1、上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 巩巩 固固 层层 知知 识识 整整 合合 拓拓 展展 层层 链链 接接 高高 考考 章末分层突破章末分层突破 提提 升升 层层 能能 力力 强强 化化 章章 末末 综综 合合 测测 评评 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 自我校对 加法 减法 实数与向量的积 向量的数量积 垂直 平行 长度 夹角 平行 垂直 合成与分解 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 平面向量的线性运算 1.向量的加法、减法和向量数乘的综合运算通常叫作向量的线性运算 2向量线性运算的结
2、果仍是一个向量因此对它们的运算法则、运算律的 理解和运用要注意大小、方向两个方面 3向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向 量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线问题、共点问题 4题型主要有证明三点共线、两线段平行、线段相等、求点或向量的坐标 等 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 如图 21，在ABC 中，点 M 是 AB 边的中点，E 是中线 CM 的 中点，AE 的延长线交 BC 于 F.MHAF 交 BC 于 H.求证：HF BH FC . 图 21 【精彩点拨】 选择两不共线向量作基底，然后用基底向量表示出HF 、BH 与FC 即可证得 上
3、一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【规范解答】 设BM a，MH b， 则BH ab， HF HB BA AF BH 2BM 2MH ab2a2bab， FC FE EC 1 2HM ME 1 2MH MA AE 1 2bBM AF EF 1 2ba2MH 1 2MH 1 2ba2b 1 2bab. 综上，得HF BH FC . 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 再练一题 1.如图 22， 平行四边形 ABCD 中， 点 M 在 AB 的延长线上， 且 BM1 2AB， 点 N 在 BC 上，且 BN1 3BC，求证：M、N、D 三点共线. 【导学号：00680063】 图 22
4、 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【证明】 设AB e1，AD e2， 则BC AD e2， BN 1 3e2，BM 1 2AB 1 2e1， MN BN BM 1 3e2 1 2e1， 又MD AD AM e23 2e13 1 3e2 1 2e1 3MN ， 向量MN 与MD 共线， 又 M 是公共点， 故 M、N、D 三点共线 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 平面向量的数量积 平面向量的数量积是由物理问题中的做功问题引入的，向量数量积的结果 是一个数量，根据定义式可知，当向量夹角为锐角、钝角和直角时，其结果分 别为正值、负值和零，零向量与任何一个向量的数量积均为零平面向
5、量的数 量积是向量的核心内容，通过向量的数量积考查向量的平行、垂直等关系，利 用向量的数量积可以计算向量的夹角和长度 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 非零向量 a，b 满足(ab)(2ab)，(a2b)(2ab)，求 a、b 的夹角的余弦值 【精彩点拨】 由(ab)(2ab)，(a2b)(2ab)列出方程组 求出|a|2、|b|2、a b的关系利用夹角公式可求 【规范解答】 由 2|a|2|b|2a b0， 2|a|22|b|23a b0， 解得 |a|25 2a b， |b|24a b， 所以|a|b| 10a b， 所以 cos a b |a| |b| 10 10 . 上一页上一
6、页返回首页返回首页下一页下一页 再练一题 2.如图 23 所示，在平行四边形 ABCD 中，APBD，垂足为 P，且 AP 3，则AP AC _ 图 23 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【解析】 AP AC AP (AB BC ) AP AB AP BC AP AB AP (BD DC ) AP BD 2AP AB ， APBD，AP BD 0. AP AB |AP |AB |cosBAP|AP |2， AP AC 2|AP |22918. 【答案】 18 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 向量的坐标运算 1向量的坐标表示实际上是向量的代数表示引入向量的坐标表示后，向 量的
7、运算完全化为代数运算，实现数与形的统一 2向量的坐标运算是将几何问题代数化的有力工具，它是转化思想、函数 与方程、分类讨论、数形结合等思想方法的具体体现 3通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模、夹角判断共线、 平行、垂直等问题 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 已知向量AB (4，3)，AD (3，1)，点 A(1，2) (1)求线段 BD 的中点 M 的坐标； (2)若点 P(2，y)满足PB BD (R)，求 y 与 的值 【精彩点拨】 (1)先求 B、D 点的坐标，再求 M 点坐标； (2)由向量相等转化为 y 与 的方程求解 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页
8、【规范解答】 (1)设点 B 的坐标为(x1，y1) AB (4，3)，A(1，2)， (x11，y12)(4，3)， x114， y123， x13， y11， B(3，1) 同理可得 D(4，3) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 设线段 BD 的中点 M 的坐标为(x2，y2)， 则 x234 2 1 2， y213 2 1， M 1 2，1 . 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 (2)由已知得PB (3，1)(2，y)(1，1y)， BD (4，3)(3，1)(7，4) 又PB BD ， (1，1y)(7，4)， 则 17， 1y4， 1 7， y3 7. 上一页上一页
9、返回首页返回首页下一页下一页 再练一题 3已知ABC 中，A(2，1)，B(3，2)，C(3，1)，BC 边上的高为 AD， 求AD . 【解】 设 D(x，y)，则AD (x2，y1)， BD (x3，y2)，BC (6，3)， AD BC ，AD BC 0， 则有6(x2)3(y1)0， BD BC ，则有3(x3)6(y2)0， 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 解由构成的方程组得 x1， y1， 则 D 点坐标为(1，1)， 所以AD (1，2) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 平面向量的应用 1向量在平面几何中的应用，向量的加减运算遵循平行四边形法则或三角 形法则，
10、数乘运算和线段平行之间、数量积运算和垂直、夹角、距离问题之间 联系密切，因此用向量方法可以解决平面几何中的相关问题 2向量在解析几何中的应用，主要利用向量平行与垂直的坐标条件求直线 的方程 3在物理中的应用，主要解决力向量、速度向量等问题 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 如图 24 所示，P 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点，四边形 PECF 是矩形，求证： 图 24 (1)PAEF； (2)PAEF. 【精彩点拨】 可分别以 BC，BA 所在直线为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标 系后，用坐标法来证明 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【规范解答】 (1)建立如图
11、所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为 1， |BP |， 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 则 A(0，1)，P 2 2 ， 2 2 ，E 1， 2 2 ，F 2 2 ，0 ， PA 2 2 ，1 2 2 ， EF 2 2 1， 2 2 . 因为|PA |2 2 2 2 1 2 2 22 21， |EF |2 2 2 1 2 2 2 22 21， 所以|PA |2|EF |2，故 PAEF. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 (2)因为PA EF 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 0， 所以PA EF ，故 PAEF. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 再练一题
12、 4已知三个点 A(2，1)，B(3，2)，D(1，4) (1)求证：ABAD； (2)要使四边形 ABCD 为矩形， 求点 C 的坐标， 并求矩形 ABCD 的两对角线 所夹的锐角的余弦值 【解】 (1)证明：A(2，1)，B(3，2)，D(1，4)， AB (1，1)，AD (3，3)， AB AD 1(3)130， AB AD ，即 ABAD 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 (2)四边形 ABCD 为矩形， AB AD ，AB DC . 设 C 点的坐标为(x，y)， 则AB (1，1)，DC (x1，y4)， x11， y41，解得 x0， y5，C 点的坐标为(0，5) 上
13、一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 从而AC (2，4)，BD (4，2)， |AC |2 5，|BD |2 5，AC BD 8816. 设AC 与BD 的夹角为 ， 则 cos AC BD |AC |BD | 16 20 4 5， 矩形 ABCD 的两条对角线所夹的锐角的余弦值为4 5. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 数形结合思想 平面向量的线性运算和数量积运算的定义及运算法则、运算律的推导中都 渗透了数形结合思想向量的坐标表示的引入，使向量运算完全代数化，将数 和形紧密地结合在一起 运用数形结合思想可解决三点共线， 两条线段(或射线、 直线)平行、垂直，夹角、距离、面积等问
14、题 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 如图25所示， 以ABC的两边AB， AC为边向外作正方形ABGF， ACDE，M 为 BC 的中点，求证：AMEF. 图 25 【精彩点拨】 要证 AMEF，只需证明AM EF 0.先将AM 用AB ，AC 表 示，将EF 用AE ，AF 表示，然后通过向量运算得出AM EF 0. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【规范解答】 因为 M 是 BC 的中点， 所以AM 1 2(AB AC )， 又EF AF AE ， 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 所以AM EF 1 2(AB AC ) (AF AE ) 1 2(AB AF A
15、C AF AB AE AC AE ) 1 2(0AC AF AB AE 0) 1 2(AC AF AB AE ) 1 2|AC |AB |cos(90BAC) |AB |AC |cos(90BAC)0， 所以AM EF ，即 AMEF. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 再练一题 5.如图 26，在平面直角坐标系 xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0， 1)，此时圆上一点 P 的位置在(0，0)，圆在 x 轴上沿正向滚动当圆滚动到圆心 位于(2，1)时，OP 的坐标为_ 图 26 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【解析】 设 A(2，0)，B(2，1)，由题意知劣弧PA
16、 长为 2，ABP2 12. 设 P(x，y)，则 x21cos 2 2 2sin 2，y11sin 2 2 1 cos 2， OP 的坐标为(2sin 2，1cos 2) 【答案】 (2sin 2，1cos 2) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1(2015 全国卷)向量 a(1，1)，b(1，2)，则(2ab) a( ) A1 B0 C1 D2 【解析】 法一：a(1，1)，b(1，2)，a22，a b3， 从而(2ab) a2a2a b431. 法二：a(1，1)，b(1，2)， 2ab(2，2)(1，2)(1，0)， 从而(2ab) a(1，0) (1，1)1，故选 C 【答
17、案】 C 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 2(2015 四川高考)设四边形 ABCD 为平行四边形，|AB |6，|AD |4.若点 M，N 满足BM 3MC ，DN 2NC ，则AM NM ( ) 【导学号：00680064】 A20 B15 C9 D6 【解析】 如图所示，由题设知： 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 AM AB BM AB 3 4AD ， NM 1 3AB 1 4AD ， AM NM AB 3 4AD 1 3AB 1 4AD 1 3|AB |2 3 16|AD |21 4AB AD 1 4AB AD 1 336 3 16169. 【答案】 C 上一页上一
18、页返回首页返回首页下一页下一页 3(2014 江苏高考)如图 27，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB8，AD 5，CP 3PD ，AP BP 2，则AB AD 的值是_ 图 27 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【解析】 由题图得，在三角形 ADP 中， AP AD DP AD 1 4AB ， 在三角形 BPC 中，BP BC CP BC 3 4CD AD 3 4AB ， 所以AP BP AD 1 4AB AD 3 4AB AD2 1 2AD AB 3 16AB 2 2， 即 251 2AD AB 3 16642，AD AB 22. 【答案】 22 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 章末综合测评（二）章末综合测评（二） 点击图标进入点击图标进入
