、平面向量的坐标运算、平面向量的坐标运算 1、 设 2211 ,yxbyxa，则： _ab， _ab， _a， /_abx. 2、 设 22
24、11 ,yxByxA，则： _AB . 2.3.42.3.4、平面向量共线的坐标表示、平面向量共线的坐标表示 1、设 332211 ,yxCyxByxA，则 线段 AB 中点坐标为 22 2121 , yyxx ， ABC 的重心坐标为 33 321321 , yyyxxx . 2.4.12.4.1、平面向量的数量积及其含义、平面向量的数量积及其含义 1、 _a b. 2、 a在b方向上的投影为：_. 3、 2 _a . 4、 _a . 5、 _0ab. 2.4.22.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1、 设 2211 ,yxbyxa，则： _a
25、b _a _ab 2、 设 2211 ,yxByxA，则： _AB . 2.5.12.5.1、平面几何中的向量方法、平面几何中的向量方法 2.5.22.5.2、向量在物理中的应用举例、向量在物理中的应用举例 高中数学必修高中数学必修 15 知识点概要知识点概要 - 8 - 第三章、三角恒等变换 3.1.13.1.1、两角差的余弦公式、两角差的余弦公式 1、cos_ *2、记住 15的三角函数值： sin cos tan 12 4 26 4 26 32 3.1.23.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1、cos_ 2、sin_ 3、sin_ 4、tan_.
26、 5、tan_. 3.1.33.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、_2sincos， 变形： 1 2 _sin2. 2、cos2_ _， 变形 1： 2 cos 2 ， 变形 2： 1 cos2 _ 2 . 3、 2 tan1 tan2 2tan . 3.23.2、简单的三角恒等变换、简单的三角恒等变换 1、 注意正切化弦、平方降次. 必修必修 5 5 数学数学知识点知识点 第一章：解三角形第一章：解三角形 1、正弦定理： _. 2、余弦定理： _ _ _ cos_, cos_, cos_. A B C 3、三角形面积公式： 1 sin_ 2 ABC Sa
27、bC 第二章：数列第二章：数列 1、数列中 n a与 n S之间的关系： _,1 _,1 . n n a n 当时， 当时 2、等差数列： 定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前 一项的差等于同一个常数， 那么这个数列就叫做等 差数列。 通项公式：_ 求和公式： _ n S 3、等比数列 定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前 一项的比等于同一个常数， 那么这个数列就叫做等 比数列。 通项公式：_ n a 求和公式： _ n S 第三章：不等式第三章：不等式 1、 时取等号当且仅当 时，当 ba abbaba 20, 2、 时取等号当且仅当 时，当 ba abbaRba 2, 22 3、变形： 2 , 2 22 2 ba ab ba ab ab当且仅当时取等号 高中数学必修高中数学必修 15 知识点概要知识点概要 - 9 - 4、, a bR当时，（熟记熟记） 22 2 11 22 abab ab ab ab当且仅当时取等号 5、简单线性规划 二元一次不等式（组）和平面区域； 线性规划问题的求解步骤.
