1、 1 北京市东城区 2016-2017学年度第二学期高三综合练习（一） 数学 （文科） 本试卷共 5 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第卷 （选择题 共 40分） 一、选择题 (共 8小题 ， 每小题 5分 ， 共 40分 .在每小题 列 出的四个选项中 ，选出符合 题目要求的 一项 ) （ 1）如果 ? ?|0R? ? ?A x x ， ? ?0,1,2,3B? ， 那么 集合 ?BA? A.空集 B.?0 C.? ?0,1 D.? ?1,2,3 （ 2）某高校共有学生 3000 人，新进大一学
2、生有 800 人 现对大学生社团活动情况进行抽样调查，用分层抽样方法在全校抽取 300人，那么应在大一抽取的人数为 A.200 B.100 C.80 D.75 （ 3）如果 4log 1a? ， 2log 3b? ， 2logc ? ， 那么三个数的大小关系是 A.c b a? B.a c b? C.abc? D.b c a? （ 4） 如果过原点的直线 l 与圆 22( 4) 4xy? ? ? 切于第二 象限，那么直线 l 的方程是 A. 3yx? B. 3yx? C. 2yx? D. 2yx? （ 5）设函数 30()1 0 .2 x xfxxx?， ，若 ( ) 1fa? ，则实数 a
3、的 取值范围是 A.(0,2) B.(0, )? C.(2, )? D.( ,0)? (2,+)? （ 6） “ 0cossin ? ? ” 是 “ cos2 0? ” 的 A.充分 而 不必要条件 B.必要 而 不充分条件 C.充分 且 必要条件 D.既不充分也不必要 条件 2 （ 7） 如果 某四棱锥的三视图如图所示， 那么 该四棱锥的四个侧面中 是 直角三角形 的有 A.1 B.2 C.3 D.4 （ 8）如果函数 )(xfy? 在定义域内存在区间 , ba ，使 )(xf 在 , ba 上的值域是 2,2 ba ，那么称 )(xf 为“倍增函数” 若函数 )ln()( mexf x ?
4、 为“倍增函数”，则实数 m 的取值范围是 A. ),41( ? B. )0,21(? C. )0,1(? D. )0,41(? 第卷 （非 选择题 共 110分） 二、填空题 (共 6小题，每小题 5 分，共 30分 ) （ 9）如果 2( 1) ( 1)ixx? ? ? 是纯虚数， 那么 实数 x? （ 10）如果 执行如图所示的程序框图，那么输出的 k? _ （ 11） 如果直线 l： 1 ( 0)y kx k? ? ?与双曲线 22116 9xy?的 一条渐近线平 行，那么 k = _ （ 12） “ 墨子号 ” 是由我国完全自主研制的世界上第一颗空间量子科学实验卫星，于 2016年
5、8月 16 日发射升空 .“ 墨子号 ” 的主要应用目标是通过卫星中转实现可覆盖全球的量子保密通信 .量子通信是通过光子的偏振状态，使用二进制编码，比如，码元 0对应 光子偏振方向为水平或斜向下 45 度，码元 1对应光子偏振方向为垂直或斜向上 45度 .如下图所示 编码方式 1 编码方式 2 开始 结束 1k? k131m? ?1kk? 1 ?200m? 是 输出 k 否 3 码元 0 码元 1 信号发出后，我 们在接收端将随机选择两种编码方式中的一种来解码，比如，信号发送端如果按编码方式 1 发送，同时接收端按编码方式 1 进行解码，这时能够完美解码；信号发送端如果按编码方式 1发送，同时
6、接收端按编码方式 2进行解码，这时无法获取信息 .如果发送端发送一个码元，那么接收端能够完美解码的概率是 _；如果发送端发送 3 个码元，那么恰有两个码元无法获取信息的概率是 _. （ 13） 已知 ABC? 中， =120A?，且 2AB AC?，那么 BC? _， BCCA? _ （ 14）已知甲、乙、丙三人组成考察小组，每个组员最多可以携带供本人在沙漠中生存 36天的水和食物，且计划每天向沙漠深处走 30公里，每个人都可以在沙漠中将部分水和食物交给其他人然后独自返回 . 若组员甲与其他两个人合作，且要求三个人都能够安全返回，则甲最远能深入沙漠_公里 . 三、解答题 (共 6小题，共 80
7、分 .答应写出文字说明，演算步骤或 证明过程 ) （ 15）（本小题 13分） 已知点 )1,4(? 在函 数 ( ) 2 s in c o s c o s 2f x a x x x?的图象上 . ( ) 求 a 的值和 ()fx最小正周期； ( ) 求 函数 ()fx在 (0,? 上 的单 调减区间 . （ 16）（本小题 13分） 已知数列 na 是等差数列，前 n 项和为 nS ， 若 139, 21aS? （）求数列 na 的通项公式； 4 （）若 58, ka a S， 成等比数列，求 k 的 值 （ 17）（本小题 14分） 如图，在四棱锥 P ABCD? 错误 !未指定书签。 中
8、，四边形 ABCD 错误 !未指定书签。 是平行四边形， AD BD? 错误 !未指定书签。 且 =ADBD 错误 !未指定书签。 ， AC BD O? 错误 !未指定书签。 , PO? 平面 ABCD . （ I） E 为棱 PC 的中点，求证： /OE 平面 PAB ； （ II）求证： 平面 PAD? 错误 !未指定书签。 平面 PBD 错误 !未指定书签。 ； (III) 若 PD PB? ， =2AD 错误 !未指定书签。 ,错误 !未指定书签。 求四棱锥 P ABCD? 错误 !未指定书签。 的体积 . （ 18）（本小题 13分） 某校学生在进行“南水北调工程对北京市民的影响”的
9、项目式学习活动中，对某居民小区进行用水情况随机抽 样调查，获得了该小区 400位居民某月的用水量数据（单位：立方米），整理得到如下数据分组及频数分布表和频率分布直方图： 组号 分组 频数 1 0.5,1） 20 2 1,1.5） 40 3 1.5,2） 80 4 2,2.5） 120 5 2.5,3） 60 6 3,3.5） 40 7 3.5,4） 20 8 4,4.5） 20 （）求 a,b的值； （）从该小区随机选取一名住户，试估计这名住户一个月用水量小于 3立方米的概率； （）若小区人均月用水量低于某一标准，则称A B C D P O 5 A B C D O F1 x y F2 E 该
10、小区为“节水小区” .假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，经过估算，该小区未达到“节水小区”标准，而且该小区居民月用水量不高于这一标准的比例为 65%，经过同学们的节水宣传，三个月后，又进行一次同等规模的随机抽样调查，数据如右图所示，估计这时小区是否达到“节水小区”的标准？并说明理由 . （ 19）（本小题 13分） 已知椭圆 22: 1 ( 0 )? ? ? ?xyW a bab 的左右两个焦点为 12,FF， 且 122FF? ， 椭圆上一动点 P 满足1223PF PF? （）求椭圆 W 的标准方程及离心率； （）如图，过点 1F 作直线 1l 与椭圆 W 交于点 ,AC，过点
11、 2F 作 直线 21ll? ，且 2l 与椭圆 W 交于点,BD， 1l 与 2l 交于点 E ， 试求四边形 ABCD 面积的最大值 . （ 20）（本小题 14分） 设函数 axxxxf ? 23 2131)( ， Ra? () 若 2?x 是 )(xf 的极值点，求 a 的值，并讨论 )(xf 的单调性； () 已知函数 3221)()( 2 ? axxfxg ，若 )(xg 在区间 )1,0( 内有零点，求 a 的取值范围； () 设 )(xf 有两个极值点 1x ， 2x ，试讨论过两点 )(,( 11 xfx ， )(,( 22 xfx 的直线能否过点 )1,1( ，6 若能，求
12、 a 的值；若不能，说明理由 北京市东城区 2016-2017学年第二 学期高三综合练习（一） 数学（文科）参考答案 一、选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分） （ 1） D （ 2） C （ 3） A （ 4） B （ 5） B （ 6） A （ 7） D （ 8） D 二、填空题（本大题共 6小题 ，每小题 5分，共 30分） （ 9） ?1 （ 10） 5 （ 11） 34 （ 12） 12 ， 38 （ 13） 23， ?6 （ 14） 810 注：两个空的填空题第一个空填对得 3分，第二个空填对得 2分 三、解答题（本 大题共 6小题，共 80分） （ 15） （共 1
13、3分） 解 :( ) 点 ( ,1)4 在函数 ()fx的图象上， ( ) = 2 s i n c o s c o s 14 4 4 2 fa? ? ?. ? 1.a? 7 ( ) 2 sin c o s c o s 2sin 2 c o s 22 sin( 2 )4f x x x xxxx? ? ?T ?. -6分 ( )由 32 2 22 4 2k x k? ? ? ? ? ? ? , 得 52 2 244k x k? ? ? ? ?, 588k x k? ? ? ? ? ? ?函数 ()fx的单调减区间为 5, ( ) .88k k k Z? ? ? ? ? ?函数 ()fx在 (0,?
14、 上 的单 调减区间为 5,.88? - 13分 （ 16）（共 13分） 解：（） 等差数列 na 中， 139, 21aS?, 13 3 21ad? ? ? . 97d? ? ? . 2.d? ?数列 na 的通项公式为 2 11nan? ? . -6分 （ ） 数列 na 是等差数列 , 1=9 2ad?， , ? 2 10nS n n? ? . ? 2-k 10kSk?. 2 11nan? ? , 8 ? 15?a ， 8 5a? 58ka a S， ， 成等比数列 ， ? 285ka a S? ? 225 10kk? ? ? ?（ ） . 即 2 10 25 0kk? ? ?， 解得
15、 5k? . -13分 （ 17） （共 14分） 解：（ I） 因为 O 是平行四边形 ABCD 对角线交点，所以 O 为 AC 中点 又 E 为棱 PC 中点，所以 /OE PA 因为 OE? 平面 PAB ， PA? 平面 PAB ， 所以 /OE 平面 PAB ? 5分 （ II） 因为 PO ABCD?面 ， 所以 PO AD? 又 BD AD? ， BD PO O?， 所以 AD PBD?面 因为 AD PAD?面 ， 所以 PAD PBD?面 面 ? 10 分 （ III）因为 O 是平行四边形 ABCD 对角线交点，所以 O 为 BD 中点 又 PD PB? ， 2AD BD?
16、，可求得 1 12PO BD? 因为 PO ABCD?面 ，所以 13P ABCD ABCDV S PO? ?12 2 2 2 42A B C D A B DSS ? ? ? ? ? ?所以 1 1 4413 3 3P A B C D A B C DV S P O? ? ? ? ? ?四 边 形? 14 分 9 （ 18） （共 13分） 解答： （）由数据分组及频数分布表可知， 404000.20.5a?；1204000.60.5b? ?4 分 （）设这名住户一个月用水量小于 3立方米为事件 A，那么 2 0 4 0 8 0 1 2 0 6 0( ) 0 . 8400PA ? ? ? ? ?8分 （）因为该
