1、 1 2017 年河南省六市高三第一次联考 数学（理科） 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：（本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .） 1.已知集合 ? ? ? ? ? ?22, y | 0 , , | 1A x y x B x y x y? ? ? ? ? ?， C A B? ，则 C 的子集的个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 4 2.复数 z 满足 ? ?11z i i? ? ? ，则复数 z 的实部与虚部之和为 （ ） A 2 B 2? C 1 D 0 3.设直线 ,mn是两条不同的直线， ,?是两个不
2、同的平面，下列事件中是必 然事件的是 （ ） A若 / / , / / , m nmn? ?，则 ? B若 / / , , m / / nmn? ，则 /? C若 , / / , m nmn?，则 /? D若 , , m / / nmn? ，则 /? 4. 给出下列四个结论： 已知 X 服从 正态分布 ? ?20,N ? ，且 ? ?2 2 0 .6PX? ? ? ?，则 ? ?2 0.2PX?； 若命题 ? ? 20 0 0: 1 , , 1 0p x x x? ? ? ? ? ?，则 ? ? 2: , 1 , 1 0p x x x? ? ? ? ? ? ?； 已知直线 12: 3 1 0
3、, : 1 0l a x y l x b y? ? ? ? ? ?，则 12ll? 的充要条件是 3ab? 其中正确的结论的个数为： （ ） A 0 B 1 C. 2 D 3 5.在 ABC? 中， 1 3 1 0ta n , c o s2 1 0AB?，则 tanC 的值是 （ ） A 1 B -1 C. 2 D -2 6.下面程序框图的算法思路源于数学名著几何原本中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“ mMODn ”表示 m 除以 n 的余数），若输入的 ,mn分别为 495， 135，则输出的 m? （ ） 2 A 0 B 5 C. 45 D 90 7.已知 2z x y?，其中实数
4、 ,xy满足 2yxxyxa?，且 z 的最大值是最小值的 4 倍，则 a 的值是 （ ） A 211 B 14 C. 4 D 112 8.已知 ?fx是定义在 R 上的偶函数，且 3122f x f x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?恒成立，当 ? ?2,3x? 时， ? ?f x x? ，则当 ? ?2,0x? 时， ? ?fx? （ ） A 21x? B 31x? C. 2x? D 4x? 9.将函数 ? ? 2cos 2f x x? 的图象向右平移 6? 个单位后得到函数 ?gx的图象，若函数 ?gx在区间0,3a?和 72,6a ?上均单调递增，则实数 a 的取值范围是
5、 （ ） A ,32?B ,62?C. ,63?D 3,48?10. 已知 21、FF是双曲线 ? ?2222 1 0 , 0yx abab? ? ? ?的上、下焦点，点 2F 关于渐近线的对称点恰好落在以 1F 为圆心， 1OF 为半径的圆上，则双曲线的离心率为 （ ） A 3 B 3 C. 2 D 2 3 11. 一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是下图，图中圆内有一个以圆心为中心边长为 1 的正方形，则这个四面体的外接球的表面积是（ ） A ? B 3? C. 4? D 6? 12.中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太 极图是由黑白两个鱼形纹组成
6、的圆形图案， 充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美，给出定义：能够将圆 O 的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的 “优美函数”，给出下列命题： 对于任意一个圆 O ，其 “优美函数“有无数个”； 函数 ? ? ? ?22ln 1f x x x? ? ?可以是某个圆的 “优 美函数”； 正弦函数 sinyx? 可以同时是无数个圆的 “优美函数”； 函数 ? ?y f x? 是 “优美函数”的充要条件为函数 ? ?y f x? 的图象是中心对称图形 其中正确的命题是：（ ） A B C. D 第 卷（共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，将答案填
7、在答题纸上） 13.已知向量 ? ? ? ?1, , 1, 1a x b x? ? ?，若 ? ?2a b a?，则 2ab? 14. ? ?5221xx? 的展开式中， 3x 的系数为 （用数字填写答案） 15. 在 ABC? 中，角 ,ABC 的对边分别为 ,abc，且 2 cos 2c B a b?，若 ABC? 的面积为32Sc? ，则 ab 的最小值为 4 16.椭圆 22:143xyC ?的上、下顶点分别为 12、AA，点 P 在 C 上且直线 2PA 斜率的取值范围是? ?2, 1? ，那么直线 1PA 斜率的取值范围是 三、解答题 （本题必作题 5 小题，共 60 分；选作题
8、2 小题，考生任作一题，共 10 分 .） 17.观察下列三角形数表： 假设第 n 行的第二个数为 ? ?*2,na n n N?， （ 1）归纳出 1na? 与 na 的关系式，并求出 na 的通项公式； （ 2）设 ? ?12nna b n?，求证： 23 2nb b b? ? ? ? 18.如图所示的几何体中， 1 1 1ABC ABC? 为三棱柱，且 1AA? 平 面 ABC ，四边形 ABCD 为平行四边形， 02 , 6 0A D C D A D C? ? ? （ 1）若 1AA AC? ，求证： 1AC? 平面 11ABCD ； （ 2）若 ? ?12, 0CD AA AC? ?
9、 ?，二面角 1A CD C?的余弦值 为 55，求三棱锥 11C ACD? 的体积 19.为了对 2016 年某校中考成绩进行分析，在 60 分以上的全体同学中随机抽出 8 位，他们的数学分数（已折算为百分制）从小到大排是 60、 65、 70、 75、 80、 85、 90、 95，物理分数从小到大排是 72、77、 80、 84、 88、 90、 93、 95 （ 1）若规定 85 分（包括 85 分）以上为优秀，求这 8 位同学中恰有 3 位同学的数学和物理分数均为优秀的概率； 5 （ 2）若这 8 位同学的数学、物理、 化学分数事实上对应如下表： 学生编号 1 2 3 4 5 6 7
10、 8 数学分数 x 60 65 70 75 80 85 90 95 物理分数 y 72 77 80 84 88 90 93 95 化学分数 z 67 72 76 80 84 87 90 92 用变量 y 与 、xz与 x 的相关系数说明物理与数学、化学与数学的相关程度； 求 y 与 、xz与 x 的线性回归方程（系数精确到 0.01），当某同学的数学成绩为 50 分时，估计其物理、化学两科的得分 参考公式：相关系数? ? ? ? ? ?12211niiinniiiix x y yrx x y y?， 回归直线方程是： ?y bx a?，其中? ? ? ? ?121,niiiniix x y y
11、b a y b xxx? ? ?， 参考数据： ? ? ? ?8822117 7 . 5 , 8 5 , 8 1 , 1 0 5 0 , 4 5 6iiiix y z x x y y? ? ? ? ? ? ?，? ? ? ? ? ?882115 5 0 , 6 8 8i i iiiz z x x y y? ? ? ? ? ， ? ? ? ?8 1 7 5 5 , 1 0 5 0 3 2 . 4iii x x z z? ? ? ? ? ， 4 5 6 2 1 .4 , 5 5 0 2 3 .5? 20. 如图，抛物线 2:2C y px? 的焦点为 F ，抛物线上一定点 ? ?1,2Q （ 1）
12、求抛物线 C 的方程及准线 l 的方程； （ 2）过焦点 F 的直线（不经过 Q 点）与抛物线交于 ,AB两点，与准线 l 交于点 M ，记 ,QAQB QM的斜率分别为 1 2 3,k k k ，问是否 存在常数 ? ，使得 1 2 3k k k? 成立？若存在 ? ，求出 ? 的值；若不存在，说明理由 6 21.已知函数 ? ? ? ?3 lnx xf x a bx e x? ? ?，且函数 ?fx的图象在点 ? ?1,e 处的切线与直线? ?2 1 3 0x e y? ? ? ?垂直 （ 1）求 ,ab； （ 2）求证：当 ? ?0,1x? 时， ? ? 2fx? 请考生在 22、 23
13、 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xoy 中，直线 l 的参数方程为252252xtyt? ? ? ? ?（ t 为参数），以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立 极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 4cos? （ 1）求曲线 C 的直角坐标方程及直线 l 的普通方程； （ 2）将曲线 C 上的所有点的横坐标缩短为原来的 12 ，再将所得到的曲线向左平移 1 个单位，得到曲线 1C ，求曲线 1C 上的点到直线 l 的距离的最小值 23.选修 4-5：不等式选讲 设 ? ? 11f x x x
14、? ? ? ? （ 1）求 ? ? 2f x x?的解集； （ 2）若不等式 ? ? 1 2 1aafxa? ? ?对任意实数 0a? 恒成立，求实数 x 的取值范围 7 试卷答案 一、选择题 1-5: CDDBB 6-10: CBBAC 11、 12： BA 二、填空题 13. 2 14. -30 15. 12 16. 33,84?三、解答题 17.（ 1）依题意 ? ?1 2nna a n n? ? ? ?， 2 2a? ， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 3 2 4 3 1 212 2 3 1 2 2n n n nna a a a a a a a n? ? ? ? ?
15、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 所以 ? ?211 1222na n n n? ? ? ?； （ 2）因为 1nnab? ，所以222 2 1 1221nb n n n n n n? ? ? ? ? ? ?， 234 1 1 1 1 1 1 12 2 1 21 2 2 3 1nb b b b n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 18.（ 1）证明：设 1AC 交 1AC 于 E ，因为 1AA? 平面 ,ABCD AC? 平面 ABCD ，所以 1AA AC
16、? ，又因为 1AA AC? ，则易知四边形 11AACC 为正方形，所以 11AC AC? ， 在 ACD? 中， 02 , 6 0A D C D A D C? ? ?，由余弦定理得 2 2 2 02 c o s 6 0A C A D C D A D C D? ? ?， 所以 3AC CD? ，所以 2 2 2AD AC CD?，所以 CD AC? ， 又易知 1AA CD? ，且 1AC AA A? ，所以 CD? 平面 11AACC ， 又 1AC? 平面 11AACC ， 所以 1CD AC? ， 又 1AC CD C? ，所以 1AC? 平面 11ABCD . 8 （ 2） 建立如图
17、所示的空间直角坐标系， 则 ? ? ? ? ? ?12 , 0 , 0 , 0 , 2 3 , 0 , 0 , 0 , 2 3D A C ?，则 ? ? ? ?12 , 2 3 , 0 , 0 , 2 3 , 2 3A D A C ? ? ? ?， 所以易知平面 1ACD 的一个法向量为1 13,1,n ?. 平面 1CCD 的一个法向量为 ? ?2 0,1,0n ? ， 设 ? 为二面角 1A CD C?的平面角， 则 1221215c o s 531nnnn? ? ? ?. 得 1? ， 所以 1 23AA AC?， 所以1 1 1 111 2 3 2 3 2 432C A C D D A C CVV? ? ? ? ? ? ? ?. 19.解：（ 1）这 8 位同学中恰有 3 位同学的数学和物理分数均为优秀，则需要先从物理 4 个优秀 分数中选出 3 个与数学分数对应，种数是 ? ?3 3 34 3 4或C A A ，然后剩下的 5 个数学分数和物理分数任意对应，种数是 55A .根据乘法原理，满足条件的种数是 3354 3 5CAA
