1、 - 1 - 河南省许昌平顶山两市 2018 届高三年级第一次联合考试 数学（理科）试卷 考生注意： 本试卷满分 150 分；答题时间 120 分钟答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、考号填写在答题纸密封线内相应位置选择题每小题选出答案后，请将答案填在答题卡中相应位置，非选择题答案写在答题纸指定位置，不能答在试题卷上考试结束后，将答题纸交回 第卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知 sin 3cos3cos sin? 5，则 2cos? 12 sin2的值是 A 35 B 35 C 3 D
2、3 2已知两个单位向量 e1， e2的夹角为，则下列结论不正确的是 A el在 e2方向上的投影为 cos B e2在 e1方向上的投影为 cos C（ e1 e2）（ e1 e2） D el e2 1 3函数 f（ x） lnx 313x 的图像大致是 4定义运算 1122xyxy x1y2 x2y1，将函数 f（ x） cossin13xx 的图象向右平移（ 0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值为 A 4? B 34? C 6? D 3? 5若向量 ar 、 br 满足 ar br 4， ar 与 br 的夹角为 120， ar 在向量 ar br 上的投影等于 A 2 B
3、2? C 2 D 4 2 3 6已知函数 f（ x）的导函数是 ()fx? ，且满足 f（ x） 2x (1)f? 1lnx ，则 f（ 1） A e B 2 C 2 D e 7如图，将绘有函数 f（ x） 3 sin（ x 56? ）（ 0）部分图象的纸片沿 x 轴折成直- 2 - 二面角，若 A、 B 之间的空间距离为 10 ，则 f（ 1） A 1 B 1 C 32 D 32 8在 ABC 中，已知 ABuur ACuur 9， C 2? ， S ABC 6， P 为线段 AB 上的点，且 CPur x CACAurur y CBCBurur ，则 CPur 的最小值为 A 3 B 4
4、C 125 D 52 9已知等比数列 na ，且 a4 a6 3 20 9 x dx? ，则 a6（ a2 2a4 a6）的值为 A 294? B 29? C 28116? D 281? 10已知等差数列 na 的前 n 项 和为 nS ，且 a4 4， S5 15，则数列 11nnaa的前 2017 项和为 A 20162017 B 20172016 C 20172018 D 20182017 11设 f（ x）是定义在（， 0）上的 f（ x）的导函数，且 有 3f（ x） x ()fx? 0，则不等式（ x 2018） 3f（ x 2018） 27f（ 3） 0 的解集为 A（ 2021
5、， 2018） B（， 2018） C（ 2019， 2018） D（， 2019） 12若直线 ax y 0（ a 0）与函数 f（ x） 2cos 2017sin tanxxx 图象交于不同的两点 A， B，且点 C（ 6， 0），若点 D（ m， n）满足 DAuur DBuur 2CDuur ，则 22mn A 1 B 4 C 9 D 2a 第卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题。每小题 5 分 13已知数列 na 、 nb 满足 nb lnna ， n N，其中 nb 是等差数列，且 a9a2009 2e ，- 3 - 则 b1 b2 b3? b2017 _
6、14已知等差数列 na 的公差不为 0， 2a3 ap aq，记 1p 9q的最小值为 m若数列 nb 满足 b1 811 m， 1nb 1nnbb，若 1nb ()2nS 1 ，则 S 的最小值是 _ 15若存在实常数 k 和 b，使得函数 F（ x）和 G（ x）对其公共定义域上的任意实数 x 都满足：F（ x） kx b 和 G（ x） kx b 恒成立，则称此直线 y kx b 为 F（ x）和 G（ x）的“隔离直 线”，已知函数 f（ x） 2x （ x R）， g（ x） 1x （ x 0）， h（ x） e 2lnx ，有下列命题： F（ x） f（ x） g（ x）在 x（，
7、 0）内有最小值； f（ x）和 g（ x）之间存在“隔离直线”，且 b 的最小值为 4； f（ x）和 g（ x）之间存在“隔离直线”，且 b 的最小值为 0； f（ x）和 h（ x）之间存在唯一的“隔离直线” y 2 e x e 其中真命题的序号为 _ 16数列 na 满足 a1 43 ， 1na 1 2na na (n N )，则11a 21a ?20171a 的整数部分是 _ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（本小题满分 10 分） 已知函数 f（ x） 2sinxcosx 3 （ 2cosx 2sinx ）， x R （）求 f（ x）的单调递增区间； （）
8、 x? 4? ， 2? 恒有 f（ x） m 3 成立，求实数 m 的取值范围 18（本小题满分 12 分） 数列 na 的前 n 项和为 nS ，满足 nS 2 2n 2n （ n N） （）证明数列 na 为等差数列； （）若数列 nb 满足： na 13b 1 223b 1 333b 1? 3nnb 1，求数列 nb 的通项公式； （）令 nc 16nnab （ n N），求数列 nc n的前 n 项和 nT 19（本小题满分 12 分） 已知函数 f（ x） x lnx a（ 1x lnx）（ a 0） - 4 - （）求曲线 y f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程； （）
9、设函数 g（ x） 1x 若对于任意 x (1， e，都有 f（ x） ag（ x）成立，求实数a 的取值范围 20（本小题满分 12 分） 为了加强社区建设，提高居民的出行便利，某街道计划用若干年时间投放 5000 辆“共享单车”“共享单车”为自行车与小型电动车， 2017 年初投入了自行车 64 辆，小型电动车200 辆；计划以后自行车每 年的投入量比上一年增加 12 ，小型电动车每年比上一年多投入a 辆 （）求经过 n 年，该街道投放的“共享单车”总数 S（ n）； （）若该街道计划 6 年内完成全部投放，求 a 的最小值 21（本小题满分 12 分） 武汉园博园的襄阳园有一栋复古建筑，
10、其窗户为矩形 ABCD， 该复古建筑对窗户设计 如图所示圆 O 的圆心是矩形 ABCD 对角线的交点，且圆与矩形上下两边相切（ E 为上切点），与左 右两边相交（ F 为其中一个交点），图中阴影部分为不透光区域， 其余部分 为透光区域已知圆的半径为 1m，且 2AD AB，设 EOF，透光区域的面积为 S （）求 S 关于变量的函数关系式，并求出定义域； （）在实际生活中透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好根据设计要求，当该比值最大时，求矩形 ABCD 中阴影部分的面积。 22（本小题满分 12 分） 已知函数 f（ x）满足 f（ x） 21bax ， a 0， f（ 1） 1， (0)f? 2 （）求函数 f（ x）的表达式； （）若 a 0，数列 na 满足“ a1 23 ， 1na f（ 1na）， n b 1na 1， n N，求出nb 的通项公式； （）在（）的条件下，证明： a1b1 a2b2? na nb 1， n N - 5 - - 6 - - 7 - - 8 - - 9 -
