1、 1 湖北省枣阳市 2017届高三下学期 2 月月考数学（文）试卷 一、选择题：（共 12小题，每小题 5分，共 60分） 1 已知直线 m ,n 和 平面 ? ， ? ，若 ? ， m? ， n ? ，要使 n ? ，则应增加的条件是 A /mn B /n? C nm? D n ? 2 已知正项数列 ?na 中， 1 1a? ， 2 2a? ， 2 2 2112 n n na a a?（ 2n? ），则 6a? （ ） A 16 B 8 C 22 D 4 3对于实数 , 0a b b a?、 是 11 ab? 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C.充要条件 D既不充分也不必要条
2、件 4某四棱锥的三视图如图所示（单位： cm ），则该几何体的体积是（ ） A 318cm B 36cm C 392cm D 3272cm 5 已 知向量 a ， b 的夹角为 120? ，且 2a? ， 3b? ，则向量 23ab? 在向量 2ab? 方向上的投影为（ ） A 8313 B 61313 C 566 D 191313 6 算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h ，计算其体积 V 的近似公式 2136V Lh? ，它
3、实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 ? 近似取为 3 ，那么近似公式 2275V Lh? ，相当于将圆锥体积公式中的 ? 近似取2 为（ ） A 227 B 258 C 15750 D 355113 7 已知 0a? ， 0b? ， 11abab? ? ? ，则 12ab? 的最小值为（ ） A 4 B 22 C 8 D 16 8 两个单位向量 OA ， OB 的夹角为 60? ，点 C 在以 O 圆心的圆弧 AB 上移动， OC xOA yOB?，则 xy? 的最大值为（ ） A 1 B 263 C 3 D 233 9 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 14 B 13
4、C 23 D 1 10 在 ABC? 中，角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，则以下结论错误的为（ ） A若 sin cos cosA B Ca b c?，则 90A? B sin sin sina b cA B C? ? C若 sin sinAB? ，则 AB? ；反之，若 AB? ，则 sin sinAB? D若 sin2 sin2AB? ，则 ab? 11 已知函数 ? ? 211 1xfx x ? ?，则曲线 ? ?y f x? 在 ? ?1, 1f 处切线的斜率为（ ） A 1 B -1 C 2 D -2 12 若存在两个正实数 x ， y ，使得等式 ? ?
5、 ?3 2 4 ln ln 0x a y ex y x? ? ? ?成立，其中 e 为自然对3 数的底数，则实数 a 的取 值范围是（ ） A ? ?,0? B 30,2e? ?C 3,2e?D ? ? 3,0 ,2e? ? ?二、填空题：（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分） 13 已知 1a? ， 1b? ，且 1ln4 a ， 14 ， lnb 成等比数列，则 ab 的最小值为 _ 14已知正方体的棱长为 2，则它的 内切球的表面积是 15 如图，在直角梯形 ABCD 中， CDAB/ ， 2AB? ， 1AD DC?， P 是线段 BC 上一动点，Q 是线段 DC 上一动点，
6、 DQ DC? ， ? ?1CP CB? ，则 APAQ 的取值范围是 _ 16 在正四棱锥 V ABCD? 内有一半球，其底面与正四棱锥的底面重合，且与正四棱锥的四个侧面相切，若半球的半径为 2 ，则当正四棱锥的体积最小时，其高等于 _ 三、解答题：（本题共 6小题 ,共 70分 ,解答过程应写出文字说明 ,证明过程或演算步骤） 17 如图，已知 O 为 ABC? 的外心，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c 4 （ 1）若 3 4 5 0OA OB OC? ? ?，求 cos BOC? 的值； （ 2）若 CO AB BO CA? ，求 222bca?的值 18 设数列
7、 ?na 的前 n 项和为 nS ，已知 1 1a? ，1 2nnnaSn? ?（ *nN? ） （ 1）证明：数列 nSn?是等比数列； （ 2）求数列 ?nS 的前 n 项和 nT 19 如图，直三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中， D ， E 分别是 AB ， 1BB 的中点，1 22A A A C C B A B? ? ? 5 （ 1）证明： /1BC 平面 1ACD ； （ 2）求异面直线 1BC 和 1AD所成角的大小； 20如图所示，正三棱柱 ABC A1B1C1中， E， F分别是 BC， CC1的 中点 （ ）证明：平面 AEF 平面 B1BCC1； （ ）若该三棱柱所有
8、的棱长均为 2，求三棱锥 B1 AEF的体积 21已知曲线 C1： =1（ a 0， b 0）和曲线 C2： + =1 有相同的焦点，曲线 C1的离心率是曲线 C2的离心率的 倍 （ ）求曲线 C1的方程； （ ）设点 A 是曲线 C1的右支上一点， F 为右焦点，连 AF 交曲线 C1的右支于点 B，作 BC 垂直于定6 直线 l： x= ，垂足为 C，求证： 直线 AC 恒过 x轴上一定点 22已知集合 M是满足下列性质的函数 f（ x）的全体：在定义域内存在实数 t，使得 f（ t+2） =f（ t）+f（ 2） （ 1）判断 f（ x） =3x+2是否属于集合 M，并说明理由； （ 2
9、）若 属于集合 M，求实数 a的取值范围； （ 3）若 f（ x） =2x+bx2，求证：对任意实数 b，都有 f（ x） M 7 答案 选择： 1_5 CDADB 6_10 BBDBD 11_12AD 填空： 13 e 14 4? 15 ? ?0,2 16 23 17 （ 1） 54? ；（ 2） 2 . 解： （ 1）设外接圆半径为 R ，由 3 4 5 0OA OB OC? ? ?得： 4 5 3OB OC OA? ? ? 两边平方得： 2 2 21 6 4 0 2 5 9R O B O C R R? ? ?，即： 245OB OC R? ， 则 4cos 5BOC? ? ? CO AB
10、 BO CA? ， ? ? ? ?C O O B O A B O O A O C? ? ? ? 即： O C O B O C O A O B O A O B O C? ? ? ? ? 可得： 2 2 2 2c o s 2 c o s 2 c o s 2 c o s 2R A R B R C R A? ? ? ? ? 2 c o s 2 c o s 2 c o s 2A C B? ? ?，即： ? ? ? ?2 2 22 1 2 s in 2 2 s in 2 s inA B C? ? ? ? ? 2 2 22 sin sin sinA B C? ? ?2 2 22a b c? ? ? ， 22
11、2 2bca?考点：二倍角的余弦；平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用 . 18 （ 1）证明见解析；（ 2） ? ? 121 ? nn nT . 解： （ 1）由1 2nnnaSn? ?，及 11n n na S S?，得1 2n n nnS S Sn? ?， 整理，得 ? ?1 21nnnS n S? ?， 1 21nnSS? ，又 1 11S? ， nSn?是以 1为首项， 2 为公比的等比列（ 2）由（ 1）， 得 12nnSn ? ， 12nnSn? （ *nN? ） 0 1 2 11 2 2 2 3 2 2 nnTn ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ? ?1 2 12 1
12、 2 2 2 1 2 2nnnT n n? ? ? ? ? ? ? ?， 8 由 ? ，得 ? ? ? ?21 121 2 2 2 2 2 1 2 112 nn n n nnT n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?19（ 1）证明见解析；（ 2） 6? . 解： （ 1）证明：连接 1AC 与 1AC 相交于点 F ，连接 DF 由矩形 11ACCA 可得点 F 是 1AC 的中点，又 D 是 AB 的中点， DFBC /1? ， 1BC? 平面 1ACD ， DF? 平面 1ACD ， /1BC? 平面 1ACD （ 2）1 22AA AC CB AB? ? ?，
13、不失一般性令 21 ? CBACAA ， 22?AB ， BCAC? 以 C 为坐标原点， CA 的方向为 x 轴正方向， CB 的方向为 y 轴正方向， 1CC 的方向为 z 轴正方向，建立空间直角坐标系 xyzC? 则 ? ?0,1,1D ， ? ?2,0,01C ， ? ?2,0,21A ， ? ?0,2,0B ， ? ?2,2,01 ?BC ， ? ?2,1,11 ?DA 设异面直线 1BC 与 1AD所成角为 ? ， 9 则2368420c o s1111 ?DABCDABC? ， 6? ， 异面直线 1BC 与 1AD所成角为 6? 考点：线面平行的判定；异面直线所成的角 . 【一
14、题多解】 （ 2）由（ 1）得 1ADF? 或其补角为异面直线 1BC 和 1AD所在角，设 2AB? ，则 ? ? ? ?2222111 1 1 2 2 12 2 2D F B C B C C C? ? ? ? ? ?， ? ? 22 2 211 2 1 3A D A A A D? ? ? ? ?， 111 12F AC? 在 1ADF? 中，由余弦定理得， ? ? 22211 3 1 3c o s22 1 3A D F? ? ?，且 ? ?1 0,ADF ?， 1 6ADF ? ?， ?异面直线 1BC 和 1AD所成角的大小为 6? . 20.解：（ I） BB1 面 ABC， AE?平
15、面 ABC， AE BB1， E是正 三角形 ABC的边 BC 的中点， AE BC， 又 BC?平面 B1BCC1， B1B?平面 B1BCC1， BC BB1=B， AE 平面 B1BCC1， AE?平面 AEF， 平面 AEF 平面 B1BCC1 （ II） 三棱柱所有的棱长均为 2， AE= ， S =2 2 = ， 由 （ I）知 AE 平面 B1BCC1 10 21.解：由题知： a2+b2=2，曲线 C2的离心率为 ? （ 2分） 曲线 C1的离心率是曲线 C2的离心率的 倍， = 即 a2=b2， ? （ 3分） a=b=1， 曲线 C1的方程为 x2 y2=1； ? （ 4分
16、） （ ）证明：由直线 AB的斜率不能为零知可设直线 AB 的方程为： x=ny+ ? （ 5分） 与双曲线方程 x2 y2=1 联立，可得（ n2 1） y2+2 ny+1=0 设 A（ x1， y1）， B（ x2， y2），则 y1+y2= ， y1y2= ， ? （ 7分） 由题可设点 C（ ， y2）， 由点斜式得直线 AC的方程： y y2= （ x ） ? （ 9分） 令 y=0，可得 x= = = ? （ 11 分） 直线 AC过定点（ ， 0） ? （ 12分） 22.解：（ 1）当 f（ x） =3x+2时，方程 f（ t+2） =f（ t） +f（ 2） ?3t+8=3t+10? （ 2分） 此方 程无解，所以不存在实数 t，使得 f（ t+2） =f（ t） +f（ 2）， 故 f（ x） =3x+2不属于集合 M ? （ 4分） （ 2）由 属于集合 M，可得
