1、从速度的倍数到数乘向量实例分析 一重物由高空自由落下，由自由落体的速度公式v=gt可知，它在1s末和2s末的速度，大小分别为v1=9.8m/s和v2=19.6m/s.显然v2=2v1,并且方向都是竖直向下.在实际中存在这样的两个向量，它们是共线的，而且大小之间存在倍数关系.因此，有必要定义实数与向量积的运算.思考aaaABCOaaaa3BCABOAOC记作aaaaMNQMPQPN3)()()(记作a已知非零向量a，作a+a+a和(-(-a)+(-)+(-a)+(-)+(-a)-a-a-aPQMNaaaa333的方向相同与aaaa333的方向相反与一、向量的数乘运算的定义：一、向量的数乘运算的定
2、义：,aa 实数 与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记为1;aa 其其方方向向和和长长度度规规定定如如下下：（）20,0,000.aaaaaa （）当与的方向相同；当的方向与的方向相反；当或，1从两个角度看数乘向量从两个角度看数乘向量(1)代数角度代数角度 是实数，是实数，a是向量，它们的积仍是向量；另外，是向量，它们的积仍是向量；另外，a0的的条件是条件是0或或a0.(2)几何角度几何角度 对于向量的长度而言，对于向量的长度而言，当当|1时，有时，有|a|a|，这意味着表示向量，这意味着表示向量a的有向线的有向线段在原方向段在原方向(0)或反方向或反方向(0)上伸长到上伸长到|a
3、|的的|倍；倍；当当0|1时，有时，有|a|a|，这意味着表示向量，这意味着表示向量a的有向的有向线段在原方向线段在原方向(01)或反方向或反方向(10)上缩短到上缩短到|a|的的|倍倍？的方向和模有什么特征的方向和模有什么特征|aa【做一做1】课本 89页 练习 1 例1 已知A、B、C三点共线，且C是线段AB靠近点A的一个三等分点，则下列不正确的是（）变式：已知A、B、C三点共线，且C是线段AB的一个三等分点，用|3|.|2|.23.21.ACABDACBCCBCABBCBACA CBAC表示表示向量数乘的的运算满足如下运算律：1)();(2)();(3)().aaaaaabab（）（aa
4、aabab 特别地:（）（）设a、b为任意向量，、为任意实数，则有：2例例计算：；a431 )()(；aba2ba32 )()()(.)()()(cb2a3cb3a23 解：a4)3()1(a43)(；a12 原式原式)(2ab2a2b3a3 ；b5 原式原式)(3cb2a3cb3a2 .c2b5a 练习1 已知2a-b=m,a+3b=n,则a,b用m,n可以表示为a=,b=.nmnm72717173 练习2 设x是未知向量是未知向量，3(a+2b)-4(b-x)=0,则则x=.思考这样的这样的是唯一的吗？是唯一的吗？位置关系如何？位置关系如何？，则，则若若babba,)0()1(是否成立？是
5、否成立？，则，则若若abbba )0(/)2(向量 是一个非零向量是一个非零向量(即 0),若存在一个实数，使=,那么 与非零向量 共线.若向量 与非零向量 共线，那么有且只有一个实数，使=.向量共线的判定定理:向量共线的性质定理：abbabab ，使，使存在唯一实数存在唯一实数则则若若/,0【做一做2】课本 92页 练习 1ABCDE解：解：DEADAE BC3AB3 )(BCAB3 ，AC3 共线与AEAC.ECA.33三点的位置关系。、试判断，已知，如图变式一：BCDEABAD.A且有公共点三点共线、ECA共线与AEAC.333是否共线是否共线与与试判断试判断，已知已知，如图如图例例AE
6、ACBCDEABAD BCDE3DEBC/变式二：求证：共线与 ECDBDEBC/不在同一直线上与且DEBC定理的应用定理的应用:练习(1)设a与b是两个不共线向量,且向量a+b与-(b-2a)共线,则=()A.0 B.-0.5 C.-2 D.0.5121212122362348:eeABee BCee CDeeAB 已知两个非零向量 和 不共线，如果，求证、D三点共线.例例4 课本课本 84页页 例例3.)1(,PBPAPCCBACBAPCBA 三点共线三点共线的任意一点，的任意一点，是不同于是不同于，点，点已知平面内三点已知平面内三点三点共线定理三点共线定理.2121,PBPAPCABCC
7、BAPCBA 中点中点是是的任意一点，的任意一点，是不同于是不同于，点，点已知平面内三点已知平面内三点常用结论常用结论AC43AB41DAC41AB43CAC43AB41BAC41AB43AEBADEBCADABC ）（的中点，则的中点，则为为边上的中线，边上的中线，为为中，中，在在练习练习OM4DOM3COM2BOMAODOCOBOAABCDOABCDM）（所在平面内一点，则所在平面内一点，则平行四边形平行四边形为为对角线的交点，对角线的交点，为平行四边形为平行四边形设设练习练习 .),(,nmRnmANnACAMmABNAACABOBCOABC则则，若，若于不同的两点于不同的两点别交直线别交直线的直线分的直线分的中点，过点的中点，过点是是点点中中在在练习练习
