1、北师大版八年级下册数学精品配套课件本课件来源于网络只供免费交流使用第一章第一章 三角形的证明三角形的证明1.1 1.1 等腰三角形等腰三角形第第1 1课时课时 全等三角形全等三角形与等腰三角形的性质与等腰三角形的性质1课堂讲解课堂讲解u全等三角形全等三角形u等腰三角形的边、角性质等腰三角形的边、角性质 u等腰三角形的等腰三角形的“三线合一三线合一”性质性质2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升活动：实践观察，认识三角形活动：实践观察，认识三角形DACB得到这个得到这个ABC中中 AB和和AC有什么关系有什么关系?1知识点知识点全等三角形全等三角形问问 题题全等三
2、角形的定义是什么？全等三角形的定义是什么？知知1 1导导1.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等.2.全等三角形的判定方法全等三角形的判定方法（1）三边分别相等的两个三角形全等（简写成）三边分别相等的两个三角形全等（简写成“边边边边边边”或或 “SSS”）.（2）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“角角 边角边角”或或“ASA”）.（3）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形 全等（简写成全等（简写成“角角边角角
3、边”或或“AAS”）.（4）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边边 角边角边”或或“SAS”）知知1 1讲讲知知1 1讲讲 利用全等三角形的判定方法，当利用全等三角形的判定方法，当DB时，时，两个三角形符合两个三角形符合“边角边边角边”，ADF CBE导引：导引：例例1 如图，点如图，点E，F在在AC上，上，ADBC，DFBE，要，要使使ADF CBE，还需要添加的一个条件是，还需要添加的一个条件是()AAC BDBCADBC DDFBEB总总 结结知知1 1讲讲 此题主要考查了全等三角形的判定方法，正确此题主要考查了全等三角形的判定方
4、法，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键掌握全等三角形的判定方法是解题关键知知1 1练练 【中考中考怀化怀化】如图，如图，ACDC，BCEC，请，请你添加一个适当的条件：你添加一个适当的条件：_，使得使得ABC DEC.1DEAB或或ACBDCE或或ACDBCE知知1 1练练 【中考中考黔西南州黔西南州】如图，点如图，点B，F，C，E在一在一条直线上，条直线上，ABED，ACFD，那么添加下，那么添加下列一个条件后，仍无法判定列一个条件后，仍无法判定ABC DEF的的是是()AABDE BACDFCAD DBFEC2C知知1 1练练 【中考中考鄂州鄂州】如图，在四边形如图，在四边形ABCD中
5、，中，ADBC，BCD90，ABBCAD，DAC45，E为为CD上一点，且上一点，且BAE45，若若CD4，则，则ABE的面积为的面积为()A.B.C.D.3127247487507D2知识点知识点等腰三角形的边、角性质等腰三角形的边、角性质知知2 2导导1等腰三角形的相关概念回顾：等腰三角形的相关概念回顾：腰腰腰腰顶角顶角底角底角底角底角底边底边知知2 2导导2议一议议一议(1)还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？(2)请你选择等腰三角形的一条性质进行证明，并与请你选择等腰三角形的一条性质进行证明，并与 同伴交流同伴交流.归归 纳纳知知2 2导导 定理
6、定理 等腰三角形的两底角相等等腰三角形的两底角相等.这一定理可以简述为：等边对等角这一定理可以简述为：等边对等角.知知2 2讲讲例例2 已知：如图已知：如图1-1，在，在ABC中，中，ABAC.求证：求证：BC.分析：我们曾经利用折叠的方法说明分析：我们曾经利用折叠的方法说明 了这两个底角相等了这两个底角相等(如图如图1-2).实际实际 上，折痕将等腰三角形分成了两上，折痕将等腰三角形分成了两 个全等三角形个全等三角形.这启发我们，可以这启发我们，可以 作一条辅助线，把原三角形分成作一条辅助线，把原三角形分成 两个全等的三角形，从而证明这两个全等的三角形，从而证明这 两个底角相等两个底角相等.
7、图图1-2知知2 2讲讲证明：如图证明：如图1-3，取，取BC的中点的中点D，连接，连接 AD.ABAC，BDCD，ADAD，ABD ACD(SSS).BC(全等三角形的对应角相等）全等三角形的对应角相等）.知知2 2讲讲 性质：等腰三角形的两底角相等性质：等腰三角形的两底角相等 (简写成简写成“等边对等角等边对等角”)知知2 2讲讲例例3 (1)在在ABC中，中，ABAC，若，若A50，求，求B；(2)若等腰三角形的一个角为若等腰三角形的一个角为70，求顶角的度数；，求顶角的度数；(3)若等腰三角形的一个角为若等腰三角形的一个角为90，求顶角的度数，求顶角的度数导引：给出的条件中，若底角、顶
8、角已确定，可直接运用三导引：给出的条件中，若底角、顶角已确定，可直接运用三 角形的内角和定理与等腰三角形的两底角相等的性质角形的内角和定理与等腰三角形的两底角相等的性质 求解；若给出的条件中底角、顶角不确定，则要分两求解；若给出的条件中底角、顶角不确定，则要分两 种情况求解种情况求解解：解：(1)ABAC，BC.ABC180，502B180，解得，解得B65.知知2 2讲讲(2)由题意可知，由题意可知，70的角可以为顶角或底角，当底角的角可以为顶角或底角，当底角 为为70时，顶角为时，顶角为18070240.因此顶角因此顶角 为为40或或70.(3)若顶角为若顶角为90，底角为，底角为 若底角
9、为若底角为 90，则三个内角的和大于，则三个内角的和大于180，不符合三角形，不符合三角形 内角和定理因此顶角为内角和定理因此顶角为90.18090452.总总 结结知知2 2讲讲 1在等腰三角形中求角时，要看给出的角是否确定在等腰三角形中求角时，要看给出的角是否确定为顶角或底角若已确定，则直接利用三角形的为顶角或底角若已确定，则直接利用三角形的内角和定理求解；若没有指出所给的角是顶角还内角和定理求解；若没有指出所给的角是顶角还是底角，要分两种情况讨论，并看是否符合三角是底角，要分两种情况讨论，并看是否符合三角形内角和定理形内角和定理2若等腰三角形中给出的一内角是直角或钝角，则若等腰三角形中给
10、出的一内角是直角或钝角，则此角必为顶角此角必为顶角1在在ABC中，中，ABAC.(1)若若A50，则，则C等于多少度？等于多少度？知知2 2练练 (1)在在ABC中，因为中，因为ABAC，所以所以BC.因为因为A40，ABC180，所以所以2C180A140.所以所以C70.解：解：(2)若若B72，则，则A等于多少度等于多少度?知知2 2练练 (2)因为因为B72，所以由所以由(1)可知：可知：A1802B 180272 36.解：解：2如图，在如图，在ABD中，中，ACBD，垂，垂足为足为C，ACBCCD.(1)求证：求证：ABD是等腰三角形；是等腰三角形；知知2 2练练 (1)在在ACB
11、和和ACD中，中，所以所以ACB ACD(SAS)所以所以ABAD(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等)所以所以ABD是等腰三角形是等腰三角形证明：证明：90ACACACBACDBCDC ，A(2)求求BAD的度数的度数.知知2 2练练 因为因为ACBC，所以所以BBAC.因为因为ACB90，所以所以BAC45.同理同理DAC45，所以所以BADBACDAC 454590.解：解：3知知2 2练练 【中考中考宁德宁德】如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，点，点D，E分别在边分别在边BC和和AC上，若上，若ADAE，则下列，则下列结论错误的是结论错误的是()AADBACBCAD B
12、ADEAEDCCDE BAD DAED2ECD12D4知知2 2练练 【中考中考台州台州】如图，在等腰三角形如图，在等腰三角形ABC中，中，ABAC，若以点，若以点B为圆心，为圆心，BC长为半径画弧，交腰长为半径画弧，交腰AC于点于点E，则下列结论一定正确的是，则下列结论一定正确的是()AAEEC BAEBECEBCBAC DEBCABEC知知3 3导导3知识点知识点等腰三角形的等腰三角形的“三线合一三线合一”性质性质想一想想一想在图在图1-3中，线段中，线段AD还具有怎样的性质？为什么？由还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论此你能得到什么结论?知知2 2导导归归 纳纳推论推论 等腰
13、三角形的顶角平分线、底边上的中线、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成底边上的高相互重合（简写成“三线合一三线合一”）知知3 3讲讲1212如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，AD是是BC边上的中线，边上的中线，ABC的平分线的平分线BG交交AC于点于点G，交，交AD于点于点E，EFAB，垂足为，垂足为F.(1)若若BAD25，求，求C的度数；的度数；(2)求证：求证：EFED.ABAC，AD是是BC边上的中线，边上的中线，BADCAD.BAC2BAD50.ABAC，CABC (180BAC)(18050)65.例例4(1)解：解：知知3 3讲讲(2)求证：求证
14、：EFED.证明：证明：ABAC，AD是是BC边上的中线，边上的中线，EDBC.又又BG平分平分ABC，EFAB，EFED.1知知3 3练练 【中考中考苏州苏州】如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，D为为BC的中点，的中点，BAD35，则，则C的度数为的度数为()A35 B45 C55 D60C2知知3 3练练 如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，AD是角平分线，是角平分线，BECF，则下列说法正确的有，则下列说法正确的有()DA平分平分EDF；EBD FCD；BDCD；ADBC.A1个个 B2个个 C3个个 D4个个D3知知3 3练练 如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，点，点D
15、，E在在BC上，上，连接连接AD，AE，若只添加一个条件使，若只添加一个条件使DABEAC，则添加的条件不能为，则添加的条件不能为()ABDCE BADAECDADE DBECDC1知识方面：知识方面：（1）等腰三角形的性质：等边对等角）等腰三角形的性质：等边对等角.（2）等腰三角形性质的推论：三线合一，即等腰三角）等腰三角形性质的推论：三线合一，即等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合互相重合.2思想方法：转化思想的应用，等腰三角形的性质是思想方法：转化思想的应用，等腰三角形的性质是证明角相等、边相等的重要方法证明角相等、边相等的
16、重要方法.1知识小结知识小结已知等腰三角形的一个外角等于已知等腰三角形的一个外角等于110，这个等腰三，这个等腰三角形的一个底角的度数为角形的一个底角的度数为()A40 B55 C70 D55或或70易错点：求等腰三角形的角时易出现漏解的错误易错点：求等腰三角形的角时易出现漏解的错误2易错小结易错小结D北师大版八年级下册数学精品配套课件本课件来源于网络只供免费交流使用第一章第一章 三角形的证明三角形的证明1.1 1.1 等腰三角形等腰三角形第第2 2课时课时 等边三角形等边三角形的性质的性质1课堂讲解课堂讲解u等腰三角形中相等的线段等腰三角形中相等的线段 u等边三角形的性质等边三角形的性质2课
17、时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升等腰三角形有哪些性质？等腰三角形有哪些性质？复复习习回回顾顾1等腰三角形的性质：等边对等角等腰三角形的性质：等边对等角.2等腰三角形性质的推论：三线合一，即等腰三角形等腰三角形性质的推论：三线合一，即等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合重合.1知识点知识点等腰三角形中相等的线段等腰三角形中相等的线段 在等腰三角形中画出一些线段在等腰三角形中画出一些线段(如角平分线、中如角平分线、中线、高等线、高等)，你能发现其，你能发现其 中一些相等的线段吗？能证中一些相等的线段
18、吗？能证明你的结论吗？明你的结论吗？知知1 1导导 知知1 1讲讲例例1 证明：等腰三角形两底角的平分线相等证明：等腰三角形两底角的平分线相等.已知：如图已知：如图,在在ABC中，中，AB=AC,BD和和CE是是ABC的角平分线的角平分线.求证：求证：BD=CE.知知1 1讲讲 ABAC，ABCACB(等边对等角）等边对等角）.BD,CE分别平分分别平分ABC 和和ACB，12.在在BDC和和CEB中，中，ACB ABC,BC=CB,12,BDC CEB(ASA).BDCE(全等三角形的对应边相等）全等三角形的对应边相等）.11 1=2=22ABC,ACB.证明：证明：知知1 1讲讲 例例2
19、求证：等腰三角形两腰上的中线相等求证：等腰三角形两腰上的中线相等导引：导引：先根据命题分析出题设和结论，画出图形，写先根据命题分析出题设和结论，画出图形，写出已知和求证，然后利用等腰三角形的性质和出已知和求证，然后利用等腰三角形的性质和三角形全等的知识证明三角形全等的知识证明知知1 1讲讲 解：解：如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，CE和和BD分别是分别是AB和和AC上的中线，上的中线，求证：求证：CEBD.ABAC，CE和和BD分别是分别是AB和和AC上的中线，上的中线，ABCACB，BECD.又又BCCB，BEC CDB.CEBD.证明：证明：1在等腰三角形在等腰三角形ABC中，中，
20、ABAC，那么下列说法中，那么下列说法中不正确的是不正确的是()2ABC边上的高线和中线互相重合边上的高线和中线互相重合3BAB和和AC边上的中线相等边上的中线相等4C顶点顶点B处的角平分线和顶点处的角平分线和顶点C处的角平分线相等处的角平分线相等5DAB，BC边上的高线相等边上的高线相等知知1 1练练 D知知1 1练练 2如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，下列条件中，不能，下列条件中，不能使使BDCE的是的是()3ABD，CE为为AC，AB边上的高边上的高 4BBD，CE都为都为ABC的角平分线的角平分线 5CABD ABC，6 ACE ACB7DABDBCE1 31 3D2知识点知识
21、点等边三角形的性质等边三角形的性质知知2 2导导1等边三角形的定义是什么？等边三角形的定义是什么？2想一想想一想等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢形的内角有什么特征呢?归归 纳纳知知2 2导导 定理等边三角形的三个内角都相等，并且每个角定理等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于都等于60.知知2 2讲讲已知：如图已知：如图,在在ABC中，中，AB=AC=BC.求证：求证：A=B=C=60.AB=AC，B=C(等边对等角等边对等角).又又AC=BC，A=B(等边对等角等边对等角).A=B=C.在在ABC中，中，A+B+C
22、=180.A=B=C=60.证明：证明：知知2 2讲讲 ABC等边三角形的定义等边三角形的定义 三条边都相等的三角形叫做等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形(也叫正三角形也叫正三角形).等边三角形是特殊的等腰三角形等边三角形是特殊的等腰三角形.知知2 2讲讲有两边相等的三角形是等有两边相等的三角形是等腰三角形（定义）腰三角形（定义）有两个角相等的三角形有两个角相等的三角形是等腰三角形是等腰三角形.满足什么条件的三角形是满足什么条件的三角形是等边三角形等边三角形?满足什么条件的三角形是满足什么条件的三角形是等腰三角形等腰三角形?三边都相等的三角形是等三边都相等的三角形是等边三角形（定义）
23、边三角形（定义）三个角都相等的三角形是三个角都相等的三角形是等边三角形等边三角形.方法一：从边看方法一：从边看方法二：从角看方法二：从角看方法一：方法一：方法二：方法二：知知2 2讲讲如图，已知如图，已知ABC是等边三角形，是等边三角形，D，E，F分别是分别是三边三边AB，AC，BC上的点，且上的点，且DEAC，EFBC，DFAB，计算，计算DEF各个内角的度数各个内角的度数 例例3 导引：导引：要计算出要计算出DEF各个内角的度各个内角的度数，有两个途径，即证数，有两个途径，即证DEF为等边三角形或直接求各个角为等边三角形或直接求各个角的度数，由垂直的定义及等边的度数，由垂直的定义及等边三角
24、形的性质，显然直接求各三角形的性质，显然直接求各个角的度数较易个角的度数较易知知2 2讲讲因为因为ABC是等边三角形，是等边三角形，所以所以ABC60.因为因为DEAC，EFBC，DFAB，所以所以AEDEFCFDB90.所以所以ADE90A906030.所以所以EDF180309060.同理可得同理可得DEFEFD60.即即DEF各个内角的度数都是各个内角的度数都是60.解：解：总总 结结知知2 2讲讲 利用等边三角形的性质求角的度数时，通过利利用等边三角形的性质求角的度数时，通过利用等边三角形的三个内角都相等，并且每一个用等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都角都等于等于60的性质，找
25、出要求角与已知角间的关系的性质，找出要求角与已知角间的关系来来进行相关计算；有时还要结合全等图形等知识进行相关计算；有时还要结合全等图形等知识来解来解决决知知2 2讲讲 如图，已知如图，已知ABC，BDE都是等边三角形都是等边三角形求证：求证：AECD.例例4 导引：导引：要证要证AECD，可通过证，可通过证AE，CD所在的两个三角形全等来所在的两个三角形全等来实现，即证实现，即证ABE CBD，条件可从等边三角形中去寻条件可从等边三角形中去寻找找知知2 2讲讲ABC和和BDE都是等边三角形，都是等边三角形，ABBC，BEBD，ABCDBE60.在在ABE与与CBD中，中，ABE CBD(SA
26、S)AECD.证明：证明：ABCBABECBDBEBD ，总总 结结知知2 2讲讲运用等边三角形性质证明线段相等的方法：运用等边三角形性质证明线段相等的方法：把要证的两条线段放到一个三角形中证其为等腰或把要证的两条线段放到一个三角形中证其为等腰或等边三角形或者放到两个三角形中，利用全等三角等边三角形或者放到两个三角形中，利用全等三角形的性质证明；注意等边三角形的三个内角相等、形的性质证明；注意等边三角形的三个内角相等、三条边相等、三线合一是隐含的已知条件三条边相等、三线合一是隐含的已知条件 1求等边三角形两条中线相交所成锐角的度数求等边三角形两条中线相交所成锐角的度数.知知2 2练练 解：解：
27、如图，在等边三角形如图，在等边三角形ABC中，中，CE，BF分别是分别是AB，AC边上的中线，且边上的中线，且CE与与BF相交于点相交于点O，则则CE垂直平分垂直平分AB，BF垂直平分垂直平分AC，在在RtABF中，中，A60，ABF30.在在RtBEO中，中，EBO30，EOB60，即等边三角形两条中线相交所成锐角的度数为即等边三角形两条中线相交所成锐角的度数为60.2如图，在如图，在ABC中，中，D，E是是BC的三等分点，且的三等分点，且ADE是等边三角形，求是等边三角形，求BAC的度数的度数.知知2 2练练 解：解：由题意易知，由题意易知，BDDEAD，DBABAD.又又DBABADAD
28、E60，BAD30.同理可得，同理可得，CAE30，BACBADDAECAE 306030120.3下面关于等边三角形的说法正确的有下面关于等边三角形的说法正确的有()三个角都相等；三条边都相等；是一种特三个角都相等；三条边都相等；是一种特殊的等腰三角形；是一种特殊的直角三角形殊的等腰三角形；是一种特殊的直角三角形A1个个 B2个个 C3个个 D4个个知知2 2练练 C4已知已知AD是等边三角形是等边三角形ABC的高，且的高，且BD1 cm，那么那么BC的长是的长是()A1 cm B2 cm C3 cm D4 cm知知2 2练练 B5如图，在等边三角形如图，在等边三角形ABC中，中，BD，CE
29、是两条中是两条中线，则线，则1的度数为的度数为()A90 B30 C120 D150知知2 2练练 C6【中考中考南充南充】如图，等边三角形如图，等边三角形OAB的边长为的边长为2，则点，则点B的坐标为的坐标为()A(1，1)B(，1)C(，)D(1，)知知2 2练练 D3333如图，如图，ABC是等边三角形，是等边三角形，AD是角平分线，是角平分线，ADE是等边三角形，下列结论：是等边三角形，下列结论：ADBC；EFFD；BEBD.其中正确结论的个数为其中正确结论的个数为()A3 B2 C1 D0知知2 2练练 A7如图，如图，lm，等边三角形，等边三角形ABC的顶点的顶点B在直线在直线m上
30、，边上，边BC与直线与直线m所夹角为所夹角为20，则，则的的度数为度数为()A60 B45 C40 D30知知2 2练练 C8如图，在等边三角形如图，在等边三角形ABC中，中，BDCE，AD与与BE相交于点相交于点P，则，则APE的度数是的度数是()A45 B55 C60 D75知知2 2练练 C91等腰三角形的特殊性质：等腰三角形的特殊性质：(1)等腰三角形两底角的平分线相等；等腰三角形两底角的平分线相等；(2)等腰三角形两腰上的高相等；等腰三角形两腰上的高相等；(3)等腰三角形两腰上的中线相等；等腰三角形两腰上的中线相等；1知识小结知识小结 2等边三角形的性质：等边三角形的性质：(1)等边
31、三角形的三边都相等；等边三角形的三边都相等；(2)等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于于60；(3)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别为三边的垂直平分线；别为三边的垂直平分线；(4)各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等度相等已知已知ABC是等边三角形，设是等边三角形，设AB，BC，AC边上的中线交边上的中线交于点于点G，BAC，ABC，ACB的平分线交于点的平分线交于点I，AB，BC，AC边上的高交于点边上的高交于点H，则下列结论：点，则下
32、列结论：点G与点与点I一定一定重合；点重合；点G与点与点H一定重合；点一定重合；点I与点与点H一定重合；点一定重合；点G，点，点I与点与点H一定重合其中正确的有一定重合其中正确的有()A1个个 B2个个 C3个个 D4个个易错点：忽视等边三角形与等腰三角形的关系而致错易错点：忽视等边三角形与等腰三角形的关系而致错2易错小结易错小结D 因为等边三角形的三条边相等，所以等边因为等边三角形的三条边相等，所以等边三角形每条边上的中线、高与该边对角的平分三角形每条边上的中线、高与该边对角的平分线互相重合，所以点线互相重合，所以点G，点，点I与点与点H一定重合一定重合北师大版八年级下册数学精品配套课件本课
33、件来源于网络只供免费交流使用第一章第一章 三角形的证明三角形的证明1.1 1.1 等腰三角形等腰三角形第第3 3课时课时 等腰三角形等腰三角形的判定的判定1课堂讲解课堂讲解u等腰三角形的判定等腰三角形的判定 u反证法反证法2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升1 1、等腰三角形是怎样定义的？、等腰三角形是怎样定义的？有两条边相等的三角形有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形叫做等腰三角形.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形是轴对称图形.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边 上的高重合上的高重合(也称为也称为“三线合一三
34、线合一”).).等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等(简写成简写成 “等边对等角等边对等角”).).2 2、等腰三角形有哪些性质？、等腰三角形有哪些性质？D DA AB BC C既是性质又既是性质又是判定是判定1知识点知识点等腰三角形的判定等腰三角形的判定知知1 1导导思考思考 我们知道，如果一个三角形有两条边相等，我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等那么它们所对的角相等.反过来，如果一个三角反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？如图，在如图，在ABC中，中，B=C.作作ABC的角平分线的角
35、平分线AD.在在BAD和和CAD中，中，1=2，B=C，AD=AD,BAD CAD(AAS).AB=AC.知知1 1导导 知知1 1导导归归 纳纳 由上面推证，我们可以得到等腰三角形的判由上面推证，我们可以得到等腰三角形的判定方法：定方法：如果一个三角形有两个角相等如果一个三角形有两个角相等.那么这两个角那么这两个角所对的边也相等（简写成所对的边也相等（简写成“等角对等边等角对等边”).（来自教材（来自教材）知知1 1讲讲1判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形形(简称等角对等边简称等角对等边)应用格式：在应用格式：在ABC中，中，BC,ABAC.2
36、等腰三角形的判定与性质的异同等腰三角形的判定与性质的异同相同点：都是在一个三角形中；相同点：都是在一个三角形中；区别：判定是由角到边，性质是由边到角区别：判定是由角到边，性质是由边到角即：即：性性质质判判定定等等边边等等角角知知1 1讲讲 例例1 已知：如图，已知：如图，ABDC，BDCA，BD与与CA 相交于点相交于点E.求证：求证：AED是等腰三角形是等腰三角形.知知1 1讲讲 ABDC，BDCA，ADDA，ABD DCA(SSS).ADBDAC(全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等).AEDE(等角对等边等角对等边).AED是等腰三角形是等腰三角形.证明：证明：知知1 1讲讲 如
37、图如图-，在，在ABC中，中，P是是BC边上一点，过点边上一点，过点P作作BC的垂线，交的垂线，交AB于点于点Q，交，交CA的延长线于点的延长线于点R，若，若AQAR，则，则ABC是等腰三角形吗？请是等腰三角形吗？请说明理由说明理由导引：导引：要说明要说明ABC为等腰三角形，由为等腰三角形，由图图可知即要说明可知即要说明BC，而，而B，C分别在两个直角三角形中，因分别在两个直角三角形中，因此只要说明此只要说明B，C的余角的余角BQP，R相等即可相等即可例例2 知知1 1讲讲 解：解：ABC是等腰三角形理由如下：是等腰三角形理由如下：AQAR，RAQR.又又BQPAQR，RBQP.PR是是BC的
38、垂线，的垂线，BPQCPR90.在在RtQPB和和RtRPC中，中，BBQP90，CR90，BC.ABAC.总总 结结知知1 1讲讲 本题运用了转化思想，将要证的两角相等利用等本题运用了转化思想，将要证的两角相等利用等角的余角相等转化为证其余角相等；对顶角这一角的余角相等转化为证其余角相等；对顶角这一隐含隐含条件在推导角的相等关系中起了关键的桥梁作条件在推导角的相等关系中起了关键的桥梁作用用1如图，在如图，在ABC中，中，BD平分平分ABC，交，交AC于点于点D，过点过点D作作BC的平分线，交的平分线，交AB于点于点E，请判断，请判断BDE的形状，并说明理由的形状，并说明理由.知知1 1练练
39、解：解：BDE为等腰三角形为等腰三角形理由如下：因为理由如下：因为BD平分平分ABC，所以所以ABDDBC.因为因为DEBC，所以，所以EDBDBC.所以所以EBDEDB.所以所以EBED.故故BDE为等腰三角形为等腰三角形2在在ABC中，中，A和和B的度数如下，能判定的度数如下，能判定ABC是等腰三角形的是是等腰三角形的是()AA50，B70 BA70，B40CA30，B90 DA80，B60知知1 1练练 B3如图，如图，BC36，ADEAED72，则，则图中的等腰三角形有图中的等腰三角形有()A3个个 B4个个 C5个个 D6个个知知1 1练练 D4【中考中考甘孜州甘孜州】如图，在如图，
40、在ABC中，中，BD平分平分ABC，EDBC，已知，已知AB3，AD1，则，则AED的周长为的周长为()A2 B3 C4 D5知知1 1练练 C5如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，BD是是AC边上的边上的高，高，CE是是AB边上的高，它们相交于点边上的高，它们相交于点O，则图，则图中除中除ABC外一定是等腰三角形的是外一定是等腰三角形的是()AABD BACE COBC DOCD知知1 1练练 C6在下列三角形中，若在下列三角形中，若ABAC，则不能被一条直，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是线分成两个小等腰三角形的是()知知1 1练练 B7【中考中考武汉武汉】在平面直角坐标系中，
41、已知在平面直角坐标系中，已知A(2，2)，B(4，0)若在坐标轴上取点若在坐标轴上取点C，使，使ABC为为等腰三角形，则满足条件的点等腰三角形，则满足条件的点C的个数是的个数是()A5 B6 C7 D8知知1 1练练 B2知识点知识点反证法反证法知知2 2导导想一想想一想小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等那么这两个角所对的边也不相等.你认为小明这个结你认为小明这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？论成立吗？如果成立，你能证明它吗？知知2 2导导 小明是这样想的：小明是这样想的：如图，在如图，在ABC中，已中，已
42、 知知BC,此时此时AB与与AC要么要么相等，要么不相等相等，要么不相等.假设假设ABAC那么根据那么根据“等边对等等边对等角角”定理可得定理可得CB，这与已知条这与已知条件件BC相矛盾，因此相矛盾，因此 ABAC你能理解他的推理过程吗？你能理解他的推理过程吗？归归 纳纳知知2 2导导 小明在证明时，先假设命题的结论不成立，然后小明在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这种这种证明证明方法称为反证法方法称为反证法.知知2 2讲讲1
43、定义定义在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法证法2利用反证法证明命题的一般步骤利用反证法证明命题的一般步骤(1)假设命题的结论不成立；假设命题的结论不成立；(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确知知2 2讲讲3
44、适宜用反证法证明的命题适宜用反证法证明的命题反证法主要用于直接证明比较困难的命题，例如反证法主要用于直接证明比较困难的命题，例如下面几种常见类型的命题就适宜用反证法：下面几种常见类型的命题就适宜用反证法：(1)结论以否定形式出现的命题，如钝角三角形中不结论以否定形式出现的命题，如钝角三角形中不能有两个钝角；能有两个钝角；(2)唯一性命题，如两条直线相交只有一个交点；唯一性命题，如两条直线相交只有一个交点；(3)命题的结论以命题的结论以“至多至多”“至少至少”等形式叙述的命等形式叙述的命题，如一个凸多边形中至多有题，如一个凸多边形中至多有3个锐角个锐角知知2 2讲讲用反证法证明命题用反证法证明命
45、题“等腰三角形的两底角是锐角等腰三角形的两底角是锐角”时，第一步为时，第一步为_导引：导引：反证法的第一步是假设反证法的第一步是假设“命题的结论不成立命题的结论不成立”，就，就是是“命题结论的反面是正确的命题结论的反面是正确的”，理解了命题的结，理解了命题的结论和命题结论的反面，问题即可解决论和命题结论的反面，问题即可解决例例3 假设等腰三角形的两底角是直角假设等腰三角形的两底角是直角或钝角或钝角 知知2 2讲讲用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.已知：已知：ABC.求证：求证：A、B、C中不能有两个角是直角中不能有两个角是直角.例例4 证
46、明：证明：假设假设A，B，C中有两个角是直角，不妨设中有两个角是直角，不妨设A和和B是是 直角，即直角，即 A=90，B=90.于是于是 ABC=90 90 C 180.这与三角形内角和定理相矛盾，因此这与三角形内角和定理相矛盾，因此“A和和B是是 直角直角”的假设不成立的假设不成立.所以，一个三角形中不能有两个角是直角所以，一个三角形中不能有两个角是直角.1已知五个正数的和为已知五个正数的和为1，用反证法证明：这五个正，用反证法证明：这五个正数中至少有一个大于或等于数中至少有一个大于或等于 .知知2 2练练 解：解：假设这五个数均小于假设这五个数均小于 ，不妨设不妨设则有则有即即这与已知矛盾
47、，所以假设不成立，原命题成立这与已知矛盾，所以假设不成立，原命题成立.即已知五个正数的和等于即已知五个正数的和等于1，则这五个数中至少有，则这五个数中至少有一个大于或等于一个大于或等于15111111515abcde，1511111105abcde ，111111abcde，15.2用反证法证明用反证法证明“一个三角形中至多有一个钝角一个三角形中至多有一个钝角”时，时，应假设应假设()A一个三角形中至少有两个钝角一个三角形中至少有两个钝角B一个三角形中至多有一个钝角一个三角形中至多有一个钝角C一个三角形中至少有一个钝角一个三角形中至少有一个钝角D一个三角形中没有钝角一个三角形中没有钝角知知2
48、2练练 A1等腰三角形的判定是把角相等转化为边相等，但前等腰三角形的判定是把角相等转化为边相等，但前提是在同一个三角形内提是在同一个三角形内2利用反证法解题的一般步骤：利用反证法解题的一般步骤：(1)假设；假设；(2)归谬：从假设出发，经过推理论证得出与已知、定归谬：从假设出发，经过推理论证得出与已知、定理、公理等相矛盾的结果；理、公理等相矛盾的结果；(3)结论：肯定命题结论正确结论：肯定命题结论正确.1知识小结知识小结如图，在等腰三角形如图，在等腰三角形ABC中，中，ABAC，AD是是BC边上的高，边上的高，求证：求证：DAB是一个锐角是一个锐角易错点：反证法中易假设结论的反面不全面而致错易
49、错点：反证法中易假设结论的反面不全面而致错2易错小结易错小结假设假设DAB是一个直角或钝角，则是一个直角或钝角，则DAB 90，ABAC，AD是是BC边上的高，边上的高，DACDAB 90.则则BACDABDAC 9090180，BCBAC 180.这与三角形内角和为这与三角形内角和为180矛盾，矛盾，DAB是一个直角或钝角的假设不成立是一个直角或钝角的假设不成立DAB是一个锐角是一个锐角证明：证明：北师大版八年级下册数学精品配套课件本课件来源于网络只供免费交流使用第一章第一章 三角形的证明三角形的证明1.1 1.1 等腰三角形等腰三角形第第4 4课时课时 等边三角形等边三角形的判定的判定1课
50、堂讲解课堂讲解u等边三角形的判定等边三角形的判定 u含含30角的直角三角形的性质角的直角三角形的性质2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升等边三角形有哪些性质？等边三角形有哪些性质？复复习习回回顾顾归归 纳纳 等边三角形的性质：等边三角形的性质：(1)等边三角形的三边都相等；等边三角形的三边都相等；(2)等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于 60；(3)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别 为三边的垂直平分线；为三边的垂直平分线；(4)各边上的高、中线、对应的
