1、 - 1 - 河北定州中学 2017-2018 学年第二学期高三数学开学考试 一、单选题 1 已知函数 ? ? lnf x x x?， ?fx的图像在点 P 处的切线 1l 与 y 轴交于点 A ，过点 P 与 y轴垂直的直线 2l 与 y 轴交于点 B ，则线段 AB 中点 M 的纵坐标的最大值是（ ） A. 12e? B. 1e? C. 2ln2 3? D. 3ln2 2? 2 已知三棱柱 1 1 1ABC ABC? 的各条棱长相等，且 11 60A A B A A C A B C? ? ? ? ? ?，则异面直线 1AB与 1AC 所成角的余弦值为（ ） A. 36 B. 55 C. 3
2、3 D. 66 3 若函数 ? ?y f x? 图像上存在两个点 A ， B 关于原点对称，则对称点 ? ?,AB 为函数? ?y f x? 的“孪生点对”，且点对 ? ?,AB 与 ? ?,BA 可看 作同一个“孪生点对” .若函数 ? ?fx? 32 2 , 0 6 9 2 , 0xx x x a x? ? ? ? ? ?恰好有两个“孪生点对”，则实数 a 的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 4 已知 0a? 且 1a? ，若当 1x? 时，不等式 xa ax? 恒成立，则 a 的最小值是 ( ) A. e B. 1e C. 2 D. ln2 5 已知 ABC 中， si
3、nA ， sinB ， sinC 成等比数列，则 sin2sin cosBBB? 的取值范围是 ( ) A. 2,2? ?B. 20,2? ?C. ? 1, 2? ? D. 330,2? ?6 将函数 ? ? 2 sin 26f x x ?的图像向左平移 12? 个单位，再向下平移 1 个单位，得到 ?gx的图像，若 ? ? ? ?129g x g x ? ，且 ? ?12, 2 , 2xx ? ，则 122xx? 的最大值为（ ） A. 5512? B. 5312? C. 256? D. 174? 7 已知命题 p：椭圆 25x2 9y2 225 与双曲线 x2 3y2 12 有相同的焦点；
4、命题 q：函数- 2 - ? ? 22 54xfx x ? ? 的最小值为 52 ，下列命题为真命题的是 ( ) A. p q B. ( p? ) q C. ? (p q) D. p (? q) 8 已知不等式 (ax 3)ex x 0 有且只有一个正整数解，则实数 a 的取值范围是 ( ) A. 21 1 33, 2ee? ?B. 21 1 33,22ee? ?C. 21 1 33, 2ee?D. 21 1 33, 22ee? ?9 已知直线 l 过抛物线 C： y2 4x 的焦点， l 与 C 交于 A， B 两点，过点 A， B 分别作 C 的切线，交于点 P，则点 P 的轨迹方程为 (
5、 ) A. x 1 B. x 2 C. y2 4(x 1) D. y2 4(x 2) 10 已知函数 ? ? ? ?22( 0) , 0,x x xfx e x x? ? ? ? ? ? 1xg x e a?，其中 e 为自然对数的底数，若? ? ? ?y f x g x?有两个零点，则实数 a 的取值范围是（ ） A. ? ?, e? B. 2,3e?C. ? ? ? ?, 1, 0e? ? ? ? D. ? ?2, 1, 03e? ? ? ?11 抛物线 2:2C y px? 的准线交 x 轴于点 M ，过点 M 的直线交抛物线于 NQ、 两点， F为抛物线的焦点，若 90NFQ? ? ?
6、 ，则直线 NQ 的斜率 ( 0)kk? 为（ ） A. 2 B. 2 C. 12 D. 22 12 如图为正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? ，动点 M 从 1B 点出发，在正方体表面上沿逆时针方向运动一周后，再回到 1B ，运动过程种，点 M 与平面 11ADC 的距离保持不变，运动的路程 x 与11l MA MC MD? ? ?之间满足函数关系 ? ?l f x? ，则此函数图象大致是（ ） - 3 - A. B. C. D. 二、填空题 13 已知函数 ? ? ? ?2 2 1 , 0 , , 0 ,x a x a xfx ln x x? ? ? ? ? ? 2 12g
7、x x a? ? ?.若函数 ? ? ?y f g x? 有4 个零点，则实数 a 的取值范围是 _. 14 已知抛物线 2: 2 ( 0)C y px p?的焦点为 F ，点 ? ?0,2 2Mx0()2px ?是抛物线 C 上一点，以 M 为圆心的圆与线段 MF 相交于点 A ，且被直线 2px? 截得的弦长为 3 MA ，若 2MAAF?，则 AF? _ 15 已知 12,FF是双曲线 22 1( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?的左，右焦点， 点 P 在双曲线的右支上，如果 ? ? ?12 1, 3PF t PF t?，则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是_ 16
8、 在 ABC? 中，角 ,ABC 的对边分别为 ,abc，且满足条件 2 2 2 1b c a bc? ? ? ?， 4cos cos 1 0BC? ? ?，则 ABC? 的周长为 _ 三、解答题 17 已知函数 ? ? ? ?21 lnf x a x x? ? ?， aR? . （ 1）当 2a? 时，求函数 ? ?y f x? 在点 ? ? ?1, 1Pf 处的切线方程； （ 2）当 1a? 时，令函数 ? ? ? ? ln 2 1g x f x x x m? ? ? ? ?，若函数 ?gx在区间 1,ee?上有两个零点，求实数 m 的取值范围 . 18 已知函数 ? ? ? ?21ln
9、2f x x x m x x m R? ? ? ?. (1)若函数 ?fx在 ? ?0,? 上是减函数，求实数 m 的取值范围； - 4 - (2)若函数 ?fx在 ? ?0,? 上存在两个极值点 12,xx，且 12xx? ，证明： 12ln ln 2xx?. 参考答案 DAAAB ABAAC 11 D 12 C 13 ? ?51,1 1,2? ? ?14 1 15 ?0, 3? 16 3 17 （ 1）切线方程为 1yx?；（ 2）实数 m 的取值范围是211,2 e? ?. （ 1）当 2a? 时， ? ? ? ?22 1 lnf x x x? ? ? 22 4 ln 2x x x? ?
10、 ? ?. 当 1x? 时， ?10f ? ，所以点 ? ? ?1, 1Pf 为 ? ?1,0P ， 又 ? ? 1 4 4f x x x? ? ?，因此 ? ? 1 1kf?. 因此所求切线方程为 ? ?0 1 1 1y x y x? ? ? ? ? ? ?. （ 2）当 1a? 时， ? ? 22 lng x x x m? ? ?， 则 ? ? ? ? ?2 1 122 xxg x xxx? ? ? ? ?. 因为 1,xee?，所以当 ? ?0gx? 时， 1x? ， 且当 1 1xe?时， ? ?0gx? ；当 1 xe?时， ? ?0gx? ； 故 ?gx在 1x? 处取得极大值也即
11、最大值 ? ?11gm?. 又2112gmee? ? ?， ? ? 22g e m e? ? ?， ? ? 2 21122g e g m e mee? ? ? ? ? ? ? 24 e? ? ? 21 0e? ， - 5 - 则 ? ? 1g e ge? ?，所以 ?gx在区间 1,ee?上的最小值为 ?ge， 故 ?gx在区间 1,ee?上有两个零点的条件是 ? ?21 1 0 1120gmgmee? ? ? ? ? ? ?2112m e? ? ? ?， 所以实数 m 的取值范围是211,2 e? ?. 18 (1) 1me? ； (2)证明见解析 . (1)由函数 ?fx在 ? ?0,?
12、上是减函数，知 ? ?0fx? 恒成立， ? ? ? ?21l n l n2f x x x m x x f x x m x? ? ? ? ? ?. 由 ? ?0fx? 恒成立可知 ln 0x mx?恒成立，则maxlnxm x?， 设 ? ? lnxx x? ? ，则 ? ?21 ln xx x? ?， 由 ? ? ? ? 0 0 ,x x e? ? ? ?， ? ?0x x e? ? 知， 函数 ?x? 在 ? ?0,e 上递增，在 ? ?,e? 上递减， ? ? ? ?m ax 1xee?， 1me? . (2)由 (1)知 ? ? lnf x x mx?. 由函数 ?fx在 ? ?0,?
13、 上存在两个极值点 12,xx，且 12xx? ，知 11220 0lnx mxlnx mx?， 则 1212ln lnxxm xx? ? 且 1212ln lnxxm xx? ? ， 联立得 1 2 1 21 2 1 2ln ln ln lnx x x xx x x x? ，即11221 2 11211 2 221 l nl n l n l n1xxx x xxxxx x xx? ? ? ? ? ?， - 6 - 设 ? ?12 0,1xt x? ，则 ? ?12 1 lnln ln 1ttxx t? ?， 要证 12ln ln 2xx?， 只需证 ? ?1 ln 21ttt? ? ，只需证 ? ?21ln 1tt t ? ? ，只需证 ? ?21ln 01tt t ? . 构造函数 ? ? ? ?21ln 1tg t t t ? ?，则 ? ? ? ? ? ? ?222114011tgt tt t t? ? ? ?. 故 ? ? ? ?21ln 1tg t t t ? ?在 ? ?0,1t? 上递增， ? ? ? ?10g t g?，即 ? ? ? ?21ln 01tg t t t ? ? ?， 所以 12ln ln 2xx?.
