1、 1 2016-2017 学年第二学期高三数学周练试题（ 4.16） 一、选择题 1已知函数 的周期为 ,当 时 , 如果 ，则函数的所有零点之和为（ ） A. B. C. D. 2 函数 的定义域为 ，图象如图 3 所示：函数 的定义域为 ，图象如图 4 所示，方程 有 个实数根，方程 有 个实数根，则 （ ） A. 14 B. 12 C. 10 D. 8 3 已知函数 其中 ，对于任意 且 ，均存在唯一实数 ，使得 ，且 ，若 有 4 个不相等的实数根，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4 已知函数 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递增，若对于任意 ， 恒成立，则 的取值范
2、围是（ ） A. B. C. D. 5 已知函数 的图象过点 ，令 （ ），记数列 的2 前 项和为 ，则 （ ） A. B. C. D. 6 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，焦距为 ，抛物线的准线交双曲线左支于 两点 ，且 ，其中 为原点，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 7如图， 中， 是斜边 上一点，且满足： ,点 在过点 的直线上，若 , ,则 的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 8已知 ，给出下列四个命题： 其中真命题的是 ( ) A. B. C. D. 9五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬 币 .若 硬币
3、正面朝上 , 则这个人站起来 ; 若硬币正面朝下 , 则这个人继续坐着 . 那么 , 没有相邻的两 个人站起来的概率为（ ） A. B. C. D. 10 已知函数 ，设关于 的方程 有 个不同的实数解，则 的所有可能的值为（ ） A. 3 B. 1 或 3 C. 4 或 6 D. 3 或 4 或 6 11 已知 ，若 在区间 上有且只有一个极值点，则 的取值范围是（ ） 3 A. B. C. D. 12 对任意的 ，不等式 恒成立，则正实数 的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、填 空题 13 已知各项都为整数的数列 中， ，且对任意的 ，满足 ， ，则 _ 14已知函数 在 处取得
4、极值，若 ，则 的最小值是 _； 15 如图，直角梯形 中， ， .在等腰直角三角形 中， ， 点 分别为线段 上的动点，若 ， 则 的取值范围是 _. 16 设抛物线 （ ）的焦点为 ，准线为 .过焦点的直线分别交抛物线于 两点，分别过 作 的垂线，垂足 .若 ，且三角形 的面积为 ，则 的值为_. 三、解答题 17 已知 为椭圆 的左右焦点，点 为其上 一点，且有4 . （ 1）求椭圆 的标准方程； （ 2）圆 是以 ， 为直径的圆，直线 与圆 相切，并与椭圆 交于不同的两点，若 ，求 的值 . 18 已知函数 ， 其中 （）若函数 在 处的切线与直线 垂直，求 的值； （）讨论函数 极值
5、点的个数，并说明理由； （）若 ， 恒成立，求 的取值范围 . 19已知椭圆 的中心在原点，离心率等于 ，它的一个短轴端点恰好是抛物线 的焦点 （ 1）求椭圆 的方程； （ 2）已知 、 是椭圆上的两点， ， 是椭圆上位于直线 两侧的动点 .若直线 的斜率为 ，求四边形 面积的最大值； 当 ， 运动时，满足 ,试问直线 的斜率是否为定值，请说明理由 20 已知椭圆 ： 的焦点在 轴上，椭圆 的左顶点为 ，斜率为 的直线交椭圆 于 ， 两点，点 在椭圆 上， ，直线 交 轴于点 . （）当点 为椭圆的上顶点， 的面积为 时，求椭圆的离心率； （）当 ， 时，求 的取值范围 . 参考答案 1 A
6、【解析】由已知 ,在同一坐标系中分别画出函数 的图象和 的图象 ,如下图所示 , 当 时 , 为 增 函 数 , 且 , 当 时 , ,两个函数的图象没有交点 ,根据它们的图象都是关于直线 对称 ,结合图象知有 8个交点 ,利用对称性 ,这 8个交点的横坐标之和为 ,即所有零点之和为 8.选 A. 点睛 : 本题主要考查函数的零点 ,属于中档题 . 求解本题 ,关键是研究出函数的性质 ,作出其图象 ,将函数 的零点转化为求函数 的图象和 的图象的交点 ,利用对称求出零点之和 .本题考查了数形结合思想 . 2 A 【解析】由方程 可知 ，此时 有 7 个实根，即 ； 由方程 可知 ，所以 ，故选
7、 A. 3 D 【解析】由题意 在 上单调递增，要满足题意“对任意的 且 ，均存在唯一实数 ，使得 ，且 ”，则 在 上递减，且 ，即 ，函数图象如图所示，显然方程 最多有两解，方程 有 4 个不等实根，则与 都有两解，因此 ，即 ，解得 点睛：本题考查函数的零点与方程根的关系，解题方法是把问题转化为函数图象的交点问题（最好是动直线与函数图象交点），解题时需研究函数的性质，如单调性、奇偶性、对称性，函数的极值，函数值的变化趋势，特殊点等，这样动直线 与函数图象交点问题才能一目了然 4 B 【 解 析 】 因 为 是 偶 函 数 ， 所 以 不 等 式 可化为，又 在 上单调递增，所以 ，而的最
8、小值为 1，所 以 ， ，解得 5 B 【 解 析 】 由 题 意 得 ，所以 ，从而，即 ，选 B. 点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数 和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，除本题中 外，裂项相消法常用于形如 (其中 是各项均不为零的等差数列， c 为常数 )的数列 . 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和 (如本例 )，还有一类隔一项的裂项求和，如 或 . 6 C 【解析】如下图： ， , ,代入双曲线方程，可得 ，解得 ，选 C. 对于求离心率的题，重要的是根据几何关系，或代数关系建立关于 或 的等式，再进一步求出离心率。 7 B 【解析】 ，因为 三点共线
9、，所以 ，因此 ，选 B. 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数 )、“定” (不等式的另一边必须为定值 )、“等” (等号取得的条件 )的条件才能应用，否则会出现错误 . 8 D 【解析】 可行域为一个三角形 ABC 及其内部，其中 ,所以直线过点 A 时取最 小值 ； 过点 A 时取最大值 ；斜率 最大值为，到原点距离的平方的最小值为 ，因此选 D. 点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是
10、点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围 . 9 B 【解析】 一共有 种基本事件，其中没有相邻的两个人站起来包括如下情况：没有人站起来， 共 1种基本事件；只有一个人站起来，有 种基本事件；有两个人站起来，只有 这五种基本事件，因此所求概率为 ,选 B. 10 B 【解析】由已知， ，令 ，解得 或 ，则函数 在和 上单调递增，在 上单调递减，极大值 ，最小值 . 综上可考 查方程 的根的情况如下（附函数 图）： （ 1）当 或 时，有唯一实根； （ 2）当 时，有三个实根； （ 3）当 或 时，有两个实根； （ 4）当 时，无实根 . 令 ，则由 ，得 ， 当 时，由
11、 ， 符号情况（ 1），此时原方程有 1 个根， 由 ，而 ，符号情况（ 3），此时原方程有 2 个根，综上得共有 3 个根； 当 时，由 ，又 ， 符号情况（ 1）或（ 2），此时原方程有 1 个或三个根， 由 ，又 ，符号情况（ 3），此时原方程有两个根， 综上得共 1 个或 3 个根 . 综上所述， 的值为 1 或 3.故选 B. 点睛：此题主要考查函数单调性、最值等性质在求方程根 的个数的问题中的应用，以及导数、数形结合法在研究函数单调性、最值中的应用等有关方面的知识和技能，属于高档题型，也是高频考点 .方程的实根分 布情况，常常与参数的取值范围结合在一起 ，解答这类问题，有时需要借助
12、于导数从研究函数的单调性入手，使问题获得比较圆满的解决 . 11 B 【解析】 对函数 求导可得 ，设 , ，当 时， 在 上恒成立，即函数 在 上为增函数，而 ， ，则函数 在区间 上有且只有一个零点 ，使，且在 上， ，在 上， ，故 为函数 在区间 上唯一的极小值点；当 时，因为 ，所以 成立，则函数在区间 上为增函数，又此时 ，所以 在区间 上恒成立，即 ，故函数 在区间 上为单调递增函数，所以 在区间 上无极值；当 时， ，因为 ，所以总有 成立，即成立，故函数 在区间 上为单调递增函数，所以 在区间 上无极值，综上所述，得 . 点晴 :本题考查了函数与极值的综合应用 .考查函数需先
13、求一阶导数 成立的 ，再判断零点两侧的导数值是否异号，如果零点左侧导数为正，右侧导数为负，那么是 极大值点，如果零点左侧导数为负，右侧导数为正，那么 是极小值点，或是求导数后将问题转化为定义域内存在的问题，而本题求一阶导数后函数非常复杂，需将导函数中影响正负的那部分函数拿出来，重新设一个新的函数，再求二阶导函数，求导后可判断函数的单调性 和最值，从而判断是否存在零点 . 12 A 【解析】由 的任意性，不妨取 ，则原不等式可化为 ，即 ，令 ， 则 ，令 ，则，则该函数单调递增，所以 在 上只有一个零点，设该零点为 ，则 ，所以 ，即 ，所以 ，应选答案 A。 点睛：本题求解难度较大，解答时要充分利用题设中的有效信息，先将两个变量化为一个变量，再灵活运用导数这一重要工具，通过两次求导使得函数的变化情况较为明确，最后借助不等式恒成立，从而求得参数的取值范围，使得问题简捷、巧妙获解。
