1、2.6.1 余弦定理已知三角形的三边，求三角形的三个内角已知三角形的两边及一个角，求其他边和角问题提出1 一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.余弦定理1余弦定理的证明【1】向量法 如图，因为AC=AB+AC，所以AC2=(AB+BC)2，即AC2=AB2+BC2+2AB BC=AB2+BC2+2|AB|BC|(cos180-B)同理，根据AB=AC+CB，BC=BA+AC，可以得到余弦定理1余弦定理的证明【2】解析法(建系法)余弦定理1余弦定理的描述适用范围：任意的三角形结构特征：“平方”“乘积”“夹角”“余
2、弦”简单应用：已知两边一角或已知三边，求三角形其他边角余弦定理1 勾股定理与余弦定理的联系:勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方与其中一个角之间的关系，因此勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.用余弦定理判断三角形的类型：余弦定理1余弦定理的推论已知两边及一角解已知两边及一角解三角形三角形 解析:(1)在ABC中,由余弦定理得,答案:(1)7(2)5【例2】在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2,b=3,c=4,则ABC最小角的余弦值是.解析:因为a=2,b=3,c=4,所以A是最小角,已知三边解三角形已知三边解
3、三角形若将例2改为:已知a b c=2 3 4,则ABC最大角的余弦值是()解析:因为a b c=2 3 4,所以c边所对角最大.设a=2k,b=3k,c=4k(k0),答案:B 忽视三角形的构成条件两边之和大于第三边.忽略构成三角形的条件坑利用余弦定理判断三角形的形状利用余弦定理判断三角形的形状例3(1)在ABC中,(a+b+c)(a+b-c)=3ab且2cos Asin B=sin C,试判断三角形的形状.(2)在ABC中,若acos B+acos C=b+c,试判断该三角形的形状.1.在ABC中,若abc,且c2a2+b2,则ABC为()A.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形 D.不存在解析因为c2a2+b2,所以C为锐角.因为abc,所以C为最大角,所以ABC为锐角三角形.答案B变式训练2在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c2=bccos A+cacos B+abcos C,则ABC是三角形.(填“锐角”“直角”或“钝角”)答案直角 三角形的面积公式1.在ABC中,若ha,hb,hc分别表示边a,b,c上的高,则变式1 在上例中，求三角形的面积取值范围.变式2 在上例中，求三角形的周长取值范围.THANKS“”
