1、 1 河北定州 2016-2017 学年第二学期高三数学开学考试 一、选择题 1 已知 a， b， cR ，命题 “ 若 abc? =3，则 2 2 2abc?3” 的否命题是 （ ） A 若 a+b+c3 ，则 2 2 2abc?3 B 若 a+b+c=3，则 2 2 2abc?3 C 若 a+b+c3 ，则 2 2 2abc?3 D 若 2 2 2abc?3 ，则 a+b+c=3 2已知集合 ? ?0,1,Aa? ， ? ?22,Ba? ，若 ? ?0,1, 2,3,9AB? ,则 a 的值为 （ ） A 0 B 1 C 2 D 3 3 已知角 ? 终边上一点 P（ -4， 3），则 si
2、n( )2? ? 的值为（ ） （ A） 45? （ B） 35? （ C） 45 （ D） 35 4 已知函数 sin ,y x x? cosy x x? ， cosy x x? ， 2xyx? 的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是 （ ） .A .B .C .D 5 .在 ABC? 中，若 2ac? ， 120B?，则边 b? （ ） A.33 B.23 C.22 D. 31? 6 设函数 :f ?NN满足 :对于任意大于 3 的正整数 n ， ? ? 3f n n?,且当 3n? 时，? ?23fn?，则不同的函数 ?fx的个数为（ ） A.
3、1 B.3 C.6 D.8 7若直线 错误 !未找到引用源。 过圆 错误 !未找到引用源。 的圆心 ,则 a的值为 （ ） A 错误 !未找到引用源。 1 B 1 C 3 D 错误 !未找到引用源。 3 8把周长为 1 的圆的圆心 C 放在 y 轴，顶点 ? ?0,1A ，一动点 M 从 A 开始逆时针绕圆运动一周，2 记走过的弧长 AM x? ，直线 AM 与 x 轴交于点 ? ?,0Nt ，则函数 ? ?t f x? 的大致图像为（ ） A B C D 9 函数 )11()( ? xxxxf 是（ ） A是奇函数又是减函数 B是奇函数但不是减函数 C是减函数但不是奇函数 D不是奇函数也不是
4、减函数 10 已知等边 ABC? 的两个顶点 ? ? ? ?0,0 , 4,0AB，且第三个顶点在第四象限，则 BC 边所在的直线方程是（ ） A 3yx? B ? ?34yx? ? C ? ?34yx? D ? ?34yx? 11 若不等式组 所表示的 平面区域被直线 分成面积相等的两 部分，则 k的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 12 已知随机变量 2( 3 , ) , ( 2 ) 0 . 3 , ( 2 4 )N P P? ? ? ? ? ? ?服 从 正 态 分 布 且 则的值 等于（ ） A 0.5 B 0.2 C 0.3 D 0.4 二、填空题 3 13 .函数
5、 )3(sin1 2 ? xy 的最小正周期是 _ 14数列 ),60c o s1000l g () , . . .60c o s1000l g (),60c o s1000l g (,1000lg 01020 ? n?的前 _项和为最大？ 15曲线 C上的点到 12(0, 1), (0,1)FF? 的距离之和为 4，则曲线 C的方程是 16长方体 1111 DCBAABCD? 的 8 个顶点都在球 O 的表面上， E 为 AB 的中点， 3?CE ，935cos ?ACE ，且四 边形 11AABB 为正方形，则球 O 的直径为 . 三、解答题 17为考察高中生的性别与是否喜欢体 育课程之间
6、的关系 , 在我市某普通中学高中生中随机抽取200 名学生 , 得到如下 22? 列联表： 喜欢体育课程 不喜欢体育课程 合计 男 30 60 90 女 20 90 110 合计 50 150 200 （ 1）根据独立性检验的基本思想 , 约有多大的把握认为“性别与喜欢体育课之间有关系” ？ （ 2）若采用分层抽样的方法从不喜欢体育课的学生中随机抽取 5 人 , 则男生和女生抽取的人数分别是多少？ （ 3）从（ 2）随机抽取的 5 人中，再随机抽取 3 人 , 该 3 人中女生的人数记为 ? ,求 ? 的数学期望 . 18为把中国武汉大学办成开放式大学，今年樱花节武汉大学在其属下的艺术学院和文
7、学院分别招募 8 名和 12 名志愿者从事兼职导游工作，将这 20 志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：厘米）若身高在 175cm及其以上定义为“高个子”，否则 定义为“非高个子”且只有文学院的“高个子”才能担任兼职导游。 （ 1）根据志愿者的身高茎叶图指出文学院志愿者身高的中位数 （ 2）如果 用分层抽 样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取 5 人，再从这 5 人中选 2 人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少 （ 3）若从所有“高个子”中选 3名志愿者。用 ? 表示所选志愿者中能担任“兼职导游”的人数，试写出 ? 的分布列，并求 ? 的数学期望 4 19如图，已知 P 是椭圆 )0(
8、12222 ? babyax 上且位于第一象限的一点， F 是椭圆的右焦点， O是椭圆的中心， B 是椭圆的上顶点， H 是直线 cax 2? （ c 是椭圆的半焦距）与 x 轴的交点，若OFPF? , OPHB/ ,试求椭圆的离心 率的平方的值 . 20 已知数列 ?na 中， 12,a a a t?（常数 0t? ）， nS 是其前 n 项和，且 ? ?12nn n a aS ? （ 1）试确定数列 ?na 是否为等差数列，若是，求出其通项公式；若不是，说明理由； （ 2）令 ? ?*211212 , 2 2 3nnnnSSb n b b b n n N? ? ? ? ? ? ? ? ?
9、?证 明 ： 8 9 1 2 5 8 9 3 4 6 0 1 9 9 6 5 0 7 2 1 艺术学院 文学院 15 16 17 18 19 参考答案 ADAAB DBAAC 11 D 12 D 13 ? 14 10 15 22143yx? 16 4或 51 17（ 1）约有 0097.5 以上的把握认为“性别与喜欢体育课之间有关系” . （ 2）男生抽取人数 2 人 , 女生抽取人数 3 人 . （ 3） ? 的数学期望 1.8 . （ 1） ? ? 22 2 0 0 3 0 9 0 6 0 2 0 6 .0 6 1 5 .0 2 49 0 1 1 0 5 0 1 5 0K ? ? ? ?
10、? ? ?,?约有 0097.5 以上的把握认为“性别与喜欢体育课之间有关系” . （ 2）男生抽取人数有： 60 5260 90? 人 , 女生抽取人数有： 90 5360 90? 人 . （ 3）由（ 2）可知 , 男生抽取人数为 2 人 ,女生抽取人数为 3 人 , 所以 ? 的取值为 1,2,3 . ? ? ? ? ? ?1 2 2 1 33 2 3 2 33 3 35 5 53 6 11 , 2 , 31 0 1 0 1 0C C C C CP P PC C C? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, 所以 ? 的数学期望 3 6 11 2 3 1 .81 0 1 0 1 0E
11、? ? ? ? ? ? ? ?. 18（ 1） .? （ 2） 710 （ 3） ? 0 1 2 3 P 1056 3056 1556 156 E? 98 解 ：（ 1 ） 根 据 志 愿 者 的 身 高 编 茎 叶 图 知 文 学 院 志 愿 者 身 高 的 中 位 数 为 ： 5.1682 169168 ? ? 2分 （ 2）由茎叶图可知，“高个子”有 8人，“非高个子”有 12 人， ?按照分层抽样抽取的 5人中“高个子”为 85220?人，“非高个子”为 125320?人； 则至少有 1人为高个子的概率 P 1 2325 710CC ? 6 分 （ 3）由题可知：文学院的高个子只有 3
12、人，则 ? 的可能取值为 0,1， 2,3； 故 3538 10( 0) 56CP C? ? ? ?， 215338 30( 1) 56CCP C? ? ? ?， 125338 15( 2) 56CCP C? ? ? ?， 3338 1( 3) 56CP C? ? ? ?， 即 ? 的分布列为： ? 0 1 2 3 P 1056 3056 1556 156 E? 0 1056? 1 3056? 2 1556? 3 156? 98 。 19 215? . 解 依题意知 H 2 ,0ac?， F(c,0)， B(0， b) 设 P(xP， yP)，且 xP c，代入到椭圆的方程， 得 yP 2ba
13、 . P 2,bca?. HB OP， kHB kOP，即2200bb aa cc? ? ab c2. e ca bc ， e2 222acc? e 2 1. e4 e2 1 0. 0e1， 2 512e ? . 20（ 1）数列 ?na 是等差数列， ? ?1na n t? ；（ 2）见解析 （ 1）令 n 1可得 110aS?，即 a 0， 2nn naS ?， 1分 ? ? ? ?11 1 222 nnn n n nanaa S S n? ? ? ? ? ?，可得 ? ? ? ? 121nnn a n a ? ? ?，当 n 2成立， 2分 当 n 3时， ? ? ? ? 121nnn
14、a n a ? ? ? ， ? ? ? ?1232nnn a n a? ?， ? ? ? ?2343nnn a n a? ? ?， ， 322aa? ，这些式子相乘可得：2 1na na ?， ? ?1na n t? ， 5分 ? ? ? ?1 12nna a n t n t t? ? ? ? ? ? 显然当 n 1， 2时满足 上式，数列 ?na 是等差数列， ? ?1na n t? ； 6分 （ 2）由（ 1）可知， ? ?12n nnSt?，从而可得 2 1 12222n nnb n n n n? ? ? ? ? ? 7分 12 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 22 2 1 2 33 2 4 3 5 1 1 2 1 2nb b b n nn n n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 22,12nn?均大于 0， 12 23nb b b n? ? ? ? ? 10分 ? ? 223 12fn nn? ? ?是关于 n的增函数， f（ n）的最小值为 ? ? 2 2 41 3 02 3 3f ? ? ? ? ? ， 122 nn b b b? ? ? ?， 故 ? ?*122 2 3nn b b b n n N? ? ? ? ? ? ? 12分
