1、第1课时 奇偶性的概念 第一章 1.3.2 奇偶性 1.理解函数奇偶性的定义； 2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法； 3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题. 问题导学 题型探究 达标检测 学习目标 问题导学 新知探究 点点落实 知识点一 函数奇偶性的几何特征 思考 下列函数图象中，关于y轴对称的有哪些？关于原点对称的呢？ 答案 答案 关于y轴对称，关于原点对称. 一般地，图象关于y轴对称的函数称为 函数，图象关于原点对称的 函数称为 函数. 偶 奇 知识点二 函数奇偶性的定义 思考1 为什么不直接用图象关于y轴(原点)对称来定义函数的奇偶性？ 答案 答案 因为很多函数图象我们不知道，即
2、使画出来，细微之处是否对 称也难以精确判断. 思考2 利用点对称来刻画图象对称有什么好处？ 答案 好处有两点：(1)等价：只要所有点均关于y轴(原点)对称，则图 象关于y轴(原点)对称，反之亦然. (2)可操作：要判断点是否关于y轴(原点)对称，只要代入解析式验证即 可，不知道函数图象也能操作. 答案 (1)偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内 一个x，都有 ， 那么函数f(x)就叫做偶函数.其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x)关于y轴的 对称点(x，f(x)也在f(x)图象上. (2)奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内 一个x，都有 ，那么函数f(x)就叫做奇函数.其实质是函数f
3、(x)上任一点(x， f(x)关于原点的对称点(x，f(x)也在f(x)图象上. 任意 f(x)f(x) f(x)f(x) 任意 函数奇偶性的概念： 知识点三 奇(偶)函数的定义域特征 思考 如果一个函数f(x)的定义域是(1,1，那这个函数f(x)还具有奇偶 性吗？ 答案 答案 由函数奇偶性定义，对于定义域内任一元素x，其相反数x必 须也在定义域内，才能进一步判断f(x)与f(x)的关系.而本问题中， 1(1,1，1(1,1，f(1)无定义，自然也谈不上是否与f(1)相等 了.所以该函数既非奇函数，也非偶函数. 返回 答案 一般地，判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域 是否关
4、于 对称. 原点 题型探究 重点难点 个个击破 类型一 如何证明函数的奇偶性 证明 因为它的定义域为x|xR且x1， 对于定义域内的1，其相反数1不在定义域内， 例 1 (1)证明 f(x)x 3x2 x1 既非奇函数又非偶函数； 解析答案 故 f(x)x 3x2 x1 既非奇函数又非偶函数. 解析答案 (2)证明f(x)(x1)(x1)是偶函数； 证明 函数的定义域为R， 因函数f(x)(x1)(x1)x21， 又因f(x)(x)21x21f(x)， 所以函数为偶函数. 解析答案 即该函数既是奇函数又是偶函数. (3)证明 f(x) 1x2 x21既是奇函数又是偶函数； 证明 定义域为1,1
5、，因为对定义域内的每一个 x，都有 f(x)0，所 以 f(x)f(x)，故函数 f(x) 1x2x21为偶函数. 又 f(x)f(x)，故函数 f(x)1x2x21为奇函数. 解析答案 证明 定义域为x|x0. 若x0，f(x)1，f(x)1， f(x)f(x)； 若x0，则x0，则x0. 解 xf(x)0即图象上横坐标、纵坐标同号. 结合图象可知，xf(x)0的解集是(2,0)(0,2). 反思与感悟 解析答案 跟踪训练 3 已知 f(x) x x21在0,1上单调递增，在1，)上递减.试 画出 f(x)的图象，并指出其单调区间. 返回 1 2 3 达标检测 4 5 答案 1.函数f(x)
6、0(xR)是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 D 1 2 3 4 5 2.函数 f(x)1 x的奇偶性是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 答案 A 1 2 3 4 5 3.函数f(x)x(1x1)的奇偶性是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 答案 C 1 2 3 4 5 4.已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(1)g(1)2，f(1)g(1) 4，则g(1)等于( ) A.4 B.3 C.2 D.1 答案 B 1 2 3 4 5 5.下列说法错误的个数是( )
7、图象关于原点对称的函数是奇函数； 图象关于y轴对称的函数是偶函数； 奇函数的图象一定过原点； 偶函数的图象一定与y轴相交； 既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)0(xR). A.4 B.3 C.2 D.0 答案 B 规律与方法 1.两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(x)f(x) f(x)f(x)0f(x)为奇函数；如果都有f(x)f(x)f(x)f(x)0 f(x)为偶函数. 2.两个性质：函数为奇函数它的图象关于原点对称；函数为偶函数 它的图象关于y轴对称. 3.证明一个函数是奇函数，必须对f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x) f(x).而证明一个函数不是奇函数，只要能举出一个反例就可以了. 返回
