1、 - 1 - 广西陆川县中学 2018届高三数学开学考试试题 理 第 I卷 (选择题，共 60分） 一、 选择题（本大题共 12个小题 ,每小题 5分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合 ? ? ? ? ? ? ? ?, , , 1A x y y f x B x y x? ? ? ?，则 AB? 中元素的个数为 （ ） A 必有 1个 B 1个或 2个 C 至多 1个 D 可能 2个以上 2 若 iyiix 1)2( ? ? ?,xy?R ,则 yx? = A 1? B 1 C 3 D 3? 3在等差数列 ?na 中， 3 7 10 1a a
2、a? ? ?， 11 4 21aa?，则 ?7a A 7B 10C 20D 30 4.已知一个简单几何体的三视 图如右图所示，则该几何体的体积为 A 63? B 66? C 123 ? D 125.将函数 xxf 2sin)( ? 的图像保持纵坐标不变，先将横坐标缩短为原来 的 21 ，再向右平移 6? 个单位长度后得到 )(xg ，则 )(xg 的解析式为 A. )6sin()( ? xxg B. )6sin()( ? xxg C. )324sin()( ? xxg D. )64sin()( ? xxg 6.执行如图所示的程序框图，若输入 1, 3mn?，输出的 x? 1.75，则空白判断框
3、内应填的条件为 - 2 - A | nm? 1B | nm? 0.5C | nm? 0.2D | nm? 0.1 7.从 5 名学生中选出 4 名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为 A. 48 B. 72 C. 90 D. 96 8.下列命题中 错误 的命题是 A.对于命题 ,: 0 Rxp ? 使得 0120 ?x ，则 ,: Rxp ? 都有 012 ?x B.若随机变量 ),2( 2?NX ，则 5.0)2( ?XP C.设函数 )(s in)( Rxxxxf ? ，则函数 )(xf 有三个不同的零点 D.设等比数列 na 的前 n 项
4、和为 nS ，则“ 01?a ”是“ 23 SS? ”的充分必要条件 9. 在 ABC? 中， 6,5 ? BCACAB , I 是 ABC? 的 内 心 ， 若? ? BCnBAmBI ),( Rnm ? ，则 ?nm A.34 B.56 C.2 D.21 10.已知函数 cbxaxxxf ? 32)( 23 的两个极值点分别在 )0,1(? 与 )1,0( 内，则 ba?2 的取值范围是 A )23,23(? B. )1,23(? C. )23,21(? D. )23,1( 11.已知函数 1c o s22s in3)( 2 ? xxxf ，记函数 )(xf 在区间 4, ?tt 上的最大
5、值为tM ，最小值为 tm ，设函数 tt mMth ?)( ，若 125,12 ?t ，则函数 )(th 的值域为 A. 22,3 B. 2,3 C. 2,1 D. 22,1 12.已知奇函数 )(xf 是定义在 R 上的连续可导函数，其导函数是 )(xf? ，当 0?x 时，)(2)( xfxf ? 恒成立，则下列不等关系 一定 正确的是 A. )2()1(2 ffe ? B. )2()1(2 ffe ? C. )2()1(2 ffe ? D. )1()2( 2 ? fef 二、填空题（本大题共 4小题 ,每小题 5分 ,共 20分） 13.若0 5 25n x dx?，则? ?21nx?
6、的二项展开式中x的系数为 . - 3 - 14.已知双曲线22 1( 0 , 0)xy abab? ? ? ?的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合，则双曲线的离心率为 _ 15. 已知锐角三角形ABC中，角,ABC所对的边分别为, , ,abc若2 cosc a a B?，则2sinsin( )ABA?的取值范围是 _ 16.已知函数1()fx x? ?，点O为坐标原点 , 点( , ( )( )nA n f n n ? N，向量(0,1)?i， n?是向量nOA与i的夹角，则使得3121 2 3c os c osc os c ossi n si n si n si n nn t? ? ?
7、 ? ? ? ? ?恒成立的实 数t的取值范围为 _. 三、解答题 (本大题共 6小题，共 70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ) 17.（本小题满分 12分） 已知函数 2 1( ) c o s 3 s i n ( ) c o s ( ) 2f x x x x? ? ? ? ?. （） 求函数 ()fx在 0, ? 的单调递减区间； （）在锐角 ABC? 中，内角 A ， B ， C ， 的对边分别为 a ， b ， c ， 已知 ( ) 1fA? ， 2a? ，sin sinb C a A? ， 求 ABC? 的面积 . 18.（本小题满分 12分） 某产品按行业生产标准分成
8、8个等级，等级系数X依次为1,2,?,8，其中5X?为标准，3X?为标准 . 已知甲厂执行标准生产该产品，产品的零售价为6元 /件 ; 乙 厂执行标准生产该产品，产品的零售价为元 /件，假定甲 , 乙两厂的产品都符合相 应的执行标准 . （ ）已知甲厂产品的等级系数1X的概率分布列如下所示： 15678- 4 - MDECBA且1X的数学期望1 6EX?, 求,ab的值 ; （ ）为分析乙厂产 品的等级系数2X，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下 : 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数2X的数学期望； （ ）在（ ） ,（ ）的条件
9、下，若以 “ 性价比 ” 为判断标准，则哪个工厂的产品更具可 购买性？说明理由 . 注 : 产品的 “ 性价比 ” ； “ 性价比 ” 大的产品更具可购买性 . 19.（本小题满分 12分） 如图 , ?EA平面ABC， ?DB平面ABC, 是等边三角形，2AC AE?, M是 AB的中点 . （ ）求证：EMCM?; （ ）若直线 DM与平面 所成角的正切值为， 求二面角B CD E?的余弦值 . 20.（本小题满分 12分） 已知动圆与圆221 : ( 2) 49F x y? ? ?相切，且与圆1)2(: 222 ? yxF相内切，记圆心的0.4b0.1- 5 - 轨迹为曲线 . （ ）求
10、曲线C的方程； （ ）设Q为曲线 上的一个不在轴上的动点，O为坐标原点，过点2F作OQ的平行 线交曲线 于,MN两个不同的点 , 求 QMN面积的最大值 21.（ 本小题满分 12分） 设函数( ) ( ) lnf x mx n x?. 若曲线()y f x?在点e, (e)Pf（处的切线方程为 2eyx?（为自然对数的底数） . （ ）求函数()fx的单调区间； （ ）若,Rab ?，试比较( ) ( )2f a f b?与2abf ?的大小，并予以证明 . 请考生在第 22 23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22.在平面直角坐标系 xOy 中 ， 曲线 C 的参数方程
11、为 3cossinxy ? ?(? 为参数），在以原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 sin 24?. （ 1） 求 C 的普通方程和 l 的倾斜角； （ 2）设点 ? ?0,2,Pl和 C 交于 ,AB两点，求 PA PB? . 23.已知函数 ? ? 1f x x?. - 6 - （ 1）求不等式 ? ? 2 1 1f x x? ? ?的解集 M ； （ 2）设 ,ab M? ，证明： ? ? ? ? ? ?f ab f a f b? ? ?. - 7 - 理科数学试题参考答案及评分标 准 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
12、 C A C A C B D C B A D C 13.180 14.215.(221，) 16. ),43 ?三 、解答题 17 解 （ 1） 由已知得 2 1( ) c o s 3 s i n c o s 2f x x x x? ? ? 1 c o s 2 3 1s in 22 2 2x x? ? ? sin(2 )6x ? ? ? 3分 2 2 22 6 2kx x kx? ? ? ? ? ? ? ? 63kx x kx? ? ? ? ?又 0, x ? ?函数 ()fx在 0, ? 的单调递减区间为 0, 3? 和 5 , 6? . ? 6分 （ 2）由（ 1）知 ( ) sin (2
13、 )6f x x ? ? ? 锐角 ABC? ， ? 0 2A ? 526 6 6A? ? ? ? ? ? ? 又 ( ) s in ( 2 ) 16f A A ? ? ? ? ? 2 62A ? ? ? ，即 3A ? ? 9分 又 sin sinb C a A? 2 4bc a? ? ? 1 s in 32ABCS bc A? ? ?. ? 12分 18. 解 : （ ）1 5 0.4 6 7 8 0.1 6EX a b? ? ? ? ? ? ?, 即6 7 3.2ab?1 分 又由1X的概率分布列得0.4 0.1 1 , 0.5a b a b? ? ? ? ? ?, ?2 分 - 8 -
14、 zyxMDECBA由 得0.3, 0.2.ab?4 分 （ ）由已知得，样本的频率分布表如下： ?5分 用这个样本的频率分布估计 总体分布，将频率视为概率，可得等级系数2X的概率分布列如下： ?6 分 所以2 3 0.3 4 0.2 5 0.2 6 0.1 7 0.1 8 0.1 4.8EX ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. ?7 分 即乙厂产品的等级系数的数学期望为4.8. ?8 分 （ ）乙厂的产品更具可购买性，理由如下： 因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6, 价格为 元 /件，所以其性价比为6 16?， ?9 分 因为乙厂产品的等级系数的期望等于4.8, 价格为
15、元 /件，所以其性价比为4.8 1.24 ?， ?10 分 据此，乙厂的产品更具可购买性 . ?12 分 19.解 : （ ） 因为 ABC是等边三角形， M是 AB的中点 , 所以C AB?. ?1 分 因为 EA?平面 , CM?平面ABC, 所以EA. ?2 分 因为AM EA A?, 所以?平面 EAM. ?3 分 因为 EM?平面 , 2X35678f0.30.20.20.10.10.12X356780.30.20.20.10.10.1- 9 - 所以CM EM?. ?4 分 （ ）法 1: 以点 M为坐标原点，MC所在直线为轴， MB所在直线为轴，过 且与直线 BD平行的直线为轴，
16、 建立空间直角坐标系xyz?. 因为 ?DB平面ABC, 所以 DMB?为直线 DM与平面 所成角 . ?5 分 由题意得ta n 2BDD M B MB? ? ?, 即 2BD MB?,?6 分 从而BD AC?. 不妨设2AC?, 又2AE?, 则3CM, 1AE.?7 分 故? ?0,1,0B,? ?3,0,0C, ? ?0 , ? ?0, 11E ?. ?8 分于是? ?3, 1, 0BC ?, ? ?,0,2,? ?3, 1,1CE ? ? ?,? ?1, 2CD ?, 设 平面BCD与平面CDE的法向量分别为1 1 1 2 2 2( , , ) , ( , , )m x y z n x y z?, 由0,0,m BCBD? ?得1113 0,2 0,xyz? ?令1 1x?,得1 3y?, 所以? ?1, 3,0m. ?9 分 由0,0,n CEn CD?得2 2 22 2 23 0 ,3 2 0 ,x y zx y z? ? ? ? ? ? ?令2 1x?,得2 33?, 233z. 所以3 2 3, ,33n ?. ?10 分 所以c os , 0mnmn mn? ? ?. ?11 分 所以二面角B CD E?的余弦值为0.
