1、-1- 三三 平面与圆锥面的截线平面与圆锥面的截线 -2- 三 平面与圆锥面的截线 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1.了解不平行于底面且不通过圆锥的顶点的平面截圆锥的形状 是椭圆、抛物线、双曲线. 2.感受平面截圆锥的形状,并从理论上证明. 3.通过Dandelin双球探求双曲线的性质,理解这种证明问题的方 法. -3- 三 平面与圆锥面的截线 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODA
2、OHANG 目标导航 1 2 3 1.定理2 文 字 语 言 如果用一个平面去截一个正圆锥(两边可以无限延伸),而且这 个平面不通过圆锥的顶点,会出现三种情况:如果平面与一条 母线平行,那么平面就只与正圆锥的一半相交,这时的交线是 一条抛物线;如果平面不与母线平行,当平面只与圆锥的一半 相交,这时的交线为椭圆;当平面与圆锥的两个部分都相交,这 时的交线叫做双曲线 -4- 三 平面与圆锥面的截线 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 符号 语言 在空间中,取直线 l 为轴
3、,直线 l与 l 相交于 O 点,夹角为 ,l 围绕 l 旋转得到以 O 为顶点,l为母线的圆锥面.任取平面 , 若它与轴 l 的交角为 (当 与 l 平行时,记 =0),则 (1),平面 与圆锥的交线为椭圆; (2)=,平面 与圆锥的交线为抛物线; (3)1. 同理,另一分支上的点也具有同样的性质, 综上所述,双曲线的准线为 m,离心率 e= cos cos. -13- 三 平面与圆锥面的截线 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 【变式训练1】 在圆锥内
4、部嵌入Dandelin双球,一个位于平面的 上方,一个位于平面的下方,并且与平面及圆锥均相切.若平面与 双球的切点不重合,则平面与圆锥面的截线是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 解析:由于平面与双球的切点不重合,则平面与圆锥母线不平 行,且只与圆锥的一半相交,则截线是椭圆. 答案:B -14- 三 平面与圆锥面的截线 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型二 圆锥曲线几何性质应用 【例2】 已知双曲线两个顶点间的距离为2a,焦距为2c,求
5、两条准 线间的距离. 解:如图,l1,l2是双曲线的准线,F1,F2是焦点,A1,A2是顶点,O为中心. 由离心率定义知 11 11 = , A1H1= 11. 又 A1F1=OF1-OA1=c-a, A1H1= (-) . 1 = 1 11, OH1=a (-) = 2 . 由对称性,得 OH2= 2 , 12 = 22 . -15- 三 平面与圆锥面的截线 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 反思反思已知圆锥曲线的结构特点,解决有关计算等问题时,通常利
6、用圆 锥曲线中的数量关系,如 e= 等,列出方程来解决.如本题中,由 OH1=OA1-A1H1得到 a (-) = 2 . -16- 三 平面与圆锥面的截线 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 【变式训练2】 顶角为60的圆锥面中有一个半径为2的内切 球,以该球为焦球作一截面,使截线为抛物线,求该抛物线的顶点到 焦点的距 离 2 和截面与轴的交点到圆锥顶点的距离. -17- 三 平面与圆锥面的截线 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JV
7、JIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 解:如图是圆锥的截面,其中点P为抛物线的顶点,点Q为抛物线的 焦点,点M为截面与轴的交点,连接OA,OQ. 设A,B为球与圆锥的母线的切点. 由ASB=60, ASO=30. 又OA=2,OASA,OS=4,易知OPOS, 又PMSB,PMS=OSB=OSA, SM=2OS=8. OP=OStan 30 = 4 3 3 , 2 = = 2-2= 2 3 3 . -18- 三 平面与圆锥面的截线 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIA
8、NLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型三 易错辨析 易错点:错用圆锥曲线的离心率公式而致错 【例3】 已知圆锥面的轴截面为等腰直角三角形,用一个与轴线 成30角的不过圆锥顶点的平面去截圆锥面时,所截得的截线的离 心率为( ) A. 6 2 B. 6 3 C. 3 2 D. 2 2 错解:因为圆锥面的截面为等腰直角三角形,所以母线与轴线的 夹角为45. 又因为截面与轴线的夹角为30,所以截线的离心率为 e= cos45 cos30= 2 3 = 6 3 ,故选B. -19- 三 平面与圆锥面的截线 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 错因分析:上述解法错误的原因是错用圆锥曲线的离心率公式 e= cos cos ,其中 为平面与轴的交角, 为母线与轴的交角. 正解:A 解析:圆锥的轴截面为等腰直角三角形,所以母线与轴线的夹 角=45. 又截面与轴线的夹角=30,即,截线是双曲线,其离心率 e= cos cos = cos30 cos45 = 3 2 = 6 2 .
