1、 1 北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学 学科测试 （理工类） 2017.3 （考试时间 120 分钟 满分 150 分） 本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 . （ 1） 已知集合 | 1 3A x x? ? ? ?， 2 | 4ZB x x? ? ?，则 AB? （ A） 0,1 （ B） 1,0,1? （ C） 1,0,1,2? （ D） 2, 1,0,1,2? （ 2） 若 ,xy满足 2 0,3,0,x
2、yxyx?则 2xy? 的最大值为 （ A） 0 （ B） 3 （ C） 4 （ D） 5 （ 3） 执行如图所示的程序框图，若输入 4m? ， 6n? ，则输出 a? （ A） 4 （ B） 8 （ C） 12 （ D） 16 （ 4） 给出如下命题： 若 “ p q” 为假命题，则 p, q 均为假命题； 在 ABC 中， “ AB ” 是 “ sin sinAB ” 的充要条件； 8(1 )x? 的 展开式中二项式系数最大的项是第五项 . 其中 正确 的是 （ A） （ B） （ C） （ D） （ 5）设抛物线 2 8yx? 的焦点为 F，准线为 l ， P 为抛物线上一点， lPA?
3、 ， A 为垂足 .若 直线 AF 的斜率为 3? ， 则 ?PF （ A） 34 （ B） 6 （ C） 8 （ D） 16 （ 6 ） 已 知 函 数 42lo g , 0 4 ,()1 0 2 5 , 4 .xxfxx x x? ? ? ? ?若 a , b , c , d 是 互 不 相 同 的 正 数 ， 且开始 a mi? 输入 m,n 是 1ii?0i? 结束 输出 a 否 a 能被 n 整除？ 2 ( ) ( ) ( ) ( )f a f b f c f d? ? ?，则 abcd 的取值范围是 （ A） (24,25) （ B） (18,24) （ C） (21,24) （
4、D） (18,25) （ 7） 某四棱锥的三视图如图 所示 ，则 该四棱锥的 底面的面积是 （ A） 12 （ B） 32 （ C） 14 （ D） 34 （ 8） 现 有 10 支队伍参加 篮球比 赛， 规定：比赛采取单循环比赛制，即 每支队伍与其 他 9 支队伍 各比 赛一场 ； 每场比赛中，胜方得 2 分，负方得 0 分，平局双方各得 1 分 下面关于这 10 支 队伍得分的叙述正确的是 （ A） 可能有两 支 队伍得分 都是 18 分 （ B） 各 支 队 伍 得分总和 为 180 分 （ C） 各 支 队伍中最高得分不少于 10 分 （ D） 得偶数分的队伍必有偶数个 第二部分（非选
5、择题 共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 . （ 9） 复数 1ii? 在复平面 内 对应的点的坐标是 _. （ 10）在 ABC中，3A ?，BC?，6AB?，则C_. （ 11）已知 na 为等差数列， nS 为其前 n 项和若 6 51S? ， 1926aa? ，则数列 na 的公差 d? ，通项 公式 na? (12) 在极坐标系中， 直 线 C1的极坐标方程为 sin ( ) 24? ? 若以极点为原点，极轴为 x 轴 的正半轴 建立 平面 直角坐标系 xOy ， 则直 线 C1 的直角坐标方程为 _；曲线 C2 的方程为cos ,1 si
6、nxtyt? ? （ t 为参数）， 则 C2被 C1截得的弦长为 _. 侧视图 0.5 俯视图 1 正视图 1 0.5 3 (13) 如图， 11ABC? ， 1 2 2CBC? ， 2 3 3CBC? 是 三个边长为 2 的等边三 角形 ，且 有一条边在同一直线上，边 33BC 上有 2 个不同的点12,PP，则 2 1 2+=AB AP AP（ ）? . （ 14）在平面直角坐标系 xOy 中，动点( , )Pxy 到 两坐标轴的距离之和等于它到 定 点 (1,1) 的距离， 记点 P 的轨迹为 C .给出下面 四 个结论： 曲线 C 关于原点对称； 曲线 C 关于直线 yx? 对称；
7、点 2( ,1)( )Raa?在 曲线 C 上 ； 在第一象限内， 曲 线 C 与 x 轴的非负半轴、 y 轴的非负半轴围成的封闭图形的面积小于 12 . 其中所有正确结论的序号是 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 .解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 . （ 15） （本小题满分 13 分） 已知函数 3( ) s in ( c o s 3 s in ) ( 0 )2f x x x x? ? ? ? ? ? ?的最小正周期为 2 . () 求 ? 的值； () 求函数 ()fx的单调递减区间 . （ 16） （本小题满分 13 分） 某单位共有员 工 45 人，其中男员工
8、 27 人，女员工 18 人上级部门为了对该单位员工的工作业绩进行评估，采用按性别分层抽样的方法抽取 5 名员工进行考核 （ ）求抽取的 5 人中男、女员工的人数 分别是多少 ； （ ）考核前，评估小组从抽取的 5 名员工中，随机选出 3 人进行访谈设选出的 3 人中男员工人数为 X ， 求随机变量 X 的分布列和 数学期望； （ ）考核分笔试和答辩两项 5 名员工的笔试成绩分别为 78， 85， 89， 92， 96；结合答 辩情况，他们的考核成绩分别为 95， 88， 102， 106， 99这 5 名员工笔试成绩与考核成A B1 P1 B2 B3 C1 C3 C2 P2 4 绩的方差分别
9、记为 21s ， 22s ，试比较 21s 与 22s 的大小（只需写出结论） （ 17） （本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥 P ABCD? 中，平面 PAD ? 平面 ABCD ， E 为 AD 的中点， PA AD? ，BE CD ,BE AD? ， 2 , 1P A A E B E C D? ? ? ?. （ ） 求证：平面 PAD ? 平面 PCD ； （ ） 求二面角 ?C PB E 的余弦值； （ ） 在 线段 PE 上是否存在点 M ，使得 DM 平面 PBC ？ 若存在，求出点 M 的位置；若不存在， 说明理由 . (18)（本小题满分 13 分） 已知函数 ( ) l
10、n 1f x x ax? ? ?( Ra? ), 21( ) ( ) 22g x xf x x x? ? ?. （ ）求 ()fx的单调区间； （ ）当 1a? 时， 若函数 ()gx在区间 ( , 1)( )m m m Z+?内存在 唯一的极值点， 求 m 的值 . (19)（本小题满分 14 分） 已知 椭圆 2 22: 1( 1)xC y aa ? ? ?，离心率 63e? 直线 :1l x my?与 x 轴交于点 A ， 与椭圆 C 相交于 ,EF两点 自 点 ,EF分别 向直线 3x? 作垂线，垂足分别为 11,EF. （ ）求 椭圆 C 的 方程及焦点坐标 ； （ ）记 1AEE?
11、 , 11AEF? , 1AFF? 的面积分别为 1S , 2S , 3S ， 试 证 明 1322SSS为定 值 . (20)（本小题满分 13 分） 对于正整数集合 12 , , , nA a a a= （ n ?N ， 3n ），如果去掉其中任意一个元素 ia（ 1,2, ,in= ）之后，剩余的 所有 元素 组 成 的集合都能分为 两个交集为空集的集 合 ，且这两个集P A C D E B 5 合 的所有元素之和相等，就称集合 A 为 “ 和谐集 ”. （ ）判断集合 1,2,3,4,5 是否是 “ 和谐集 ” （不必写过程）； （ ）求证：若集合 A 是 “ 和谐集 ” ，则集合 A
12、 中元素个数为奇数； （ ）若集合 A 是 “ 和谐集 ” ，求集合 A 中元素个数的最小值 . 北京市朝 阳区高三年级第一次综合练习 数学 学科测试答案 （理工类） 2017.3 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 题号 （ 1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 5） （ 6） （ 7） （ 8） 答案 B C C B C A D D 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 . 题号 （ 9） （ 10） （ 11） （ 12） （ 13） （ 14） 答案 (1, 1)? 4?3， 32n? 20xy? ? ? ， 2 36 三、解答题：
13、（ 15） （本小题满分 13 分） 解：因为 3( ) s in ( c o s 3 s in ) 2f x x x x? ? ? ? ? 2 3s in c o s 3 s in 2x x x? ? ? ? ? ? 13s in 2 c o s 222xx? sin(2 )3x?， ? 5 分 () 又因为函数 ()fx的最小正周期为 2 ， 所以 222? . 解得 2? . ? 7 分 () 令 3 2 42 ,2 3 2k x k k? ? ? ? ? ? Z得， 6 7 2 42 ,66k x k k? ? ? ? ? Z， 所以 7 ,2 2 4 2 2 4kkxk? ? ? ?
14、 ? Z. 所以函数 ()fx的单调递减区间是 7 , ,2 2 4 2 2 4kk k? ? ? Z. ?13 分 （ 16） （本小题满分 13 分） 解： （ ）抽取的 5 人中男员工的人数为 5 27 345?， 女员工的人数为 5 18 245? ? 4 分 （ ）由（ ）可知，抽取的 5 名员工中，有男员工 3 人，女员工 2 人 所以，随机变量 X 的所有可能取值为 1, 2, 3 根据题意， 123235 3( 1) 10CCPX C? ? ?， 213235 6( 2 ) 10CCPX C? ? ?， 303235 1( 3 ) 10CCPX C? ? ? 随机变量 X 的分
15、布列是： 数学期望 3 6 1 1 8 91 2 31 0 1 0 1 0 1 0 5EX ? ? ? ? ? ? ? ? ? 10 分 （ ） 2212ss? ? ?13 分 （ 17） （本小题满分 14 分） （ ） 证明：由已知平面 PAD ? 平面 ABCD ，PA AD? ， 且平面 PAD 平面 ABCD AD? ， 所以 PA? 平面 ABCD . 所以 PA CD? . X 1 2 3 P 310 610 110 P A B C D E x y z 7 又因为 BE AD? ， BE CD ， 所以 CD AD? . 所以 CD? 平面 PAD . 因为 CD? 平面 PCD
16、 ， 所以平面 PAD? 平面 PCD . ? 4 分 （ ） 作 Ez? AD，以 E 为原点，以 ,EBED 的方向分别为 x 轴 ， y 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 E xyz， 则点 (0,00)，E ， (0, 22)，?P ， (0, 20)，?A ， (2,00)，B , (1,20)，C ， (0,20)，D . 所以 (2, 2 2,)，?PB ， ( 1,2 0)，?BC ， (0, 2 2)，?EP . 设平面 PBC 的法向量为 n (x， y， z)， 所以 0,0.nnPBBC? ?即 0,2 0.x y zxy? ? ? ? ?令 1?y ，解得 (
17、2,1,3)n? . 设平面 PBE 的法向量为 m (a， b， c)， 所以 0,0.PBEP? ?mm即 0,0.a b cbc? ? ? ? ? ?令 1?b ，解得 (0,1,1)m? . 所以 2 0 1 1 3 1 2 7c o s ,71 4 2nm ? ? ? ? ? ? ? ?. 由图可知， 二面角 ?C PB E 的余弦值为 277 . ? 10 分 （ ） “线段 PE 上存在点 M ，使得 DM 平面 PBC ”等价于“ 0nDM? ” . 因为 (0,2 2)PE ，?， 设 ( 0 , 2 2 )P M P E ，? ? ? ? ?， (0,1)? ， 则 (0, 2 2 2 2 )M ，?， (0 , 2 4 2 2 )DM ，? ? ?. 由 （ ） 知平面 PBC 的法向量为 (2,1,3)n? ， 所以 2 4 6 6 0n
