1、 1 深圳市 2017 年高三年级第一次调研考试 数学 (理科 ) 第 卷 一 、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.若集合? ? ? ?22 , 4 , , 6 , 8 , B | 9 18 0A x x x? ? ? ? ?，则AB?（ ） A ? ?24B? ?,6C? ?,8D? ?2,82.若复数? ?aiaRi? ?为纯虚数，其中i为虚数单位，则a?（ ） A 2 B 3 C -2 D -3 3. 袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“ 2”，“ 3”，“ 4”，“ 6” .现从
2、中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（ ） A 14B1C D 24.等比数列?na的前n项和为13nnS a b?，则ab（ ） A -3 B -1 C. 1 D 3 5.直线? ?: 4 0l kx y k R? ? ? ?是圆22: 4 4 6 0C x y x y? ? ? ? ?的一条对称轴，过点? ?0,Ak作斜率为 1 的直线m，则直线 被圆C所截得的弦长为 （ ） A2B2C. 6D266.祖冲之之子 祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异” .意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒
3、等，那么这两个几何体的体积相等 .此即祖暅原理 .利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满 足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为? ?02hh?的平面截该几何体，则截面面积为 （ ） 2 A4?B2hC. ? ?22 h? ?D? ?24 h? ?7. 函数? ? 21cos21xxf x x? ?的图象大致是 （ ） 8.已知0, 0a b c? ? ?，下列不等关系中正确的是 （ ） Aacbc?BccabC. ? ? ? ?log logaba c b c? ? ?Daba c b c?9. 执行如图所示的程序框图，若输入2017p?，则输出i的
4、值为 （ ） A 335 B 336 C. 337 D 338 3 10.已知 F是双曲线? ?22: 1 0 , 0xyE a bab? ? ? ?的右焦点，过点 F作 E的一条渐近线的垂线，垂足为 P，线段 PF与 E相交于点Q，记点 到 E的两条渐近线的距 离之积为2d，若2FP d?，则该双曲线的离心率是 （ ） A2B 2 C. 3 D 4 11. 已知 棱长为 2 的正方体1 1 1 1AB CD A B C D?，球O与该正方体的各个面相切，则平面1ACB截此球所得的截面的面积为 （ ） A 83?B53?C. 43?D23?12. 已知函数? ? 2 , 0,xxf x x e
5、e?为自然对数的底数，关于x的方程? ? ? ?2 0fx fx ? ? ?有四个相异实根，则实数?的取值范围是 （ ） 4 A20,e?B? ?2 2,?C. 2,e e? ?D224 ,2e e? ?第 卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上 13.已知向量? ? ? ?1,2 , ,3p q x?，若pq?，则? 14. 51xx?的二项展开式中，含x的一次项的系数为 （用数字作答） 15.若实数,xy满足不等式组402 3 8 01xyxyx? ? ? ? ?，目标函数z kx y?的最大值为 12，最小值为 0，则实数k? 16.已知数
6、列?na满足? ? ? ?22 22nnna n a n n? ? ? ? ?，其中1, 2aa，若1nn?对*nN?恒成立，则实数?的 取值范围为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17. ABC?的内角A B C、 、的对边分别为a b c、 、，已知2 3 si n cosa c A a C? （ 1）求C； （ 2）若3c?，求 的面积S的最大值 18. 如图，四边形ABCD为菱形，四边形ACEF为平行四边形，设 BD与AC相交于点G， 2 , 3 ,AB BD AE EA D EA B? ? ? ? ? ? （ 1）证明：平面ACEF?平面ABCD； 5 （ 2
7、）若 AE与平面ABCD所成角为 60，求二面角 B EF D?的余弦值 19. 某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯 式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过 200 度的部分按 0.5 元 /度收费，超过 200 度但不超过 400 度的部分按 0.8 元 /度收费，超过 400 度的部分按 1.0 元 /度收费 . （ 1）求某户居民用电费用y（单位：元）关于月用电量x（单位：度）的函数解析式； （ 2）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年 1 月份 100 户居民每户的用电量，统计分析后得到如 图所示的频率分布直方图，若这 100户居民中，今年 1月份用电费
8、用不超过 260元的点 80%，求,ab的值； （ 3）在满足（ 2）的条件下，若以这 100 户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点值代替，记 Y为该居民用户 1 月份的用电费用，求 Y的分布列和数学期望 20. 已成椭圆? ?22: 1 0xyC a bab? ? ? ?的左右顶点分别为12AA、，上下顶点分别为21BB、，左右焦点分别为12FF、，其中长轴长为 4，且圆2212: 7O x y?为菱形1 1 2 2ABAB的内切圆 （ 1）求椭圆C的方程； （ 2）点? ?,0Nn为x轴正半轴上一点，过点N作椭圆C的切线l，记右焦点2F在l上的
9、射影为 H，若1FHN?的面积不小于2316n， 求n的取值范围 21. 已知函数? ? ln ,f x x x e?为自然对数的底数 （ 1）求曲线? ?y f x?在2xe?处的切线方程； （ 2）关于x的不等 式? ? ? ?1f x x?在? ?0,?上恒成立，求实数?的值； 6 （ 3）关 于x的方程? ?f x a?有两个实根12,xx，求证：212 21x a e? ? ? ? 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中xOy中，已知曲线 E经过点231, 3P?，其参数方程为cos2sin
10、xay?（?为参数），以原点O为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （ 1）求曲线 E的极坐标方程； （ 2）若直线l交 于点AB、，且OA OB?，求证：2211OA OB?为定值，并求出这个定值 23.选修 4-5：不等式选讲 已知? ? ? ?,3f x x a g x x x? ? ? ? ?，记关于x的不等式? ? ? ?f x g x?的解集为 M （ 1）若3aM?，求实数a的取值范围； （ 2）若? ?1,1 M?，求实数 的取值范围 理试卷答案 一、选择题 1-5: BCBAC 6-10: DCDCB 11、 12： BC 二、填空题 13. 5214. -5 15. 3
11、16. ? ?0,?三、解答题 17.解 :（ 1）由已知及正弦定理可得2 si n 3 si n si n si n c osA C A A C?， 在ABC?中，sin 0A?， 2 3 sin cosCC?， 31si n cos 122CC?， 从而sin 16C ?， 7 0 C ?， 56 6 6C? ? ? ? ? ?， 62C ?， 23?； （ 2）解法：由（ 1）知23?， 3sin 2C?， 1 2 sin2S ab C?， 34S ab， 2 2 2cos 2a b cC ab?， 223a b ab? ? ?， 2b ab?， 1ab?（当且仅当1?时等号成立）， 3
12、344S ab?； 解法二：由正弦定理可知2si nA si n si na b cBC? ? ?， 1 sin2S ab C?， 3 sin sinS A B?， si n si n 3A A?， 22 6 4SA ? ? ?， 0 3A ?， 526 6 6A? ? ? ? ?， 当2 62A ?，即6A ?时，S取最大值34. 8 18.解：（ 1）证明：连接EG， 四边形ABCD为菱形， ,AD AB BD AC D G G B? ? ?， 在 EAD?和 EAB中， ,AB AE AE?， EAD EAB? ?， EAD EAB?， ED EB?， BD EG?， AC EG G?，
13、 ?平面ACFE， ?平面ABCD， 平面?平面 ； （ 2）解法一：过G作 EF垂线，垂足为 M，连接,B MG MD， 易得EAC?为 AE与面 所成的角， 060EAC?， ,G M EF BD?， EF?平面 BDM， DB?为二面角 B EF D?的平面角， 可求得3 13,22G D M BM? ? ?， 在 ?中由余弦定理可得：5cos 13BMD?， 二面角 B EF D的余弦值为513； 9 解法二：如图 ，在平面ABCD内，过G作AC的垂线，交 EF于 M点， 由（ 1）可知，平面ACFE?平面 ， MG?平面 ， 直线,G GA GB两两互相垂直， 分别A GB GM、
14、、为,xyz轴建立 空间直角坐标系xyz?， 易得EAC?为 AE与平面ABCD所成的角， 060EAC?， 则? ? ? ? 3 3 3 3 30 , 1 , 0 , 0 , 1 , 0 , E , 0 , , , 0 ,2 2 2 2D B F? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ? ? 3 3 3 32 3 , 0 , 0 , , 1 , , , 1 ,2 2 2 2FE BE D E? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 设平面 BEF的一个法向量为? ?,n x y z?，则 0nFE?且BE， 0x?，且33022x y z? ? ?取 2
15、z，可得平面 BEF的一个法向量为? ?,3,2n?， 同理可求得平面 DEF的一个法向量为? ?0,3, 2m?， 5cos 13nm ?， 二面角 B EF D?的余弦值为513 19.解析：（ 1）当0 200x?时，0.5yx?； 当200 400x?时，? ?0.5 200 0.8 200 0.8 60y x x? ? ? ? ? ? ?， 10 当400x?时，? ?0.5 200 0.8 200 1.0 400 140y x x? ? ? ? ? ? ? ? ?， 所以y与 之间的函数解析式为：0.5 , 0 2000.8 60 , 200 400140 , 400xxy x x
16、xx? ? ? ?； （ 2）由（ 1）可知：当260y?时，400x，则? ?400 0.80Px?， 结合频率分布直方图可知：0.1 2 100 0.3 0.8100 0.05 0.2ba? ? ? ? ?， 0.001 5, 0.002 0ab?； （ 3）由题意 可知 X可取 50， 150， 250， 350， 450， 550. 当50x?时，0.5 50 25y ? ? ?， ? ?25 0.1Py?， 当150时，0.5 150 75? ?， 75 0.2， 当250x时，0.5 200 0.8 50 140y ? ? ? ? ?， ? ?140 0.3， 当350?时，0.5
17、 200 0.8 150 220? ? ? ?， ?220 0.2， 当450x时，0.5 200 0.8 200 1.0 50 310y ? ? ? ? ? ? ?， ? ?310 0.15， 当550时，0.5 200 0.8 200 1.0 150 410? ? ? ? ? ?， 410 0.05Py， 故 Y的概率分布列为： 25 75 140 220 310 410 P0.1 0.2 0.3 0.2 0.15 0.05 所以随机变量 X的数学期望 25 0.1 75 0.2 140 0.3 220 0.2 310 0.15 410 0.05 170 . 5EY ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 20.解：（ 1）由题意知24a?，所以2， 所以? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 22 , 0 , 2 , 0 , 0 , , 0 ,A A B b B b?，则 直线22AB的方程为12xyb?，即2 2 0bx y b? ? ?， 所以22 1274 bb? ?， 解得2 3b?，
