1、 1 江苏省丹阳中学 2018届高三数学下学期期初三校联考试题 数学 一填空题：本大题共 14 小题，每题 5分，共 70分请把答案填写在 答题卡相应位置 上 1已知 复数 2(1 2 )zi? ，其中 i 为虚数单位，则复数 z 的模为 2 集合 2 | 01xAxx? ? ?， | B x x t?，若 A B R? ，则实数 t 的取值范围是 3 若圆锥侧面积为 6? ，高为 5 ，则其底面半径为 4设 Ra? ，则命题 p ： 1a? ， 命题 q ： 2 1a? ，则 非 p 是 非 q 的 条件 (填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要” ) 5 如图伪代码的输出
2、结果为 6. 以下茎叶图（如图）记录了甲 .乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩 (单位 :分 )已知甲组数据的中位数为 15,乙组数据的平均数为 8.16 ,则 ,xy的值分别为 7. 如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为 2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角6?，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是 8已知等比数列 ?na ，前 n 项和为 nS ，若 1 2 3 10S S S? ? ? ， 234 15S S S? ? ? ， 则公比 q? _ 9.当 满足不等式组?27422yxxyyx 时 ,22 ? ykx 恒成立
3、,则实数 k 的 取值范围是 10.在 ABC中， ,A B C? ? ? 所对边的长分别为 a， b， c已知 a 2c 2b， sinB 2sinC，则 sin 2C 0S? For I From 1 To 9 Step 2 S S I? End For Print S 第 5 题图 第 6 题图 0 1 2 甲 乙 9 5y 8 9 4 74 x 2 第 7 题图 2 11已知动圆 C 与直线 20xy? ? ? 相切于点 ? ?02A ?， ，圆 C 被 x 轴所截得的弦长为 2 ，则满足条件的所有 圆 C 的半径之积是 12已知实数 ,xy满足 223xy?， xy? ，则 2214
4、(2 ) ( 2 )x y x y?的最小值为 13已知 mR? ，函数 ? ? ? ?22 1 , 1lo g 1 , 1xxfx xx? ? ? ? ?， ? ? 2 2 2 1g x x x m? ? ? ?，若函数 ? ?y f g x m?有6个零点，则实数 m 的取值范围是 14. ABC? 中 ， AB AC? ， 2AB AC?uuur uuur ， 点 M 是线段 BC（含端点 ） 上的一点 ， 且 ? ? 1AM AB AC? ? ?uuur uuur uuur ，则 AMuur 的 取值范围是 二、解答题（本大题共 6小题，共计 90分请在 答题纸指定区域内 作答，解答时
5、应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分 14分） 已知向量 2(cos ,sin )a ? ， (sin , )bt? ， (0, )? . (1)若 1( ,0)5ab?，求 t 的值 ； (2)若 1t? ， 1ab? ， 求 tan(2 )4?的值 . 16. （本小题满分 14 分） 如图 ,在四棱锥 P ABCD? 中 ,O 为 AC 与 BD 的交点 , AB? 平面 PAD, PAD? 是正三角形 , /DC AB , 2DA DC AB?. (1)若点 E为棱 PA上 靠 A近的三等分点 ,证明：直线 /OE 平面 PBC； (2)求证 :平面 PBC? 平面
6、 PDC. B A P D C E O 第 16 题图 3 17. （本小题满分 14分） 2017年 6月以来，某地区再度爆发“流感”疫情，引起某种消毒液热销消毒液原来每瓶的成本为 8元，售价为 10 元，月销售量为 6万瓶 （ 1） 据市场调查，若售价每提高 0.5元，则月销售量相应减少 0.4万瓶，要使提价后月 利润不低于原来的月利润，则消毒液每瓶售价最高为多少元？ （ 2） 为了提高月总利润，厂家决定下月投入部分资金进行广告促销，计划每瓶的售价 为 ( 12)xx 元，并投入 34( 12)5 x?万元作为广告费用据市场调查，售价每瓶每提高 0.5元，月销售量将相应减少21.8( 10
7、)x?万瓶当售价 x为多少元时，下月利润最大，并 求出最大利润 18. （本 小题满分 16分） 如图 1，已知椭圆 22:1xyEab?（ 0ab? ）的长轴为 AB ，过点 B 的直线 l 与 x 轴垂直 ， 椭圆 E上一点与椭圆 E 的长轴的两个端点构成的三角形的最大面积为 2 ， 且椭圆 E 的离心率 32e?. （ 1）求 椭圆 E 的标准方程 ； （ 2）设 P 是 椭圆 E 上异于 A 、 B 的任意一点 ， 连接 AP 并延长交 直线 l 于点 M ， N 为 MB 的中点 . 试判断直线 PN 与 椭圆 E 的位置关系 ， 并证明你的结论 . 若点 F 为椭圆左焦点， F 关
8、于直线 PN 的对称点为 Q ，求证：当点 P 在椭圆 E 上运动时，直线 PQ 恒过定点，并求出此定点的坐标 yB l O . P F A N M x 4 19. （本小题满分 16分） 设函数 3( ) ( , , 0 )3af x x c x a c a? ? ? ?R （ 1） 若 3a? ，函数 ()y f x? 在 2,2? 的值域为 2,2? ，求函数 ()y f x? 的零点； （ 2） 若 2a? ， (1) 3f? ? ， ? ?( ) 3 1g x x m? ? ? 对任意的 ? ?1,1?x , ? ? ? ?f x g x? ? 恒成立 , 求实数 m 的最小值； 令
9、 ? ? ? ? ? ?1x f x f x? ? ? ?,若存在 ? ?,0, 21 ?xx 使得 ? ? ? ? ? ?mgxx ? 21 ? ,求实数 m 的取值范围 . 20. （本小题满分 16分） 已知数列 an的前 n项和为 Sn，把满足条件 an 1 Sn(n N*)的所有数列 an构成的集合记为 M （ 1）若数列 an通项为 an 12n，求证： an M； （ 2）若数列 an是等差数列，且 an n M，求 2a5 a1的取值范围； （ 3）若数列 an的各项均为正数，且 an M，数列 4nan中是否存在无穷多项依次成等差数列，若存在，给出一个数列 an的通项；若不存
10、在，说明理由 第 18 题图 5 2018届高三三校联考试卷 数学 (附加题 ) 21 选做题 本题包括 A、 B、 C、 D四小题， 请选定其中两题 ， 并在相应的答题区域内作答 若多做，则按作答的前两题评分 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A 选修 4 1：几何证明选讲 （本小题满分 10分） 如图，点 A ， B ， D ， E 在圆 O 上， ED ， AB 的延长线交于点 C ， AD ， BE 交于点 F ，且AE EB BC=若 2DE= ， 4AD= ，求 DF 的长 B 选修 4 2：矩阵与变换 （本小题满分 10分） 已知矩阵 11 ab?A的一个特征值为 2，其
11、对应的一个特征向量为 21? 矩阵 1 10B? ?ab，求 1()?AB C 选修 ：坐标系与参数方程 （本小题满分 10 分） 在极坐标系中，已知圆 A 极坐标方程为 6cos?，点 M 为圆 A 上异于极点 O 的动点，求弦 OM中点的轨迹的直角坐标方程 D 选修 4 5：不等式选讲 （本小题满分 10分） B A F D O E C (第 21(A)题 ) 6 EDCBAEDCBA已知 x ， y ， z?R ，且 2 3 8 0x y z? ? ? ?求证： 2 2 2( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 1 4x y z? ? ? ? ? 【必做题】 第 22题、第 23 题，每题
12、10分，共计 20分 .请在答题卡指定区域内作答， 解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤 . 22 （本小题满分 10分）如图 1，在直角梯形 ABCD 中， 1AD? ， 6?CD ， AD /BC ， AB BC ， BD DC ， 点 E 是 BC 边的中点 , 将 ABD 沿 BD 折起， 使平面 ABD 平面 BCD ，连接 AE ,AC ,DE , 得到如图 2所示的几何体 . （ 1）求异面直线 ,ADBC 所成角的余弦值 . （ 2） 求二面角 B AD E?的 平面角的大小 . 图 1 图 2 23. （本小题满分 10 分） 求证：（ 1） *1! ( ) ( 2 ,
13、 )2? ? ?nnn n n N；（ 2） *2! ( ) ( )6?nnn n N 7 数学 (160 分 ) 一填空题：本大题共 14 小题，每题 5分，共 70分请把答案填写在 答题卡相应位置 上 1 5； 2 ( ,1)? ； 3 2； 4充分不必要； 5 25； 6 5,8 ； 7.232? ； 8 1； 9. 1,05?； 10. 24 ； ； 11 10； 12 35； 13 30,5?； 14. 1,12?二、解答题（本大题共 6小题，共计 90分请在 答题纸指定区域内 作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分 14分） 已知向量 2(cos ,s
14、in )a ? ， (sin , )bt? ， (0, )? . (1)若 1( ,0)5ab?，求 t 的值 ； (2)若 1t? ， 1ab? ， 求 tan(2 )4?的值 . 解：（ 1）因为 向量 2(cos ,sin )a ? ， (sin , )bt? ， 1( ,0)5ab?， 所以 1cos sin5?， ? 2分 2sint ? .由 1cos sin 5?， 两边平方得 242sin cos 25? 且 (0, )2? ， 所以 2 49( s i n c o s ) 1 2 s i n c o s25? ? ? ? ? ? ?.? 4分 因为 (0, )2?， 所以 7
15、sin cos5?， 所以 3sin5?， 2 9sin25t ?.? 6分 （ 1） 因为 1t? ， 1ab? ， 所以 2sin cos sin 1? ? ?， 即 2sin cos cos? ? ? ， ? 8分 当 cos 0? ， (0, )? ，所以2?，则 tan(2 ) 14?， .? 10分 当 cos 0? ， tan 1? ， (0, )? ，所以4?，则 tan(2 ) 14? ? ?， .? 12 分 综上 ， tan(2 )4?的值为 1或 -1.? 14分 16、 （本小题满分 14分） 如图 ,在四棱锥 P ABCD? 中 ,O 为 AC 与 BD 的交点 ,
16、 AB? 平面 PAD, PAD? 是正三角形 , /DC AB , 2DA DC AB?. 8 (1)若 点 E为棱 PA上 靠 A近的三等分点 ,证明：直线 /OE 平面 PBC； (2)求证 :平面 PBC? 平面 PDC. 证 : (1)因为 /DC AB , 2DC AB? , 所以 : : 1 : 2A O O C A B D C?.? 2分 点 E为棱 PA 上 靠 A近的三等分点 , 即 : 1 : 2 :A E E P A O O C?， 所以 /OE PC ， .? 4分 又因为 OE? 平面 PBC， PC? 平面 PBC， 所以 /OE 平面 PBC.? 6分 (2)
17、取 PC的中点 F,连结 FB,FD. 因为 PAD? 是正三角形 , DA DC? ,所以 DP DC? . 因为 F为 PC 的中点 ,所以 DF PC? . 因为 AB? 平面 PAD,所以 AB PA? ,AB AD? ,AB PD? . 因为 /DC AB ,所以 DC PD? DC DA? .? 8分 设 AB a? ,在等腰直角三角形 PCD 中 , 2DF PF a?.在 Rt PAB? 中 , 5BP a? . 在直角梯形 ABCD中 , 5BD BC a?. 因为 5BC BP a? ,点 F为 PC的中点 ,所以 PC FB? . 在 Rt PFB? 中 , 3FB a? . 在
