1、-1- 第二讲 直线与圆的位置关系 -2- 一 圆周角定理 -3- 一 圆周角定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1.了解圆心角定理,并能应用定理解决问题. 2.理解圆周角定理及其两个推论,并能应用定理解决有关问题. -4- 一 圆周角定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 1.圆周角定理 文字 语言 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一
2、半 图形 语言 符号 语言 在O 中,BC 所对的圆周角和圆心角分别是BAC, BOC,则有BAC= 1 2BOC 作用 确定圆中两个角的大小关系 -5- 一 圆周角定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 名师点拨名师点拨定理中的圆心角与圆周角一定是对着同一条弧,它们才 有上面定理中所说的数量关系. -6- 一 圆周角定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目
3、标导航 1 2 3 【做一做1】 如图,在O中,BAC=25,则BOC等于( ) A.25 B.50 C.30 D.12.5 解析:根据圆周角定理,得 BOC=2BAC=50. 答案:B -7- 一 圆周角定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 2.圆心角定理 文字语言 圆心角的度数等于它所对弧的度数 图形语言 符号语言 A,B 是O 上两点,则AB 的度数等于AOB 的度数 作用 确定圆弧或圆心角的度数 -8- 一 圆周角定理 ZHISHI SHULI 知识梳理
4、ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 【做一做 2】 如图,两个同心圆中, 的度数是 30 , 且大圆的半径 = 4,小圆的半径 = 2,则 的度数是_. 解析: 的度数等于AOB,又 的度数也等于AOB,则 的度数是30 . 答案:30 -9- 一 圆周角定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 3.圆周角定理的推论 (1)推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等
5、的圆 周角所对的弧相等. (2)推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90的圆周角所对 的弦是直径. -10- 一 圆周角定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 名师点拨名师点拨1.圆心角的度数和它所对的弧的度数相等,但并不是“圆 心角等于它所对的弧”. 2.“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆 中”. 3.由弦相等推出弧相等时,这里的弧要求同圆或等圆中同是优弧 或同是劣弧,一般选劣弧. 4.在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦三组量之
6、间的 相等关系简单地说,就是圆心角相等能推出弧相等,进而能推出弦 相等. -11- 一 圆周角定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 【做一做3-1】 如图,在O中,BAC=60,则BDC等于( ) A.30 B.45 C.60 D.75 解析:BDC=BAC=60. 答案:C -12- 一 圆周角定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3
7、【做一做 3-2】 如图,AB 是O 的直径,C是 上的一点, 且 = 4, = 3,则O 的半径 r 等于( ) A. 5 2 B.5 C.10 D.不确定 解析:AB 是O 的直径, ACB=90 . AB= 2+ 2= 42+ 32= 5. 2r=AB=5.r= 5 2. 答案:A -13- 一 圆周角定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 圆周角定理的理解 剖析:(1)应用圆周角定理时,要注意的问题如下: 圆周角定理推论1中,同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等. 这
8、一定理成立的前提是同圆或等圆,否则不成立. (2)在圆周角定理的证明中,运用了数学中分类讨论和化归的思想 以及归纳的证明方法.这个定理是从特殊情况入手研究的,首先研 究当角的一边过圆心时,得到圆周角与同弧所对的圆心角的关系, 然后研究当角的一边不经过圆心时,圆周角与同弧所对的圆心角之 间的关系.当角的一边不经过圆心时,又有两种情况:一是圆心在圆 周角内部;二是圆心在圆周角外部.经过这样不同情况的讨论,最后 得到:不论角的一边是否经过圆心,都有定理中的结论成立.在几何 里,许多定理的证明,都需要像这样分情况进行讨论,后面还会遇到 这种分情况证明的定理. -14- 一 圆周角定理 ZHISHI S
9、HULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 (3)通过圆周角定理的分析、证明,我们可以看到,在几何里讨论 问题时,常常从特殊情况入手,因为在特殊情况下问题往往容易解 决.如图,中间一种情况为圆周角的一边经过圆心,此时 AOB=2C很容易证明,特殊情况下的问题解决之后,再想办法把 一般情况下的问题转化为特殊情况下的问题,如图中的左图和右图 的情况,通过辅助线,把它们变成中间图中的两个角的和或差,这样 利用特殊情况下的结论,便可使一般情况下的结论得证. -15- 一 圆周角定理 ZHISHI SHULI 知
10、识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型一 求线段的长 【例1】 如图,ABC的三个顶点都在O上,BAC的平分线与 BC边和O分别交于点D,E. (1)指出图中相似的三角形,并说明理由; (2)若EC=4,DE=2,求AD的长. 分析:(1)本题证明两个三角形相似,要用三角形相似的判定定理, 而其中角的条件由同弧所对的圆周角相等得出;(2)要求线段长度, 先由三角形相似得线段成比例,再求其长度. -16- 一 圆周角定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJI
11、AO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 解:(1)AE平分BAC, BAD=EAC. 又B=E,ABDAEC. B=E,BAE=BCE, ABDCED,AECCED. (2)CEDAEC, CE2=ED AE, 16=2AE,AE=8. AD=AE-DE=6. 反思反思求圆中线段长时,常先利用圆周角定理及其推论得到相似三 角形,从而得到成比例线段,再列方程求得线段长. = . -17- 一 圆周角定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUB
12、IAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 【变式训练 1】 如图,已知ABC 内接于O, = ,点是 上任意一点,与交于点, = 6 cm, = 5 cm, = 3 cm,求的长. 解: = , ADB=CDE. 又 = ,BAD=ECD, ABDCED, = ,即 6 3 = 5 , ED=2.5(cm). -18- 一 圆周角定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 证明:BC是O的直径, BAC为直角. 又ADBC,RtBDARtBAC. BAD=ACB. B
13、AD=FBA. ABE为等腰三角形. AE=BE. 题型一 题型二 题型三 题型二 证明线段相等 【例 2】 如图,BC为圆 O 的直径,ADBC, = ,和相交于.求证: = . = ,FBA=ACB, -19- 一 圆周角定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 反思反思1.有关圆的题目中,圆周角与它所对的弧经常相互转化,即欲 证明圆周角相等,可转化为证明它们所对的弧相等;要证明线段相 等也可以转化为证明它们所对的弧相等,这是证明圆中线段相等的 常见策
14、略. 2.若已知条件中出现直径,则常用到“直径所对的圆周角为直角” 这一性质解决问题. -20- 一 圆周角定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 【变式训练2】 如图,ABC内接于O,D,E在BC边上,且 BD=CE,1=2.求证:AB=AC. -21- 一 圆周角定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 证明:如
15、图,延长 AD,AE 分别交O 于点 F,G,连接 BF,CG. 1=2, = , BF=CG, = , FBD=GCE. 又BD=CE,BFDCGE, F=G, = , AB=AC. -22- 一 圆周角定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型三 易错辨析 易错点:误认为同弦或等弦所对圆周角相等而致错 【例3】 如图,若BAD=75,则BCD= . 错解:BAD和BCD所对的弦都是BD, BAD=BCD. BCD=75. 错因分析:错解中,没有注意
16、到圆周角BAD和BCD所对的弧不 相等,导致得到错误的结论BAD=BCD. -23- 一 圆周角定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 正解:BAD是 所对的圆周角,BCD是 所对的圆周角,则 所对的圆心角为275 =150 . 又 和 所对圆心角的和是周角360 , 所对圆心角是360 -150 =210 , 所对圆周角BCD= 1 2 210= 105 . 答案:105 反思反思同弦或等弦所对的圆周角不一定相等.当弦是直径时,同弦或 等弦所对的圆周角相等,都等于90;当弦不是直径时,该弦将圆周 分成两条弧:优弧和劣弧,若圆周角的顶点同在优弧上或同在劣弧 上,同弦或等弦所对的圆周角相等;若一个圆周角的顶点在优弧上, 另一个圆周角的顶点在劣弧上,则同弦或等弦所对的圆周角不相等, 它们互补(如本题).
