1、 - 1 - 中学生标准学术能力诊断性测试 2018年 2 月测试 数学理科试卷 本试卷共 150分，考试时间 120分钟 。 一、选择题：本题共 .12小题，每小题 5分，共 60分 。 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 、 1.已知集合 A= 33811|1 ? ?xZx， B= 032| ? xxNx ， 则集合 ByAxxyzz ? ,| 的元素个数为 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 2.设随机变 量 ? 服从 正 态分布 ),1( 2?N , 若 2.0)1-( ?P ，则函数 xxxxf 22331)( ? 有极值点的概率是 A. 0.2 B.0.7
2、C.0.3 D.0.8 3.下列命题中 ： （ 1）“ 1x ” 是 “ 12x ” 的充分不必要 条件 （ 2） 命题 “ 若 a, b都是奇数，则 a + b是偶数 ” 的逆否命题是 “ 若 a+ b不是偶数 ， 则 a， b都不是奇数 ” （ 3） 命题“ 0x? ，都有 21?xx ” 的否定是 “ 00x? ,使得 210 oxx ?” （ 4） 已 知 p， q为简单命题，若 p? 是假命题 ，则 qp? 是真命题 。 正 确 命题的个数为 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.设 an是公差为 2的等差数列 ， bn=a2n ,若 bn为 等比数列，其前 n顼 和为 Sn，
3、则 Sn为 A. )12(2 ?n B. )12(2 1?n C. )12(4 ?n D. )12(4 1?n 5.若函数 aexf x ?)( ， （ e为自然数的底数），对任意实数 x ， )()( xfxf ? 恒成立 ，则 实数a 的 取值 范围是 A.（ -， 1 B.（ 1.+） C.（ e,-） D.1.+） 6. 设 1010221052 .)23( xaxaxaxaxx ? , 则 1 等于 A.-240 B.-120 C.240 D.120 - 2 - 7. 个四面体的顶点在空间直 角坐标系 xyzO? 中的坐标分别是 (0,0,0)， (1,0,1)， (0,1,1)，(
4、21 ,1， 0)，绘制该四面体三视图时，按照如下图所示的方向画正视图，则得到左视图可以为 8.如图所示，程序框图的算法思路源于数学名著几何原本中的 “ 辗转相除法 ” ，执行该程序框图（图中 “ mMODn 表示 m 所除以 n 的余数），若输入的 m ， n 分别为 2016， 612， 则输出的 m = A. 0 B. 72 C. 36 D. 180 9.函数 )33,0()0,43(11)2c o s (22? xxxy 的图像大致是 10.已知抛物线 C: )0(22 ppxy ? ， 过焦点 F且斜率 为 3 的直线与 C相交于 P,Q两点，且 P,Q两点 在准线上的投影分别为 M
5、， N两点 ，则 S MFN= A. 238p B. 2332 p C. 2334 p D. 2338 p 11.已知函数 mxxxf ? 2)( 的图象在点 1?x 处的切线 l 与直线 - 3 - 023 ? yx 垂直，记数列 )(1nf 的前 n项和为 nS ，则 2018S 的值为 12,已知函数 ax xax xxf ? 1ln)1()ln()( 2 有三个不同的零点 1x ， 2x ， 3x （其中 1x 2x 3x ），则 )ln1)(ln1)(ln1(332211 x xx xx x ? 的值为 A. 1 B.a-1 C.-1 D. 1-a 二、填空题：本题共 4小题，每小题
6、 5分，共 20分。 13. O为 ABC内一点，且 02 ? OCOBOA ， ABC和 OBC的面积分别是 ABCOBCSS? = 。 14.设实数 yx, 满足?0102202yyxyx ，则xy xym 22?的取值范围是 。 15.已知双曲线 )0,0(12222 babyax ? 的两条渐近线与抛物线 )0(22 ppxy ? 的准线分别交于 A， B两点， O为坐标原点，若 双曲线的一条渐近线的倾斜角为 3? ， AOB的面积为 34 ，则 P= 。 16.如图 ，三棱锥 P-ABC是边长为 3的 等边三角形， D 是线段 AB 中点， DEPB =E，且 DE丄 AB， 若 E
7、DC= 0120 ,PA=23 ,PB= 233 ,则三棱锥 P一 ABC的外接球的半 径为 . 三、解答题：共 70 分 ， 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤，第 17? 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22、 23题为选考題，考生根据要求作答 。 () 必考题：共 60分 。 17.(12分 )在 ABC中，角 A， B,C对应的边分别为 a， b， c，己知 c = 2.b = 1，且 2sinsin 22 CBA ? . (1)求角 A的大小和 BC边的长； (2)若点 P在 ABC内运动（包括边界），且点 P到三边的距离之和为 d, 设点 P到 BC 的 距离分
8、别为x,y，试用 x,y表示 d，并 求 d的最大值和最小值 。 - 4 - 18.( 12分）如图，四棱锥 P - ABCD中，底面 ABCD 中， BC AD， CD丄 AD,P在底面的射影 0在 AD上， PA = PD， O,E 分别为 AD,PC的中点，且 P0=AD = 2BC = 2CD. (1)求证： AB DE； ; (2) 求二面角 A-PE-O 的余弦值。 19. (12分 )今年某台风在沿海登陆，适逢暑假，小张调査了 当 地某小区 100户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成（ 0,2000， (2000,4000， (4000,6000， (6000,8000
9、， (8000， 10000五组 ， 并作出如下频率分布直方图（图1）： (1)台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的 100户居民捐款情况如表格，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有 95%以上的把握认为捐款数额多于或少于 500元和自身经济损失是否到 4000元有关 ？ (1)将上述调查所得到 的频率视为概率 *现在从该地区大量受灾居民中，釆用随机抽样方法每次抽取1 户居民，抽取 3次，记 被抽取的 3户居民中自身 经济损失超过 4000元的人数为 ? 。若每次抽取的结果是相互独立的，求 ? 的分布列，期望 E(? )和方 差 D（ ? ） . - 5 - 20. (12分
10、 )已知椭圆 M: )0,0(12222 babyax ? ,右焦点为 F，与直 线 773?y 相交于 P、 Q两点，若椭圆从经过点 (0， 3 )且 PF 丄 QF. (1)求椭圆 M的方程 ； (2) 0为坐标原点， A、 B、 C是椭圆 M上不同的三点，并且 O为 ABC的重心，试求 ABC的面积 。 21. (12分）已知函数 Ranexaxf x ? ? ,_1ln)( 1. (1)若 a=1，求 )(xf 的单调区间； (2)若 )()(0, mfxfx ? 恒成立 ， 且 0)( ?xf ， 求证： )1(2)( 2 mmmf ? . (二）选考题：共 10 分 。 请考生在第
11、 22、 23题中任选一题作答 ， 如果多做，则按所做的第一题计分 。 22.选修 4-4:坐标系与参数方程 (10 分） 在直角坐标系 xoy 中，以坐标原点为极点， x 轴的 正半 轴为极轴建立极坐标系 。 半圆 C (圆心为点 C） 的参数方程为 ? ? sin1cosyx为参数， ? ),0( ? . (l)求半圆 C的极坐标方程； (2)若一 直线与量坐标轴的交点分别为 A,B,其 中 A(0， -2),点 D在半圆 C上，且真线 CD的倾斜角是直线 AB 倾斜角的 2倍，若 ABD 的面积为 4, 点 D的直角坐标。 23.选修 4-5 不等式选讲 （ 10分） 已 知函数 .|1|2|)( ? xmxxf 若 m = -2 时， 解 不等式 5)( ?xf ； (2)若 )5()( ? xmxf ， 求 m的 最小 值。 - 6 - - 7 - - 8 - - 9 - - 10 -
