1、 - 1 - 八市 学评 2017-2018（下）高三第一次测评 理科数学 第 卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 若复数 满足 ,其中 为虚数单位，则 ( ) A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 由题意得 ，所以 ，则 ，故选 D 2. 集合 , ,若 只有一个元素，则实数 的值为（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 【答案】 B 【解析】因为 只有一个元素，而 ， 所以 或，选 B. 3. 已知 满足约束条件 ,则 的最小值是 ( ) A. 1 B
2、. C. D. 【答案】 C 【解析】 画出约束条件所表示的平面区域，如图所示， 设 ，则 ，表示可行域内点与原点的连线的斜率， 由图象可知，当取点 时， 取得最大值， 由 ，解得 ，此时 的最大值为 ， 所以 的最小值为 ，故选 C - 2 - 4. 某校对高二一班的数学期末考试成绩进行了统计，发现该班学生的分数都在 90 到 140 分之间，其频率分布直方图如图所示，若 130140 分数段的人数为 2，则 100120 分数段的人数为（ ） A. 12 B. 28 C. 32 D. 40 【答案】 B 【解析】 100120 分数段对应纵坐标为 ，根据对应关系得 ，选 B. 5. 已知
3、，则 ( ) A. B. C. D. 6 【答案】 A 【解析】 由题意可知 ， 则 ， - 3 - 所以 ，故选 A 6. 某几何体的三视图如图所示，则改几何体的体积为 ( ) A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 由给定的三视图可知，原几何体上半部分，表示一个半径为 的四分一个球， 下半部分表示一个底面半径为 ，高为 的半个圆锥， 所以该几何体的体积为 ，故选 C 7. 已知函数 ,若 ,则 ( ) A. B. C. 或 D. 0 【答案】 D 【解析】 由函数的解析式可知，当 时，令 ，解得 ； 当 时，令 ，解得 （舍去）， 综上若 ，则 ，故选 D 8. 设等差数列 的首项
4、 大于 0，公差为 ,则 “ ” 是 “ 为递减数列 ” 的 ( ) A. 充要 条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】 A - 4 - 【解析】 由题意 ， 当 时， ，所以 ， 即数列 为递减数列； 若数列 为递减数列，则 ，因为 ，所以 ， 所以 是数列 为递减数列的充要条件，故选 A 9. 双曲线 的右焦点为 ,过点 斜率为 的直线为 ,设直线 与双曲线的渐近线的交点为 为坐标原点，若 的面积为 ,则双曲线 的离心率为 ( ) A. B. C. 2 D. 4 【答案】 D 【解析】 过点 且斜率为 的直 线方程为 ， 与双曲线的渐近线
5、 联立， 得到 ， 因为 的面积为 ，所以 ，所以 ， 所以双曲线的离心率为 ，故选 D 10. 设函数 与 且 )在区间 具有不同的单调性，则与 的大小关系是 ( ) A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 由题意，因为 与 在区间 具有不同的单调性， 则 ，所以 ， ，所以 ，故选 D 11. 记实数 种的最小数为 ,若函数 的最小正周期为 1，则 的值为 ( ) A. B. 1 C. D. 【答案】 C 【解析】 由题意，如图所示，函数 和 的图象关于 对称， - 5 - 则函数 的周期为 的周期的一半， 若 的最小正周期为 ，则 的周期为 ， 即 ，解得 ，故选 C 点睛：本题
6、考查了三角函数的图象与性质，以及三角函数的周期求解问题，解答中根据函数 和 的图象之间的关系，得到函数 与 和的关系即可求解，其中熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力 12. 已知函数 ,若函数 有 4 个不同的零点，则 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 当 时， 当 时 ， 作图可知， 选 C. 点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程- 6 - 根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极
7、值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路 . 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入 的值为 -8，则输出 的值 为_ 【答案】 4 【解析】 执行如图所示的程序酷图，可得 ， 满足条件 ， ； 满足条件 ， ； 不满足条件 ， 输出 14. 直线 与曲线 在第一象限内围成的封闭图形的面积为 _ 【答案】 1 【解析】 由题意直线与 与曲线 所成围成的封闭图形，如图所示， 又由 ，解得 或 ， 所以封闭图形的面积为 - 7 - 15. 的展开式中， 的系数是 _（用数字填写答案） 【答案】
8、-280 【解析】 由题意，二项式 的展开式为 ， 当 时， ，即 的系数 是 点睛：本题主要考查二项式定理的通项与系数问题，试题比较基础，属于简单题 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（ 1）考查二项展开式的通项公式 ；（ 2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（ 3）二项式定理的应用 16. 已知抛物线 与圆 ,直线 与 交于 两点，与 交于两点，且 位于 轴的上方，则 _ 【答案】 1 【解析】圆 ，直线 过抛物线焦点 所以 ， 由 得 ，即. 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过
9、程或演算步骤 .） 17. 在 中，边 的对角分别为 ，且满足 . (1)求角 的大小； (2)若 ，求 面积的最大值 . - 8 - 【答案】（ 1） ；（ 2） . 【解析】试题分析： （ 1）由正弦定理，画出 ，即可化简得到 ，再借助 ，即可得到角 的大小； （ 2）由（ 1）和余弦定理和基本不等式，即可得到 ，即可求解三角形面积的最大值 试题解析： （ 1）由 及正弦定理 . 所以 , 即 .所以 或 （舍） 所以 ，又 ，所以 . (2)由 及 余弦定理得 , 得 ，所以 ,当且仅当 等号成立 .所以 面积的最大值为 . 18. 已知在四棱锥 中， 为正三角形， ，底面 为平行四边形
10、，平面平面 ，点 是侧棱 的中点，平面 与棱 交于点 . (1)求证： ； (2)若 ，求平面 与平面 所成二面角（锐角）的余弦值 . 【答案】（ 1）见解析；（ 2） . 【解析】试题分析： （ 1）由底面 是平行四边形，利用线面平行的判定定理得 面 ，在利用线面平行的性质定理，即可证得 (2)建立空间直角坐标系 ，求得平面 和平面 的一个法向量，利用空间向量的夹角公 式，即可求解平面 和平面 的二面角的余弦值 试题解析： - 9 - （ 1） 底面 是平行四边形， ， 又 面 面 ， 面 ， 又 四点共面，且平面 平面 , . (2)取 中点 ，连接 侧面 为正三角形，故 ，又 平面平面
11、，且平面 平面 , 平面 , 在平行四边形中， ，故 为菱形， 且 是 中点， . 如图，建立空间直角坐标系 , 因为 ,则 , 又 ,点 是棱 中点， 点 是棱 中点， , ，设平面 的法向量为 , 则有 , 不妨令 ,则平面 的一个法向量为 平面 是平面 的一个法向量， , 平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为 . 19. 某中学准备在开学时举行一次高三年级优秀学生座谈会，拟请 20 名来自本校高三(1)(2)(3)(4)班的学生参加，各班邀请的学生数如下表所示； 班级 高三（ 1） 高三（ 2） 高三（ 3） 高三（ 4） 人数 4 6 4 6 (1)从这 20 名学生中随机选出 3
12、名学生发言，求这 3 名学生中任意两个均不属于同一班级的概率； (2)从这 20 名学生中随机选出 3 名学生发言，设来自高三（ 3）的学生数为 ，求随机变量 的概率分布列和数学期望 . - 10 - 【答案】（ 1） ；（ 2）见解 析 . 【解析】试题分析：（ 1）从 名学生随机选出 名的方法数为 , 选出 人中任意两个均不属于同一班级的方法数，利用古典概型及其概率公式，即可求解 (2)由 可能的取值为 ，求得随机变量 每个值对应的概率，列出分布列，利用公式求解数学期望 试题解析： （ 1）从 20 名学生随机选出 3 名的方法数为 , 选出 3 人中任意两个均不属于同一班级的方法数为 设 3 名学生中任意两个均不属于同一班级的事件为 所以 (2) 可能的取值为 0,1,2,3 , . 所以 的分布列为 0 1 2 3 所以 20. 已知椭圆 的离心率为 ，点 在椭圆 上 . (1)求椭圆 的方程； (2)若不过原点 的直线 与椭圆 相交于 两点，与直线 相较于点 ，且 是线段 的中点，求 面积的最大值 .
