1、2.4.1 抛物线及其标准方程 2.4 抛物线 本节课主要学习抛物线的定义与方程. 通过动画展 示生活中的抛物线，培养学生善于观察，热爱生活的 良好品质，同时激发了学生探索新知的欲望，充分调 动学生学习的积极性和主动性. 运用类比的思想，类比椭圆和双曲线标准方程的 建立，学习抛物线的方程例1和例2是探讨抛物线的 焦点坐标及标准方程的求法。例2是求通风塔的形状 双曲线方程, 帮助学生理解。 演示现实中抛物线的形成演示现实中抛物线的形成 抛物线的生活实例 飞机投弹飞机投弹 生活中存在着各种形式的抛物线 二次函数二次函数 2 (0)yaxbxc a的图象是一条的图象是一条 抛物线，那么，抛物线抛物线
2、，那么，抛物线到底到底有有怎样的怎样的几何特征几何特征? ? 如图，点F是定点,L是不经过点F的定直线。H是L上任意一点， 过点H作MHL,线段FH的垂直平分线m交MH于点M.拖动点H，观 察点M 的轨迹，你能发现点M满足的几何条件吗？ L M F H 抛物线的定义 几何画板演示抛物线几何画板演示抛物线 的标准方程的标准方程 动画演示抛物线的标准方程动画演示抛物线的标准方程 C M F l H 在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不 经过点F)的距离相等距离相等的点的轨迹叫抛物线抛物线. 点F叫抛物线的焦点, 直线l 叫抛物线的准线. d 为为 M 到到 l 的距离的距离 准线 焦点 d
3、抛物线的定义: 那么如何建立坐标系,使抛物线的方程更简单, 其标准方程形式怎样? 即：若| MF |=d,则点M的轨迹是抛物线。 l . F M d . xoy Flx F 如图，以过 点且垂直于直线 的直线为 轴，垂足为K 以线段 K的中点为坐标原点，建立直角坐标系. x O y K (,0),: 22 pp Fl x = -则焦点准线 抛物线的标准方程抛物线的标准方程 22 222 44 pp xpxyxpx 2 2,(0)ypxp 解：设|FK|=p(p0),M(x,y) 由抛物线定义知：|MF|=d 22 ()| 22 pp xyx 即：即： 把方程 y2 = 2px（p0） 叫做抛物
4、线的标准方程 而而p 的几何意义是的几何意义是: : 焦点到准线的距离 K O l F x y . 在学习椭圆和双曲线的时候，由于在坐标平面 内的焦点位置不同，导致方程不同。同样抛物线焦 点位置不同，方程也会有所不同。 总结： (,0),: 22 pp Fl x 则焦点准线 y2=-2px (p0) x2=2py (p0) 准线方程 焦点坐标 标准方程 图 形 x F O O y l l x F O O y l l x F O O y l l x F F O O y l l y2=2px (p0) )0, 2 p ( 2 p x )0, 2 p ( 2 p x ) 2 p 0( ， 2 p y
5、 x2=-2py (p0) ) 2 p 0(， 2 p y P的意义:抛物线的 焦点到准线的距 离 方程的特点: (1)左边是二次式, (2)右边是一次式. 四种抛物线的对比四种抛物线的对比 思考： 如何通过方程确定 抛物线的焦点位置 和开口方向？ 例1 已知抛物线的标准方程是y2 = 6x， 求它的焦点坐标和准线方程； 解: 2P=6,P=3 抛物线的焦点坐标是（ ，0） 准线方程是x= 2 3 2 3 K O l F x y . 练习1：求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： （1）y2 = 20x （2）x2= y （3）2y2 +5x =0 （4）x2 +8y =0 2 1 焦点坐标 准线
6、方程 (1) (2) (3) (4) （5，0） x= -5 （0，） 1 8 y= - 1 8 8 x= 5 （- ，0） 5 8 （0，-2） y=2 你能说明二次函数 的图象为什么是 抛物线吗？指出它的焦点坐标、准线方程。 2 (0)yaxa 22 1 (0)yaxaxy a 11 0) 44aa 焦点（ ，准线y=- 当当a0a0时与当时与当a0a0时，结论都为时，结论都为： 1 2p a 思考: 例2.已知抛物线的焦点是F（0，-2），求它的标准方程。 解：因为抛物线的焦点在y轴的负半轴上， 且 =2，p=4. 所以，所求抛物线的标准方程是 2 p 2 8xy 1.抛物线 上一点M到
7、焦点距离是 ，则点M到准线的距离是_,点M的横坐标是 _; 2.抛物线 上与焦点的距离等于9的点的坐标是 _. 2 2(0)ypx p() 2 p a a 2 12yx a 2 p a (6,6 2),(6, 6 2) 变式训练 例3：一种卫星接收天线如下图所示。卫星波束呈近似平 行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦 点处。已知接收天线的径口（直径）为4.8m，深度为0.5m 。建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。 y x B F A o . 解：如图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系 ，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合。 2 2.420.5p
8、2 2(0)px p y 设抛物线的标准方程是 ，由已知条件 (0.5,2.4) 可得，点A的坐标是 ，代入方程，得 5.76p 即即 (2.88,0) 2 11.52x y 所以，所求抛物线的标准方程是所以，所求抛物线的标准方程是 ，焦点的坐标是，焦点的坐标是 y x B F A o . 根据下列条件写出抛物线的标准方程： (1)焦点是F(3,0) (2)准线方程是 (3)焦点到准线的距离是2. 1 4 x 2 12yx 2 yx 2222 4 ,4 ,4 ,4 .yx yx xy xy 3.抛物线的标准方程类型与图象特征的对应关系 及判断方法 2.抛物线的四种标准方程与其焦点、准线方程 4.注重数形结合的思想 1.抛物线的定义 5.注重分类讨论的思想 课后练习 课后习题
