1、2.4.2 抛物线的简单几何性质(2) 2.4 抛物线 利用探照灯、汽车前灯的反光曲面等生活中的实物进行新 课导入。在前一节课学习抛物线的基础上，继续学习抛物线 的通径和焦半径，直线与抛物线的位置关系等等. 激发学生的 数学应用意识. 运用类比的思想，类比椭圆、双曲线的性质学习抛物线 的通径和焦半径，直线与抛物线的位置关系例1是关于抛物 线的证明问题；例2是探寻直线与抛物线的交点个数问题，运 用根的判别式法；例3运用了设而不求和点差法。 方程 图 形 范围 对称性 顶点 离心率 y2 = 2px （p0） y2 = -2px （p0） x2 = 2py （p0） x2 = -2py （p0）
2、l F y x O l F y x O l F y x O x0 yR x0 yR xR y0 y0 xR l F y x O 关于关于x轴对称轴对称 关于关于x轴对称轴对称 关于关于y轴对称轴对称 关于关于y轴对称轴对称 （0,0） e=1 探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、太阳灶的镜面 都是抛物镜面。 抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。 灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变成了平行光束， 这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的设计原理。 平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都经过抛物线的 焦点，这就是太阳灶能把光能转化为热能的理论依据。 抛物线的通径和焦半径
3、抛物线的通径和焦半径 1.通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线 相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线 的通径。 |PF|=x0+p/2 x O y F P 通径的长度：2P P越大越大,开口越开阔开口越开阔 2.连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。 焦半径公式： ),( 00 yx 下面请大家推导出其余三种标准方程抛物线的焦半径公式。下面请大家推导出其余三种标准方程抛物线的焦半径公式。 x y O 3.相交（一个交点，两个交点）. 直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系 问题1：直线与抛物线有怎样的位置关系？ 1.相离； 2.相切； 与双曲线的与双曲线的 情况一致情况一致
4、 把直线方程代入抛物线方程 得到一元一次方程 得到一元二次方程 直线与抛物线的 对称轴平行（重合） 相交（一个交点） 计 算 判 别 式 0 =0 0)上，求这个正三角形的边长上，求这个正三角形的边长 分析：如图，设正三角形OAB的顶点A，B 在抛物线上， 且它们的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)， 则 2px1， 2px2， 2 1 y 2 2 y 又|OA|OB|，所以x 2 1y 2 1x 2 2y 2 2， 即x 2 1x 2 22px12px20， 所以(x1x2)(x1x22p)0， 因为 x10，x20,2p0，所以 x1x2， 由此可得|y1|y2|，即线段AB关于x轴
5、对称 由于AB垂直于x轴，且AOx30， 所以y 1 x1tan30 3 3 ，而y 2 12px1， 所以y12 3p， 于是|AB|2y14 3p. 故这个正三角形的边长为 4 3p. 本题利用了抛物线与正 三角形有公共对称轴这一 性质，但往往会直观上承 认而忽略了它的证明 A 3.3.（20132013北京高考）直线北京高考）直线 l 过抛物线过抛物线C C: :x x 2 2=4 =4y y 的焦的焦 点且与点且与y y轴垂直，则轴垂直，则 l 与与C C所围成的图形的面积等所围成的图形的面积等于（于（ ） A.A. 4 3 B.2 C.B.2 C. 8 3 D.D. 6 2 3 2
6、2过抛物线过抛物线y y2 28 8x x的焦点的焦点，作倾斜角为作倾斜角为4545的直线的直线， 则被抛物线截得的弦长为则被抛物线截得的弦长为( ( ) ) A A8 8 B B1616 C C3232 D D6161 B C 直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线有三种位置关系:相交、相切、相离. 相交:直线与抛物线交于两个不同点,或直线与抛物线 的对称轴平行(重合); 相切:直线与抛物线有且只有一个公共点,且直线与抛物线 的对称轴不平行(重合); 相离:直线与抛物线无公共点. 直线与抛物线的位置关系的判断直线与抛物线的位置关系的判断. . 把直线方程代入抛物线方程 得到一元一次方程 得到一元二次方程 直线与抛物线的 对称轴平行（重合） 相交（一个交点） 计 算 判 别 式 0 =0 0 相交 相切 相离 课后练习 课后习题
