1、上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 阶阶 段段 一一 阶阶 段段 二二 阶阶 段段 三三 学学 业业 分分 层层 测测 评评 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算(重点) 2会运用向量坐标运算求解与向量垂直、夹角等相关问题(难点) 3分清向量平行与垂直的坐标表示(易混点) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 基础 初探 教材整理 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 阅读教材 P106“探究”以下至 P107例 6 以上内容，完成下列问题 1平面向量数量积的坐标表示： 设向量 a(x1，y1)
2、，b(x2，y2)，a 与 b 的夹角为 . 数量积 a b_ 向量垂直 ab_ x1x2y1y2 x1x2y1y20 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 2.向量模的公式：设 a(x1，y1)，则|a|_ 3 两 点 间 的 距 离 公 式 ： 若A(x1， y1) ， B(x2， y2) ， 则 AB _ 4向量的夹角公式：设两非零向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，a 与 b 夹角 为 ，则 cos a b |a| |b| x1x2y1y2 x2 1y 2 1 x2 2y 2 2. x2 1y 2 1 （x2x1）2（y2y1）2 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 判
3、断(正确的打“”，错误的打“”) (1)两个非零向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，满足 x1y2x2y10，则向量 a， b 的夹角为 0 度( ) (2)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和( ) (3)若两个向量的数量积的坐标和小于零，则两个向量的夹角一定为钝 角( ) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【解析】 (1).因为当 x1y2x2y10 时，向量 a，b 的夹角也可能为 180 . (2).由向量数量积定义可知正确 (3).因为两向量的夹角有可能为 180. 【答案】 (1) (2) (3) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 质疑 手记 预习完成后
4、，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 小组合作型 平面向量数量积的坐标运算 (1)(2016 安溪高一检测)已知向量 a(1，2)，b(2，x)，且 a b 1，则 x 的值等于( ) A1 2 B 1 2 C3 2 D 3 2 (2)已知向量 a(1， 2)， b(3， 2)， 则 a b_， a (ab)_. (3)已知 a(2，1)，b(3，2)，若存在向量 c，满足 a c2，bc5， 则向量 c_. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【精彩点拨】 根据题目中已知的条
5、件找出向量坐标满足的等量关系，利 用数量积的坐标运算列出方程(组)来进行求解 【自主解答】 (1)因为 a(1，2)，b(2，x)， 所以 a b(1，2) (2，x)122x1，解得 x3 2. (2)a b(1，2) (3，2)(1)3221， a (ab)(1，2) (1，2)(3，2)(1，2) (4，0)4. (3)设 c(x，y)，因为 a c2，bc5， 所以 2xy2， 3x2y5，解得 x9 7， y4 7， 所以 c 9 7， 4 7 . 【答案】 (1)D (2)1 4 (3) 9 7， 4 7 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1进行数量积运算时，要正确使用公式
6、 a bx1x2y1y2，并能灵活运用以 下几个关系： |a|2a a；(ab)(ab)|a|2|b|2； (ab)2|a|22a b|b|2. 2通过向量的坐标表示可实现向量问题的代数化，应注意与函数、方程等 知识的联系 3向量数量积的运算有两种思路：一种是向量式，另一种是坐标式，两者 相互补充 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 再练一题 1 设向量 a(1， 2)， 向量 b(3， 4)，向量 c(3， 2)，则向量(a2b) c ( ) A(15，12) B0 C3 D11 【解析】 依题意可知，a2b(1，2)2(3，4)(5，6)，(a 2b) c(5，6) (3，2)536
7、23. 【答案】 C 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 向量的模的问题 (1)(2016 莱州期末)设平面向量 a(1，2)，b(2，y)，若 ab， 则|2ab|等于( ) A4 B5 C3 5 D4 5 (2)已知向量 a(1， 2)， b(3， 2)， 则|ab|_， |ab|_. 【精彩点拨】 (1)两向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)共线的坐标表示：x1y2 x2y10. (2)已知 a(x，y)，则|a| x2y2. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【自主解答】 (1)由 y40 知 y4，b(2，4)， 2ab(4，8)，|2ab|4 5.故选 D (2)
8、由题意知，ab(2，4)，ab(4，0)， 因此|ab| （2）2422 5，|ab|4. 【答案】 (1)D (2)2 5 4 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 向量模的问题的解题策略： (1)字母表示下的运算， 利用|a|2a2将向量模的运算转化为向量的数量积的 运算 (2)坐标表示下的运算，若 a(x，y)，则|a| x2y2. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 再练一题 2已知向量 a(2x3，2x)，b(3x，2x)(xR)，则|ab|的取值范 围为_. 【导学号：00680057】 【解】 ab(x，x2)， |ab| x2（x2）2 2x24x4 2（x1）22
9、2， |ab| 2，) 【答案】 2，) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 探究共研型 向量的夹角与垂直问题 探究 1 设 a，b 都是非零向量，a(x1，y1)，b(x2，y2)， 是 a 与 b 的夹 角，那么 cos 如何用坐标表示？ 【提示】 cos a b |a|b| x1x2y1y2 x2 1y 2 1 x 2 2y 2 2. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 探究 2 已知 a(1，1)，b(，1)，当 a 与 b 的夹角 为钝角时， 的 取值范围是什么？ 【提示】 a(1，1)，b(，1)， |a| 2，|b| 12，a b1. a，b 的夹角 为钝角， 10
10、且 a，b 不同向由 a b 2k0 得 k2， 且 k1 2， 即实数 k 的取值范围是 2，1 2 1 2， ， 选 B 【答案】 B (2)amb(32m，4m)，ab(1，5)，因为(amb)(ab)，所以(a mb) (ab)0， 即(32m)1(4m)50，所以 m23 3 . 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤： (1)求向量的数量积利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量 积 (2)求模利用|a| x2y2计算两向量的模 (3)求夹角余弦值由公式 cos x1x2y1y2 x2 1y 2 1 x 2 2y 2 2求夹角余弦值
11、(4)求角由向量夹角的范围及 cos 求 的值 2涉及非零向量 a、b 垂直问题时，一般借助 ababx1x2y1y20 来解决 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 再练一题 3已知 a(1，2)，b(1， )，分别确定实数 的取值范围，使得：(1)a 与 b 的夹角为直角；(2)a 与 b 的夹角为钝角；(3)a 与 b 的夹角为锐角 【解】 设 a 与 b 的夹角为 ， 则 a b(1，2) (1，)12. (1)因为 a 与 b 的夹角为直角，所以 cos 0，所以 a b0，所以 120， 所以 1 2. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 (2)因为 a 与 b 的夹角为
12、钝角， 所以 cos 0 且 a，b 不同向 由 a b0， 得 1 2， 由 a 与 b 同向得 2， 所以 的取值范围为 1 2，2 (2，) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 构建 体系 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1已知 a(1，1)，b(2，3)，则 a b( ) A5 B4 C2 D1 【解析】 a b(1，1) (2，3)12(1)31. 【答案】 D 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 2已知 a(2，1)，b(x，2)，且 ab，则 x 的值为( ) A1 B0 C1 D2 【解析】 由题意，a b(2，1) (x，2)2x20，解得 x1.故 选
13、 A 【答案】 A 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 3 (2016 邢台期末)平行四边形 ABCD 中， AB (1， 0)， AC (2， 2)， 则AD BD 等于( ) 【导学号：00680058】 A4 B2 C2 D4 【解析】 AD BD (AC AB ) (AC 2AB ) AC2 2AB2 3AC AB 82324.故选 D 【答案】 D 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 4已知 a(3，4)，则|a|_. 【解析】 因为 a(3，4)，所以|a| 32（4）25. 【答案】 5 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 5已知向量 a(3，1)，b(1，2)， 求：(1)a b；(2)(ab)2；(3)(ab) (ab) 【解】 (1)因为 a(3，1)，b(1，2)， 所以 a b31(1)(2)325. (2)ab(3，1)(1，2)(4，3)， 所以(ab) 2|ab|242(3)225. (3)ab(3，1)(1，2)(4，3)， ab(3，1)(1，2)(2，1)， (ab) (ab)(4，3) (2，1)835. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 我还有这些不足： (1) (2) 我的课下提升方案： (1) (2) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 学业分层测评学业分层测评 点击图标进入点击图标进入
