1、第二章第二章 推理与证明推理与证明 2.2.1 2.2.1 综合法与分析法综合法与分析法 1、了解综合法的思考过程、特点了解综合法的思考过程、特点,会用综合法证会用综合法证 明题目明题目. 2、了解分析法的分析思路了解分析法的分析思路,会用分析法证明题目会用分析法证明题目. 3、能用分析法分析证题思路能用分析法分析证题思路,用综合法书写证明用综合法书写证明 过程过程. 应用应用: 1 1、证明不等式、证明不等式 2 2、证明等式、证明等式 内容：内容： 本课主要学习综合法与分析法。通过两个引例出发,引入综合 法与分析法,通过对比掌握它们证题的特点,并总结出它们之间的 区别与联系,为在实际问题中
2、分析问题寻找解题方法做好铺垫.重 点:会用综合法和分析法证明问题;了解综合法与分析法的思考过 程.难点:根据问题的特点,结合综合法与分析法的思考过程、特点 ,选择适当的证明方法. 本课选用了两个例题。例题设置难易适度,每个例题后有针对 性的练习,便于学生巩固和掌握,且第一个例题与变式训练分别用 分析法和综合法来证明,让学生真正体会两种方法的优点与作用， 另外,第二个例题可以用综合法，也可以用分析法,从而锻炼学生 灵活应用方法解决问题的能力.采用一讲一练针对性讲解的方式， 重点理解综合法与分析法的应用。 通过观看视频，大家一起讨论一下我们应该 如何测的恒星之间的距离呢？ 如何测的恒星之间的距离
3、复习复习 推 理 合情推理 （或然性推理） 演绎推理 （必然性推理） 归纳 (特殊到一般） 类比 （特殊到特殊） 三段论 （一般到特殊） 合情推理是 发现 的方法， 演绎推理是数学中严 格 证明 的工具 . 怎样用演绎推理来证明呢？这是要讲究方法的 . 今天 , 我们就来认识一些基本的证明方法 合情推理得到的结论是不可靠的，合情推理得到的结论是不可靠的， 需要证明需要证明.数学中证明的方法有哪些数学中证明的方法有哪些 呢？呢？ 间接证明（反证法） 分析法 综合法 直接证明 证明的方法 引例一:证明不等式: 2 22 ()xx xR 22 22(1)1 10xxx 2 22xx证法1:由 2 (
4、1)0x 2 (1)1 10x 2 220xx 2 22xx 证法2:由 证法证法2是从已经成立的事实出发是从已经成立的事实出发,经过正确推理经过正确推理,得到要证的结论得到要证的结论. - 综合法综合法 引例二:求证 372 5 分析:从待证不等式不易发现证明的出发点,因此我们直接 从待证不等式出发,分析其成立的充分条件. 证明:要证明372 5, 只需证 22 ( 37)(2 5), 即证102 2120, 即证2 2110, 即证215, 即证2125, 因为2125显然成立,所以原不等式成立. 在本例中在本例中,由于我们很难想到从由于我们很难想到从 “ 210,b0)的证 明. a+b
5、a+b abab 2 2 证明: 因为; 所以 所以 所以 成立 ()b 2 0a a 20a+baba+bab 2a+baba+bab a+ba+b abab 2 2 证明:要证 只需证 只需证 只需证 因为 成立 所以 成立 a+ba+b abab 2 2 2a+baba+bab 20a+baba+bab ()b 2 0a a ()b 2 0a a a+ba+b abab 2 2 还原成综合法： 证明: 因为; 所以 当且仅当a=b时取等号 所以 所以 成立 证明:要证 只需证 只需证 而 当且仅当 成立 所以 成立 综合法： ab ab ba a ab bb aa b 0a ab bb
6、aa b 2 ()() ()()0 aabbab abab =a b ab ab ba 0,0ab 22 ab baab ba ， 10,0, ab abab ba 例 、已知求证： 22 ab baab ba ab ab ba 3322 , a bababa bab设是两个正实数，且，求证： 证明：方法一（分析法） 证明:要证 只需证 只需证 只需证 即只需证 而由已知条件可知 显然成立，所以命题得证. 3322 +aba bab 22 ( + )()()a b aabbab ab 22 aabbab 22 20aabb 2 ()0ab ab 2 ()0ab 方法二（综合法） 证明: 即 即
7、 由条件可知 即 ， 所以命题得证. 22 aabbab 22 20aabb ab 2 ()0ab 0ab 22 ( + )()()a b aabbab ab 3322 aba bab 例例2 2：在：在中中，三个内角三个内角、对应的对应的 边分别为边分别为a a、b b、c c，且且、成等差数列成等差数列，a a、 b b、c c成等比数列成等比数列，求证求证为等边三角形为等边三角形 证明： CA2B CB成等差数列、A 3 BCBA acbcba 2 成等比数列、 accaBaccab 22222 cos2由余弦定理得 0)( 222 caacacca即 ca 是等边三角形ABC 解决数学
8、问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言 转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言。还要通 过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来 )sin)(cossin(cossincos: 222244 左边证明 右边2cossincos 22 等式成立 2cossincos 44 ，求证：对任意锐角 1.知识与技能: (1)综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经 过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立. (2)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条 件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条 件（已知条件、定理、定义、公理等）. (3)综合法与
9、分析法的区别：综合法是从已知条件出发，逐步推 向未知，每步寻找的是必要条件；分析法是从待求结论出发， 逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件. 2.思想与方法: 顺推与逆推的思想. 必做题： 1. 要 证 明 不 等 式672 25成 立 ， 只 需 证 明： . 2.已知 2 2 2 2 2 a a 与2 2的大小关系是 . 3.已知, a b是不相等的正数， 2 ab xyab ，则 xy，的大小关系是_ 4. 已 知, ,a b c是 不 全 相 等 的 正 数 ， 求 证 ： abcbacacbcba6)()()( 222222 . 22 ( 67)(2 25) 2 2 2 22 2 2
10、a a xy 必做题： 4.证明： 22 2,0bcbc a, 22 ()2a bcabc, 同理 22 ()2b caabc, 22 ()2c ababc, 因 为, ,a b c不 全 相 等 ， 所 以 22 2bcbc, 22 2caac, 22 2abab三式不能全取等号，从而、 、三式也不能全取等号, abcbacacbcba6)()()( 222222 选做题： 1. 用分析法证明：若0a ，则 2 2 11 22aa aa . 2.已知函数1yx， 2 22yxxt， 11 () 2 t yx x (0)x 的最小值恰好是方程 32 0xaxbxc的三个根，其中01t 求证：
11、2 23ab； 选做题答案： 1.证明：要证 2 2 11 22.aa aa ， 只需证 2 2 11 22.aa aa 由0a ，所以两边均大于零，因此只需证 222 2 11 (2)(2)aa aa 只需证 222 222 1111 44222 2()aaaa aaaa ， 只需证 2 2 121 () 2 aa aa ，只需证 22 22 111 (2) 2 aa aa ， 即证 2 2 1 2a a ，它显然成立 原不等式成立 2.证明:三个函数的最小值依次为1， 1t ， 1t， 由 (1)0f ，得 1cab 3232 ( )(1)f xxaxbxcxaxbxab 2 (1)(1)(1)xxaxab ， 故方程 2 (1)(1)0xaxab 的两根是 1t ， 1t 故 11(1)tta ， 111ttab 由 22 ( 11)(1)tta ， 可得 2 22(1)(1)aba . 2 23ab.
