1、 1 福建省晋江市四校 2017届高三数学第二次联合考试试题 理 第 I卷 一、选择题： 本题共 12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （ 1） 已知 i为虚数单位，复数 z 满足 2(1 ) (1 )i z i? ? ? ，则 |z 为（ ） （ A） 2 （ B） 1 （ C） 21 （ D） 22 （ 2） 已知集合 20 ? xxA | , 01| 2 ? xxB ，则 ?)( BCA R? （ ） （ A） 10| ?xx （ B） 21| ?xx （ C） 01| ? xx （ D） 10| ?xx （ 3） 执行右面的程序框图，如果输入的
2、x 的值为 1，则输出 的 x 的值为 （ ） （ A） 4 （ B） 13 （ C） 40 （ D） 121 （ 4） 数列 an中， a2 2， a6 0且数列 11?na是等差数列， 则 a4=( ) （ A） 21 （ B） 31 （ C） 41 （ D） 61 （ 5） 九章算术是我国古代数学名著，也是古代东方数学的 代表作书中有如下问题：“今有勾八步，股一十五 步， 问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两 直角边长分别为 8步和 15步，问其内切圆的直径为多少 步？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概 率是 （ ） （ A） 103? （ B） 20? （ C
3、） 203? （ D） 10? （ 6） 已知 a0， b0，则 1a 1b 2 ab的最小值是 ( ) （ A） 2 （ B） 22 （ C） 4 （ D） 5 2 （ 7） 如图，某几何体的三视图中，正视图和侧视图都是半径为 3 的半圆和相同的正三角形，其中三角形的上顶点是半圆的中 点，底边在直径上，则它的表面积是（ ） （ A） ?6 （ B） ?8 （ C） ?10 （ D） ?11 （ 8） 下列四个图中，函数 1 |1|ln10 ? ? x xy 的图象可能是（ ） （ A） （ B） （ C） （ D） （ 9） 已知实数 x ， y 满足 6 0,0,3,xyxyx? ? ?若
4、目标函 数 z ax y?的最大值为 93?a ，最小值为33?a ，则实数 a 的取值范围是（ ） （ A） 1?a （ B） 1?a （ C） 1?a 或 1?a （ D） 11 ? a （ 10） 设 F1、 F2分别为双曲线 12222 ?byax 的左、右焦点若在双曲线右支上存在点 P，满足|PF2|=|F1F2|，且 F2到直线 PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的 离心率 为 ( ) （ A） 34 （ B） 35 （ C） 2 （ D） 25 （ 11） 已知从点 P 出发的三条射线 PA ， PB ， PC 两两成 60? 角，且分别与球 O 相切于 A ， B ，
5、C三点若球 O 的体积为 36 ，则 O ， P 两点间的距离为 （ ） （ A） 32 （ B） 33 （ C） 3 （ D） 6 （ 12） 已知函数 )(xf 满足下列条件：定义域为 ? ?,1 ；当 21 ?x 时 )2sin(4)( xxf ? ； )2(2)( xfxf ? .若关于 x的方程 0)( ? kkxxf 恰有 3个实数解，则实数 k的取值范围是（ ） （ A） )31,141 （ B） 31,141( （ C） 2,31( （ D） )2,31 3 第 II卷 二、填空题 ： 本题共 4小题， 每小题 5分 。 （ 13） 等边 ABC的边长为 2，则 AB 在 BC
6、 方向上的投影为 （ 14） 过抛物线 xy 42? 上任意一点 P 向圆 2)4( 22 ? yx 作切线，切点为 A ，则 PA 的最小值等于 _ （ 15） 已知数列 ?na 满足 113 3, 2 ,nna a a n? ? ?则 nan 的最小值为 _ （ 16） 已知函数 ( ) e ( e )xxf x x a?有两个极值点，则实数 a 的取值范围是 _ 三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （ 17）（本小题满分 12分） 在 ABC中， a， b， c 分别是 A， B， C的对边长，已知 AA cos3sin2 ? . (I)若 a2 c2 b2 mbc，
7、求实数 m的值； (II)若 a 3 ，求 ABC面积的最大值 . （ 18）（本小题满分 12分） 由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从某校随机抽取 16 名学生，经校医用对数 视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图 (以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶 )如下： （）指出这组数据的众数和中位数； （）若视力测试结果不低于 5.0，则称为“好视力”，求校医从这 16 人中随机选取 3 人，至多有 1人是“好视力”的概率； 4 （）以这 16 人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校 (人数很多 )任选 3人，记 ?表示抽到“好视力”学生的人数，求 ?
8、的分布列及数学期望 （ 19）（本小题满分 12分） 如图，在四棱锥S ABCD?中，底面梯形ABCD中，/ABC，平面SAB?平面,ABCD SAB?是等边三角形，已知 2 4 , 2 2 2 5AC AB BC AD D C? ? ? ? ?. （ I）求证：平面 平面SAC； （ II）求二面角B SC A?的余弦值 . （ 20）（本小题满分 12分） 已知椭圆 C： )0(12222 ? babyax 的离心率为 21?e ，过点 )23,3( . （ I）求椭圆 C的方程； （ II）过 A（ -a， 0)且互相垂直的两条直线 l1、 l2与椭圆 C的另一个交点分别为 P、 Q.
9、问：直线 PQ 是否经过定点？若是，求出该定点；否则，说明理由。 （ 21） （本小题满分 12分） 已知 Ra? ，函 数 ( ) ln( )f x x a x? ? ?，曲线 ()y f x? 与 x 轴相切 （ ）求 ()fx的单调区间； （ ） 是否存在实数 m 使得 )e1()( xmxxf ? 恒成立？ 若存在 ，求 实数 m 的 值；若不存在 ，说明理由 请考生在第 （ 22） （ 23）题中任选一题作答，如果多做，则 按所做的第一题计分 。 （ 22）（本 小 题满分 10分） 选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为： 1 7 c o
10、s ()7 s inxy? ? ? 是 参 数， 以 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 （ ） 求曲线 C的极坐标方程； CABDS5 （ ） 已知 直线 1l： 2 sin ( ) 3 03? ? ?， 射线2: ( 0)3l ?与曲线 C的交点为 P， 2l与直线 1l 的交点为 Q，求线段 PQ的长 （ 23） （本小题满分 10分） 选修 4-5：不等式选讲 设函数 f (x) |x a| x. (I)当 a 2时 ， 求函数 f (x)的值域； (II)若 g (x) |x 1|， 求不等式 g (x) 2x f (x)恒成立时 a的取值范围 6 2017届高三年毕业
11、班第二次联合考试答案（理科数学） 一 、选择题： （每 小题 5分，共 60分） （ 1） A （ 2） B （ 3） C （ 4） A （ 5） C （ 6） C （ 7） C （ 8） D （ 9） D （ 10） B （ 11） B （ 12） D 二、填空题 （ 每小题 5分 ，共 20 分） （ 13） -1 （ 14） 10 （ 15） 221 （ 16） ? 21,0三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （ 17）（ 本小题满分 12分） 解 ： (I)由 AA cos3sin2 ? 两边平方得 2sin2A 3cosA? 1分 即 (2cosA 1)(cosA
12、 2) 0，解得 cosA 12? 3分 而 a2 c2 b2 mbc 可以变形为 22 222 mbc acb ? ? 4分 即 cosA m2 12，所以 m 1? 6分 (II)由 (I)知 cosA 12，则 sinA 32 ? 7分 由 212 222 ? bc acb 得 bc b2 c2 a22 bc a2，即 bc a2? 9分 故 S ABC bc2sinA a2232 3 34 （当用仅当 3?cb 时，等号成立）? 11分 ABC面积的最大值 为 3 34 . （ 18）（本小题满分 12分） 解 ： （ I）众数： 4.6和 4.7；中位数： 4.75? 3分 （ II
13、） 设 iA 表示所取 3 人中有个人是“好视力”，至多有 1 人是“好视力”记为事件，则140121)()()( 3162121431631210 ? C CCCCAPAPAP? 6分 （ III） 的可能取值为 0， 1， 2， 3 6427)43()0( 3 ?P 6427)43(41)1( 213 ? CP ?64943)41()2( 223 ? CP ?641)41()3( 3 ?P 永春一中 培元中学 季延中学 石光中学 7 的分布列为 ? 10分 ?E 75.0? ? ? 12分 （ 19）（本小题满分 12分） 解： （ ）在BCA?中，由于2, 4, 2 5AB CA BC?
14、 ? ?, ?2 2 2AB AC BC?,故AC? ? 2分 又SA B AB C D?平 面 平 面 ，SA B AB C D AB?平 面 平 面，AC AB CD? 平 面SABAC?平 面， ? 4分 又AC SAC? 平 面，故平面SAC?平面SAB? 6分 （ II）如图建立A xyz?空间直角坐标系， )0,0,0(A ， )0,0,2(B ， )3,0,1(S ， )0,4,0(C ，)3,4,1( ?CS ， )0,4,2(?BC ， )0,4,0(?AC ? 7分 设平面SBC的法向量? ?1 1 1,n x y z?, 由111 1 12 4 004 3 00xyn B
15、Cx y zn C S? ? ? ? ? ? ? ?令1 1 1 231, 2 , 3y x z? ? ?则, 232,1, 3n ? ? ? 8分 设平面SCA的法向量? ?2 2 2,m x y z?, 由22 2 24004 3 00ym ACx y zm C S? ? ? ? ?，令2 3x ?，? ?3, 0,1 .? ? ? 9分 19c os , 19nmnmnm? ? 11分 ?二面角-B SCA的余弦值为19.19? 12分 8 （ 20）（本小题满分 12分） 解： 解：（ I）由已知得?14332122222bacbaace，解得?132cba? 3分 椭圆 C的方程为
16、134 22 ? yx ? 4分 （ II）由（ I）知 )0,2(?A ，设 ),(),( 2211 yxQyxP 当 xPQ? 轴时，不妨设 l1、 l2的斜率分别为 1， 1，则 2:1 ?xyl 联立椭圆方程得 721 ?x，同理 722 ?x此时直线 PQ 与 x 轴交于点 )0,72(?M ? 6分 当直线 PQ 与 x轴不垂直时，设线 PQ 方程为 )0)( ? kmxky 代入 134 22 ? yx 整理得 01248)34( 22222 ? mkmxkxk 3482221 ? k mkxx， 34 12422221 ? kmkxx? 8分 AQAP? ， ),2( 11 yxAP ? ， ),2( 22 yxAQ ? 0)2)(2( 2121 ? yyxxAQAP 即 0)()2)(2( 21221 ? mx
