1、 1 江苏省常州市 2018届高三数学开学摸底调研试题 注意事项： 1本试卷共 4页满分 160分，考试时间 120分钟 2请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卡的规定区域，在本试卷上答题无效 参考公式： 样本数据 x1， x2， xn的方差 2211 ()n iis x xn ?，其中11 n iixxn ? ? 一、填空题：本大题共 14个小题，每小题 5分，共 70分，把答案填在 答题纸 的横线上 . 1. 已知集合 ? ? ? ?2, , 1, 2A a a B? ? ?，若 A I ? ?1B? ，则 A U B = . 2. 设复数 z 满足 : (2 ) 4 3z ? ?
2、?ii（其中 i 为虚数单位），则 z 的模等于 . 3. 已知 )2,1(?a ， )log,2( 2 mb ? ，若 /ab?，则正数 m 的值等于 4. 样本数据 8， 9， 10， 13， 15的方差 2s . 5. 根据如图所示的伪代码，最后输出的 i 的值为 . 6. 在平面直角坐标系 xOy 中， 双曲线 2 22 1x ya ?与抛物线 2 12yx?有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为 . 7. 若将甲、乙、丙三个球随机放入编号为 1， 2的两个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则每个盒子中的球数不小于其编号数的概率是 . 8. 设棱长为 a 的正方体的体积和表面积分别为
3、 11,VS，底面半径和高均为 r 的圆锥的体积和侧面积分别为 22,VS，若 123VV ? ，则 12SS 的值为 . 9. 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C的方程为 2240x y x? ? ? 若直线 ( 1)y k x?上存在一点 P ，使过 P 所作的圆的两条切线相互垂直 ，则 实数 k 的 取值范围 是 10. 已知函数 ( ) 2 s i n ( 2 ) ( 0 )4f x x? ? ?的最大值与最小正周期相同，则 函数 ()fx 在 11?， 上的单调增区间为 11. 设等比数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 33kS ? ， 1 63kS? ? ， 2 129kS
4、? ? ， 其中 k ?N ，则 k 的值为 12. 已知 1 , , (0,1)4ab a b?，则 1211ab?的最小值是 T 1 i 3 While T 10 T T +i i i+2 End While Print i 2 13. 在平面四边形 ABCD 中 ，已知 3AB? ， 2DC? ，点 E ， F 分别在边 AD ， BC 上 ， 且3AD AE? ， 3BC BF? 若向量 AB 与 DC 的夹角为 60 ， 则 ABEF? 的值为 14. 设函数 ? ? 2f x x c?， ? ? xg x a? e 的图象的一个公共点为 ? ?2,Pt，且曲线 ? ?y f x?
5、，? ?y g x? 在点 P处有相同的切线，函数 ? ? ? ?f x g x? 的负零点在区间 ? ?,1kk? ? ?k?Z ，则 k = 二、解答题 （本大题共 6小题，共 90分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 15（本小题满分 14分） ABC? 的内角 ,ABC 的对边分别为 ,abc，已知 2 c o s ( c o s c o s )C a B b A c? （ 1）求角 C ； （ 2）若 7c? ， ABC? 的面积为 332 ，求 ABC? 的周长 16（本小题满分 14分） 如图，四棱锥 P ABCD? 中， PA? 底面 ABCD ， PC? AD
6、底面 ABCD 为梯形，/AB DC ， AB BC? ， PA AB BC?， 点 E 在棱 PB 上，且 2PE EB? （ 1）求证：平面 PAB? 平面 PCB ； （ 2）求证： PD 平面 EAC 17（本小题 满分 14分） 已知数列 ?na 满足 122 n n na a a k? ? ?（ *n?N ， k?R ），且 1 2a? ， 354aa? ? （ 1）若 0k? ，求数列 ?na 的前 n 项和 nS ； （ 2）若 4 1a? ，求数列 ?na 的通项公式 P A D B C E 3 18 （本小题满分 16分） 在平面直角坐标系 xOy 中 ，椭圆 22: 1(
7、 0 )xyE a bab? ? ? ?的离心率为 12 ，右焦点为 F ，且椭圆 E 上的点 到点 F 的距离的最小值为 2 （ 1） 求 ,ab的值； （ 2） 设 椭圆 E 的左、右顶点分别为 ,AB，过点 A 的直线 l 与椭圆 E 及直线 8x? 分别相交于点 ,MN 当过点 ,AFN 三点的圆半径最小时，求这个圆的方程； 若 65cos 65AM B?，求 ABM 的面积 19 （本小题满分 16分） 我国西部某省 4A 级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了 800万元修复和加强民俗文化基础设施，据调查，修复好村民俗文化基础设施后，任何一个月内（每月按 30 天计算）每天的旅游
8、人数 ?xf 与第 x天近似地满 足 ? ?xxf 88?（千人），且参观民俗文化村的游客人均消费 ?xg 近似地满足 ? ? 22143 ? xxg （元） （ 1）求该村的第 x天的旅游收入 ?xp （单位千元， 1 x 30， ?Nx ）的函数关系； （ 2）若以最低日收入的 20作为每一天纯收入的计量依据，并以纯收入的 5的税率收回投资成本，试问该村在两年内能否收回全部投资成本 . 4 20.（本小题满分 16分） 已知函数 ( ) lnf x x x?， ? ? lnxhx x? . （ 1）求 ?hx的最大值； （ 2）若关于 x 的不等式 2( ) 2 1 2x f x x a x? ? ? 对一切 (0, )x? ? 恒成立，求实数 a 的取值范围； （ 3）若关于 x 的方程 32( ) 2 e 0f x x x b x? ? ? ?恰有一解，其中 e 是自然对数的底数，求实数 b 的值 .
