1、 - 1 - 福建省四校 2017届高三数学第一次联合考试试题 理 第 I卷 一、选择题： 本题共 12 小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （ 1） 若集合 2 | 5 4 0 A x N x x? ? ? ? ?， | 5 , B y y x x A? ? ? ?，则 AB? （ ） （ A） 5,0 （ B） 4,2,1 （ C） 4,3,2,1 （ D） 5,4,3,2,1,0 （ 2） 设 i为虚数单位， iia?1 为纯虚数，则实数 a 的值为（ ） （ A） -1 (B)1 (C) -2 (D)2 （ 3） 设 nS 是等差数列 na 的前
2、n项和， 9519?S ，则 ? 13107 aaa （ ） （ A） 2 （ B） 3 （ C） 5 （ D） 7 （ 4） 某校在高三第一次模拟考试中约有 1000 人参加考试，其数学考试成绩近似服从正态分布，即 )0)(,100( 2 ?aaNX ，试卷满分 150 分，统计结果显示数学考试成绩不及格（低于 90分）的人数占总人数的 110，则此次数学考试成绩在 100 分到 110 分之间的人数约为（ ） （ A） 400 （ B） 500 （ C） 600 （ D） 800 （ 5）设点 F 是双曲线 22 1( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?的右焦点，点 F 到渐近线的
3、距离与双曲线的两焦点间的距离的比值为 1:6 ，则双曲 线的渐近线方程为 ( ) （ A） 2 2 0xy? （ B） 2 2 0xy? （ C） 35 0xy? （ D） 35 0xy? （ 6） 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） （ A） 3216 3? （ B） 1616 3? （ C） 328 3? （ D） 168 3? （ 7） 函数 )(log)( bxxf a ? 的大致图象如图，则函数 baxg x ?)( 的图象可能是 ( ) - 2 - （ 8） 已 知 ,xy满足 102 2 010xyxyy? ? ? ? ?，若目标函数 2(2 )z a x y?
4、? ?的最大值为 13， 则实数 a 的值为（ ） （ A） 1? （ B） 3? （ C） 2? （ D） 3? （ 9） 执行如 图所示的程序框图，若输出的值为 -5， 则判断框中可以填入的条件为（ ） （ A） 10?z? （ B） 10?z? （ C） 20?z? （ D） 20?z? （ 10） 已知椭圆22 1( 0)abab? ? ? ?的上下左右顶点分别为, , ,ABCD，且左右焦点为12,FF，且以 为直径的圆内切于菱形ABCD，则椭圆的离心率e为（ ） （ A）2（ B）312?（ C）152（ D）2?（ 11） 四棱锥 P ABCD? 的底面 ABCD 为正方形， P
5、A? 底面 ABCD ， 2AB? ，若该四棱锥的所有顶点都在体积为 24316? 的同一球面上，则 PA? （ ） （ A） 3 （ B） 27 （ C） 32 （ D） 29 （ 12） 已知函数 xxaxf c o s3s in)( ? 的一条对称轴为 6?x ，且 4)()( 21 ? xfxf ,则 | 21 xx ? 的最小值为 （ ） （ A） 3? （ B） 2? （ C） 32? （ D） 43? 第 II卷 二、填空题 ： 本题共 4 小题，每小题 5分 。 - 3 - （ 13）已知在边长为 2 的等边 ABC? 中， D是 BC 中点， CECA 3? ，则 ?BEAD
6、 . （ 14） 在 81 ? ? xx的 二项 展开式中， 2x 的项的系数是 .（用数字作答） （ 15）设 nS 是等比数列 na 的前 n项和， 0?na ， 41?a ， 73?S ，且 mSn ? 对任意正整数 n恒成立，则 m的取值范围是 . （ 16） 已知函数 2c o ss in)( xxxxxf ? ，则不等式 1( lg ) ( lg ) 2 (1 )f x f fx?的解集为_ 三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （ 17）（本小 题满分 12 分） 在 ABC中 ，角 C,B,A 的对边分别为 c,b,a ，且 ,abc成等比数列， 5sin 1
7、3B? . （ ） 求 11tan tanAC? 的值 ； （ ） 若 12BA BC?，求 ac? 的 值 . （ 18）（本小题满分 12 分） 如图，几何体 EF ABCD中 ， CDEF为边长为 2 的正方形， ABCD为直角梯形， AB CD， AD DC， AD=2， AB=4， ADF=90 （ ） 求证： AC FB （ ） 求二面角 E FB C的大小 （ 19）（本小题满分 12 分） 某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行 “ 一元钱，一片心，诚信用水 ” 活动 ， 学- 4 - 生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱 。 现统计了连续 5 天的售出
8、和收益情况，如下表： 售出水量 x（单位：箱） 7 6 6 5 6 收益 y（单位：元） 165 142 148 125 150 () 若 x与 y成线性相关，则 某天售出 8箱水 时 ，预计收益 为 多少元？ () 期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前 200名，获一等奖学金 500元；考入年级 201 500 名，获二等奖学金 300 元；考入年级 501 名以后的特困生将不获得奖学金。甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为 52 ，获二等奖学金的概率均为 31 ，不获得奖学金的概率均为 154 . 在学生甲获得奖学金条件下，求
9、他获得一等奖学金的概率； 已知甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额 X 的分布列及数学期望。 附：? niiniiixxyyxxb121)()(， xbya ? 。 （ 20）（本小题满分 12 分） 已知点 11( , )Ax y ， 22( , )(Dx y 其中 12)xx? 是曲线 2 4 ( 0)y x y?上的两点， A ， D 两点在 x 轴上的射影分别为点 B ， C ，且 | | 2BC? . （ I）当点 B 的坐 标为 (1,0) 时，求直线 AD 的斜率； （ II）记 OAD? 的面积为 1S ，梯形 ABCD 的面积为
10、2S ，求证： 1214SS? . - 5 - （ 21） （本小题满分 12 分） 已知函数 )0(21ln)2()( ? aaxxxaxf （ ）当 0?a 时，求 )(xf 的极值； （ ）当 0?a 时，讨论 )(xf 的单调性； （ ）若对于任意的 )2,(,3,1, 21 ? axx 都有 3ln2)3ln(|)()(| 21 ? amxfxf ，求实数 m 的取值范围 请考生在第（ 22）（ 23）（ 24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 （ 22） （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图所示 ， 已知 AP 是 O 的切线 ， P 为切点
11、， AC 是 O 的割线 ， 与 O 交于 B， C 两点 ，圆心 O在 PAC的内部 ， 点 M是 BC的中点 （ I） 证明： A， P， O， M四点共圆； （ II） 求 OAM APM的大小 （ 23）（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 平面直角坐标系 xOy 中，曲线 1)1(: 22 ? yxC .直线 l 经过点 )0,(mP ，且倾斜角为 6? .以 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系 . （ I）写出曲线 C 的极坐标方程与直线 l 的参数方程； （ II）若直线 l 与曲线 C 相交于 BA, 两点，且 1?PBPA ，求实数 m 的值
12、. （ 24）（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 )(6)( Rmxmxxf ? . （ I）当 3?m 时，求不等式 5)( ?xf 的解集； （ II）若不等式 7)( ?xf 对任意实数 x 恒成立，求 m 的取值范围 . - 6 - 2017 届高三年毕业班第一次联合考试答案（理科数学） 一、选择题： （共 12小题，每小题 5分） （ 1） D （ 2） A （ 3） C （ 4） A （ 5） B （ 6） C （ 7） D （ 8） A （ 9） D （ 10） D （ 11） B （ 12） C 二、填空题 （ 共 4小题，每小题 5分 ） （ 13）
13、-1 （ 14） 70 （ 15） ),8 ? （ 16） ? 10,101三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （ 17）（本小题满分 12 分） 解 ： （）因为 ,abc成等比数列，所以 2b ac? ? 1分 由正弦定理可得 2sin sin sinA C B? ? 2分 所以 1 1 c o s c o st a n t a n s i n s i nACA C A C? ? 3分 s in c o s c o s s ins in s inC A C AAC? sin( )sin sinAC? sinsin sinBAC? ? 5分 1 13sin 5B? 6分
14、（）由 12BA BC?得 cos 12ac B? 知 cos 0B? ? 7分 由 5sin 13B? 得 12cos 13B? ? 8分 所以 2 12 13co sb ac B? ? ? 9分 由余弦定理得 2 2 2 2 c o sb a c ac B? ? ? 得 22( ) 2 2 c o sb a c a c a c B? ? ? ? 10 分 即 2 121 3 ( ) 2 1 3 (1 )13ac? ? ? ? ? ? 11分 解得 37ac? ? 12分 （ 18）（本小题满分 12 分） （） 证明：由题意得， AD DC， AD DF，且 DC DF=D， AD 平面
15、CDEF， AD FC， ? 2分 四边形 CDEF为正方形 DC FC 由 DC AD=D FC 平面 ABCD， FC AC? 4分 又 四边形 ABCD为直角梯形， AB CD， AD DC， AD=2， AB=4 22?AC ， 22?BC ，则有 AC2+BC2=AB2 AC BC 由 BC FC=C， AC 平面 FCB， AC FB ? 6分 永春一中 培元中学 季延中学 石光中学 - 7 - （） 解：由（ I）知 AD， DC， DE所在直线相互垂直，故以 D为原点， 以 DADCDE， ， 的方向 分别为 x， y， z轴 的正方向 ，建立如图所 示的空间直角坐标系 D-x
16、yz? 7分 可得 D（ 0， 0， 0）， F（ 0， 2， 2）， B（ 2， 4， 0）， E（ 0， 0， 2）， C（ 0， 2， 0）， A（ 2， 0， 0）， 由 （） 知平面 FCB的法向量为 )0,2,2(?AC )0,2,0(?EF ， )2,2,2( ?FB ? 8分 设平面 EFB的法向量为 ),( zyxn? 则有?00FBnEFn 即? ? 0222 02 zyxy令 1?z 则 )1,0,1(?n ?10分 设二面角 E FB C的大小为 ， 有图易知 ? 为锐角 21222 0120)2(1|c o s ? ? ACn ACn?所以 二面角 E FB C的大小为 3? ?12分 （ 19）（本小题满分 12 分） 解： （ I） 65 65667 ?x ， 1465 150125148142165 ?y ?1分 2001001 0210019)()(121 ?niiniiixxyyxxb ，26620146 ? xbya ? 3分 当 8?x 时， 18626820 ?y 即 某 天 售 出 8 箱 水 的 预 计 收 益 是 186元 。? 4分 ()
