1、 1 洛阳市 2016 2017 学年高中三年级第二次统一考试 数学试卷 (理 ) 第 卷 (选择题 ， 共 60 分 ) 一 、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分 ， 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 ， 只有一项是符台题目要求的 1 已知 集合 ? ?1M x y x? ? ?， ? ? ?2log 2N x y x? ? ?，则 ? ?RC M N ?I （ ） A ? ?1,2 B ? ? ? ?,1 2,? ?U C ? ?0,1 D ? ? ? ?,0 2,? ?U 2设复数 z 满足 ? ?11i z i? ? ? （ i 为虚数单位），则 z? （ ） A 1i
2、? B 1i? C 22i? D 22i? 3已知等差数列 ?na 的公差和首项都不等于 0 ，且 2a ， 4a ， 8a 成等比数列，则1 5 923a a aaa?等于（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 4某几何体的三视图如图所示，则该几何体中， 面积最大的侧面的面积为 （ ） A 1 B 22C 52D 625 甲乙和其他 4 名同学合影留念，站成两排三列，且甲乙两人不在同一排也不在同一列，则这 6 名同学的站队方法有 （ ） A 144种 B 180种 C 288 种 D 360 种 6 已知圆 C 的方程为 221xy?，直线 l 的方程为 2xy? ， 过圆 C 上任意一点
3、P 作与 l 夹角为 45? 的直线交 l 于 A ， 则 PA 的最小值为 （ ） A 12B 1 C 21? D 22? 7如图所示，使用模拟方法估计圆周率值的程序框闰， P 表示估计的结果，刚图中空白框内应填 入 P? （ ） 2 A2017MB 2017MC 42017MD 20174M8 设一圆锥的外接球与内切球的球心位置相同，且外接球的半径为 2 ，则该圆锥的体积为（ ） A ? B 3? C 8? D 9? 9 如图 ， 1F 、 2F 是双曲线 ? ?22: 1 0, 0xyC a bab? ? ? ?的左、 右焦点，过 1F 的直线 l 与 C 的左、右两支分别 交于点 A
4、、 B 若 2ABF? 为等边三角形，则双曲线的离心率为 （ ） A 7 B 3 C 233D 4 10 设函数 ? ? ? ?2ln 1f x x x? ? ?，若 a ， b 满足不等式 ? ? ? ?222 2 0f a a f b b? ? ? ， 则当14a 时， 2ab? 的最大值为 （ ） A 1 B 10 C 5 D 8 11 在 ABC? 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， 且 cos 3cosBCbc?， 则角 A 的最大值为 （ ） A6?B4?C3?D2?3 12 已知函数 ? ? ? ? ?2 1, 1ln ,1xxfxx xx? ? ?
5、 ， 关于 x 的 方程 ? ? ? ? ? ?22 1 2 0f x m f x m? ? ? ? ， 有 5 个不同的实数解，则 m 的取值范围是 （ ） A 11,e?B ? ?0,? C 10,e?D 10,e? ?第 卷 (非选择题 ， 共 90 分 ) 二、填空题：本题共 4 个小题每小题 5 分，共 20 分 13 已知角 ? 的始边与 x 轴非负半轴重台，终边在射线 ? ?4 3 0 0x y x? 上，则cos sin?_ 14 意大利著名数学家斐 波 那契在研究兔子 的繁殖问题时 ， 发现有这样的一列数：1,1,2,3,5,8,?.该数列的特点是：前两个数均为 1 ，从第三
6、个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列 ?na 称为 “ 斐 波 那契数列 ” ，则? ?21 3 2aa a? ?22 4 3aa a? ?23 5 4a a a? ? ? ?22015 2017 2016a a a?_ 15如图，扇形 AOB 的弧的中点为 M ， 动点 C ， D 分别在线段 OA ， OB 上，且 OC BD? ，若 1OA? ， 120AOB? ? ? ，则 MCMD?uuur uuur 的取值范围 是 _ 16已知椭圆 22:143xyC ?的左、右顶点分别为 A 、 B ， F 为椭圆 C 的右焦点圆 224xy?上有一动点 P ，
7、 P 不同于 A ， B 两点，直线 PA 与椭圆 C 交于点 Q ，则PBQFkk 的取值范 围 是_ 三、解答题：本文题共 6 个小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知数列 ?na 中， 1 1a? ， 其前 n 项和为 nS ，且满足 ? ?21nnS n a? ， ? ?*nN? (1)求数列 ?na 的通项公式； 4 (2)记 23nnnba? ， 若数列 ?nb 为递增数列，求 ? 的取值范围 18某厂有 4 台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现 1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需 1名工人进行维修每台机器出现故障需要维修的概
8、率为13 (1)问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于 90% ？ (2)已知一名工人每月只有维修 1台机器的能力，每月需支付给每位工人 1万元的工资每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生 5 万元的利润，否则将不产生利润若该厂现有 2 名工人求该厂每月获利的均值 19 已知三棱锥 A BCD? ， AD? 平面 BCD ， BD CD? ， 2AD BD?， 23CD? ， E ，F 分别是 AC ， BC 的中点 (1)P 为线段 BC 上一点且 2CP PB? ， 求证： AP DE? . (2)求直线 AC 与平面 DEF
9、 所成角的正弦值 20 已知动 圆 M 过定点 ? ?2,0E ，且在 y 轴上截得的弦 PQ 的长为 4 (1)求动圆圆心 M 的轨迹 C 的方程； (2)设 A ， B 是轨迹 C 上的两点，且 4OA OB? ?uur uuur ， ? ?1,0F ，记 OFA OABS S S?，求 S 的最小值 21 已知函数 ? ? 1lnf x xx?， ? ?g x ax b? (1)若 2a? ， ? ? ? ?F x g x? ，求 ?Fx的单凋区 间 ； (2)若函 数 ? ?g x ax b?是函数 ? ? 1lnf x xx?的图像的切线，求 ab? 的最小值； (3)求证： 52
10、12 ln 0xexx? ? ? ? 请考生在第 22、 23 两题中任选一题做答 ， 如 果 多做则按所做的第一题计分，做答时 ， 用5 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑 22 (本小题满分 10 分 )选修 44? ：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 cos3sinxy ? ? ?(? 为参数 )，以坐标原点为 极 点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立 极 坐标系曲线 2C 的极坐标方程为 cos 3 24? (1)写出 1C 的普通方程和 2C 的直角坐标方程 ； (2)设点 P 在 1C 上，点 Q 在 2C 上，求 PQ 的最小值
11、及此时点 P 的直角坐标 23 选修 4 5： 不等式选讲 已知关于 x 的不等式 32x x m m? ? ? 的解集为 R (1)求 m 的最大值； (2)已知 0a? ， 0b? ， 0c? ，且 1abc? ? ? ，求 2 2 22 3 4a b c?的最小值及此时 a ， b ， c 的值 6 洛阳市 2016 2017 学年高中三年级第二次统一考试 数学试卷参考答案 (理 ) 一、 选择 题 1-5:BDBCC 6-10:DCBAB 11、 12:AC 二、填空题 13 1514 1 15 31,82?16 ? ? ? ?,0 0,1? U 17解： (1) ? ?21nnS n
12、 a? ， ? ?1122nnS n a? ， ? ? ? ?112 2 1n n na n a n a? ? ? ?， 即 ? ?1 1nnna n a? ? ， 11nnaa? ?， 1 1 111nnaa a? ? ? ? ? ?*na n n N?. （ 2） 23nnbn? . ? ?211 31nnnb b n? ? ? ? ? ? ? ?23 2 3 2 1nnnn? ? ? ? ? ?. 数列 ?nb 为递增数列， ? ?2 3 2 1 0n n? ? ? ?，即 2321nn? ? ?. 令 2321nnc n? ?，则 11 2 3 2 1 6 3 12 3 2 3 2 1
13、nn nnc nnc n n? ? ? ? ? ? ? ? ?. ?nc 为递增数列， 1 2c?，即 ? 的取值范围为 ? ?,2? 18解： (1)一台机器运行是否出现故障可看作一次实验，在一次试验中，机器出现故障设7 为事件 A ，则事件 A 的概率为 13该厂有 4 台机器就相当于 4 次独立重复试验，可设出现故障的机器台数为 X ，则 14,3XB?:， ? ? 404 2 160 3 81P X C ? ? ?， ? ? 314 1 2 3 21 3 3 8 1P X C ? ? ? ? ?， ? ? 2224 1 2 2 42 3 3 8 1P X C ? ? ? ? ? ? ?
14、 ? ? ? ? ? ?， ? ? 334 1 2 83 3 3 8 1P X C ? ? ? ?， 即 X 的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 1681 3281 2481 881 181 设该厂有 n 名工人，则“每台机器在任何时刻同时出 现故障时能及时进行维修”为 Xn ，即 0X? ， 1X? ， 2X? ，?， Xn? ，这 1n? 个互斥事件的和事件，则 n 0 1 2 3 4 ? ?P X n 1681 4881 7281 8081 1 72 8090%81 81 ，至少要 3 名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于 90% (2)设该厂
15、获利为 Y 万元，则 Y 的所有右能取值为： 18,13,8， ? ? ? ?18 0P Y P X? ? ? ? ? ? ? 7212 81P X P X? ? ? ? ?， ? ? ? ? 81 3 3 81P Y P X? ? ? ?， ? ? ? ? 184 81P Y P X? ? ? ? 即 Y 的分布列为： Y 18 13 8 P 7281881181则 ? ? 7 2 8 1 1 4 0 81 8 1 3 88 1 8 1 8 1 8 1EY ? ? ? ? ? ? ? 故该厂 获利的均值为 140881 8 19 (1)解： PG BD 交 CD 于 G ， 2CG CPGD
16、 PB?， 12333GD CD?， 在 ADG? 中， 3tan3GAD?， 30DAG? ? ? . 2 2 2 4 1 2 1 6A C A D C D? ? ? ? ?， 4AC? ， E 为中点， 2DE AE?， 60ADE? ? ? ， AG DE? AD? 面 BCD ， AD BD? ， 又 BD CD? ， AD CD D?I ， BD? 面 ADC ， PG? 面 ADC ， PG DE? AG PG G?I ， DE? 面 AGP ， AP? 面 AGP ， DE AP? . (2)以点 D 为坐标原点，以直线 DB ， DC ， DA 分别为 x 轴、 y 轴、 z
17、轴，建立空间直角坐标系 ,则 ? ?0,0,2A ， ? ?2,0,0B ， ? ?0,2 3,0C ， ? ?0, 3,1E ， ? ?1, 3,0F ， ? ?1, 3,0DF?uuur ，? ?0, 3,1DE?uuur ， ? ?0,2 3, 2AC ?uuur 设平面 EDF 的法向量为 ? ?,n x y z?r ， 则 0,0,DF nDE n? ?uuur ruuur r 即 3 0,3 0,xyyz? ? ? 取 ? ?3, 3,3n? 设 ACuur ， nr 的夹角为 ? ， 6 6 2 1c o s 74 2 1A C nA C n? ? ? ? ?uuur ruuur r . 所以直线 AC 与平面 DEF 所成角的正弦值为 217 20解： (1)设 ? ?,Mxy ， PQ 的中点 N ，连 MN ，则： 2PN? ， MN PQ? ， 2 2 2MN PN PM?. 9 又 PM EM? , 2 2 2MN PN EM? ? ?22 42x x y? ? ? ?，整理得 2 4yx? . (2)设 211,4yAy?， 222,
