1、 1 江苏省扬州中学 2018 届高三数学下学期开学考试（ 2 月）试题 一 .填空题：本大題共 14 小败，每小題 5 分，共 70 分 .不需要写出解答过程。 1.复数 i435? 的共轭复数是 _ 2设全集 RU? , ? ? ? ?,c o s,022 RxxyyBxxxA ? 则图中阴影部分表示的区间是_ 3运行如图所示的伪代码，其结果为 _ S1 For I From 1 To 7 Step 2 S S I End For Print S 4.若命题 “ tR? ， 2 20t t a? ? ? ” 是假命题，则实数 a 的取值范围是 5.甲、乙两组各有三名同学，他们 在一次测试中
2、的成绩分别为：甲组： 88、 89、 90； 乙组： 87、 88、 92，如果分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的成绩之差的绝对值不超过 3 的概率是 6.矩形 ABCD 中，沿 3,4 ? BCAB ,沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 DACB ? ，则四面体 ABCD 外接球的体积为 7 设 ,xy满足 0| | | | 1yyxxy?，则 yx 3? 的最大值为 8已知 ?na 为等差数列， nS 为其前 n 项和，公差为 d ，若 100182018 182018 ? SS ，则 d 的值为 _ 9已知函数 Rmxmxxf ? ,ln)()( ，当 1? 时
3、恒有 0)()1( ? xfx ，则关于 x 的不等式22)( ? xxf 的解集为 _ 10.在平面 直角坐标系 xOy 中，过点 ? ?2,0P? 的直线与圆 221xy?相切于点 T ，与圆? ? ? ?22 33x a y? ? ? ?相交于点 ,RS，且 PT RS? ，则正数 a 的值为 2 11.若函数 xaxxaxxxxxf )14()c o s( s i n3)s i n( c o s)s i n( c o s21)( ? 在 ? 0,2?上单调递增，则实数 a 的取值范围为 _ 12.函数? 0,21210,)(2xxxxxxf ，若关于 x 的方程 kkxxf ?)( 至
4、少有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围为 _ 13.在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A 在椭圆 22125 9xy?上，点 P 满足 )()1( ROAAP ? ? ，且 48?OPOA ，则线段 OP 在 x 轴上的投影长度的最大值为 14.在 ABC? 中， ),1(,2 ? mm B CABAC 若当 ABC? 面积取最大值时 3?B ,则?m 二 .解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分 15 （ 本 小 题 满 分 14 分） 已知 ABC? 的内角 ,ABC 所对的边分别为 ,abc，已知s i n 3 c o s 3a B b A c?. (1)求角 B 的大小
5、 ； (2)若 ABC? 的面积为 73 , 4 3 ,4 b a c?，求 ,ac. 16. （本小题满分 14 分） 如图，在三棱锥 P ABC? 中，已知平面 PBC? 平面 ABC . (1)若 ,AB BC CP PB?，求证： CP PA? ； (2)若过点 A 作直线 l? 平 面 ABC ，求证： /l 平面 PBC . 17（本小题满分 14 分）如图是一 “ T” 型水渠的平面视图 (俯视图 )，水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩形，南北向渠宽为 4m，东西向渠宽 2m(从拐角处，即图 中 A， B 处开始 )假定渠内的水面始终保持水平位置 (即无高度差 ) 3 (1)在
6、水平面内，过点 A 的一条直线与水渠的内壁交于 P， Q 两点，且与水渠的一边的夹角为 ? ?0 2 ，将线段 PQ 的长度 l 表示为 的函数； (2)若从南面漂来一根长为 7m 的笔直的竹竿 (粗细不计 )，竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠 (不会卡住 )？请说明理由 18（本小题满分 16 分）如图，点 A(1， 3)为椭圆 x22y2n 1 上一定点，过点 A 引两直线与椭圆分别交于 B， C 两点 (1)求椭圆方程； (2)若直线 AB， AC 与 x 轴围成的是以点 A 为顶点的等腰三角形 求直线 BC 的斜率； 求 ABC 的面积的
7、最大值，并求出此时直线 BC 的方程 19（本小题满分 16 分）函数 f(x) 1 lnx k x 2x ，其中 k 为常数 (1)若 k 0，求曲线 y f(x)在点 (1， f(1)处的切线方程； (2)若 k 5，求证： f(x)有且仅有两个零点； (3)若 k 为整数，且当 x 2 时， f(x) 0 恒成立，求 k 的最大值 . 4 20. （ 本 小 题 满 分 16 分） 已 知 有 穷 数 列 ?na ， ?nb 对 任 意 的 正 整 数 n ?N ， 都 有1 2 1 3 2 1 2 1n n n n na b a b a b a b a b? ? ? ? ? ? ?12
8、2n n? ? ? 成立 (1)若 ?na 是等差数列，且首项和公差相等，求证： ?nb 是等比数列； (2)若 ?na 是等差数列，且 ?nb 是等比数列，求证： 12nnnab n ? 附加题 1.已知矩阵 A ? ?3 3c d ，若矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征 向量 为 1 ? ?11 ，属于特征值 1 的一个特征向量 2 ? ? 3 2 .求矩阵 A，并求出 A 的逆矩阵 5 2.在平面直角坐标系中，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系已知圆 4sin? ? 6 被 射线 0? ? 0 ， 0为常数，且 0 ? ?0， 2 所截得的弦长为 2 3，求 0的
9、值 3. 假定某篮球运动员每次投篮命中率均为 p(0 p 1)现有 3 次投篮机会，并规定连续两次投篮均不中即终止投篮 已知该运动员不放弃任何一次投篮机会，且恰用完 3 次 投篮机会 的概率是 2125 （ 1）求 p 的值 ； （ 2）设该运动员投篮命中次数为 ? ，求 ? 的概率分布及数学期望 E(? ) 6 4.在数列 an中， an cos 32 n 2(n N*) (1)试将 an 1表示为 an的函数关系式； (2)若数列 bn满足 bn 1 2n n！ (n N*)，猜想 an与 bn的大小关系，并证明你的结论 7 参考答案 1. 35 45I 2. ( ， 1)(2 ， ) 3
10、.16 4. ( , 1? 5.98 6. ?6125 7. 2 8. 110 9. ),1( 2e 10.4 11. 1， ) 12. ? ? 13， 1 (1 ， ) 13. 10 14. 32? 15 （ 1）由已知 s in 3 c o s 3 s ina B b A C?, 结合正弦定理得 s i n s i n 3 s i n c o s 3 s i nA B B A C?， 所以 ? ? ? ?s i n s i n 3 s i n c o s 3 s i n 3 s i n c o s s i n c o sA B B A A B A B B A? ? ? ? ?， 即 s i
11、n s in 3 s in c o sA B A B? ，即 tan 3B? ， 因为 ? ?0,B ? ，所以 3B ? .? 7 分 （ 2）由 1 s in ,23ABCS ac B B ? ?，得 3 7 344ac? ，即 7ac? ， 又 ? ? 22 2 2 c o sb a c a c a c B? ? ? ?，得 ? ? ? ?2 24 3 2a c a c a c? ? ? ?， 所以 7 8acac?，又 7, 1aac c? ?. ? 14 分 16.证明：（ 1）因为 平面 PBC ? 平面 ABC ，平面 PBC ? 平面 =ABC BC ， AB? 平面 ABC
12、， AB BC? ，所以 AB? 平面 PBC .因为 CP? 平面 PBC ，所以 CP AB? .又因为,C P P B P B A B B? ? ? ,ABPC? 平面 ,PAB 所以 CP? 平面 ,PAB 又因为 PA? 平面 ,PAB 所以 CP PA? . ? 7 分 （ 2）在平面 PBC 内过 P 作 BCPD? ，垂足为 D ,因为平面 PBC ? 平面 ABC , 又因为平面 ?PBC 平面 BCABC? , ?PD 平面 ABC ,所以 ?PD 平面 ABC , 又因为 l? 平 面 ABC ，所以 PDl/ ,又 ?l 平面 PBC ， ?PD 平面 PBC 所以 /
13、l 平面PBC ? ? 14 分 17 解 (1)由题意， PA 2sin ， QA 4cos ， 所以 l PA QA 2sin 4cos ? ?0 2 ? 6 分 (2)设 f( ) 2sin 4cos ， ? ?0， 2 . 由 f( ) 2cossin2 4sincos2 2 2sin3 cos3sin2 cos2 ， 8 令 f( ) 0，得 tan 0 22 . ? 10 分 且当 (0 ， 0)， f( ) 0；当 ? ? 0，2 ， f( ) 0，所以 f( )在 (0， 0)上单调递减，在 ? ? 0，2 上单调递增， 所以当 0时， f( )取得极小值，即为最小值 当 ta
14、n 0 22 时， sin 0 13， cos 0 23，所以 f( )的最小值为 3 6， 即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为 3 6m.因为 3 6 7，所以这根竹竿能从拐角 处一直漂 向东西向的水渠 答： 竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠 ? 14 分 18.解 (1)把点 A(1， 3)代入 x22y2n 1 得 n 6，故椭圆方程为x22y26 1. ? 2 分 (2) 显然题中等腰三角形腰所在的直线不可能与 x 轴垂直 因此其斜率必存在，设两腰的斜率分别为 k1， k2， 由? y 3 k1 x 1 ，x22y26 1，消去 y，得 (3 k21)x2 2k1( 3 k1)x
15、 ( 3 k1)2 6 0， 点 B 的横坐标为 x 1 6 2 3k1k21 3(x 1 为点 A 的横坐标 )， 点 B 的纵坐标为 y 3 2 3k21 6k1k21 3 ， 即 B? ?1 6 2 3k1k21 3， 3 2 3k21 6k1k21 3 . ? 6 分 同理可得点 C 的坐标为 C? ?1 6 2 3k2k22 3， 3 2 3k22 6k2k22 3 . k1 k2 0， 直线 BC 的斜率为 kBC 3. ? 8 分 设 B(x1， y1)， C(x2， y2)，直线 BC 的方程为 y 3x m，代入方程 x22y26 1 得 6x2 2 3mx m2 6 0，
16、x1 x2 33 m， x1x2 m2 66 ， BC 1 3 2| x1 x2| 2 x1 x2 2 4x1x2 2 33 12 m2， 9 又点 A 到直线 BC 的距离为 d |m|2 ， S ABC 12BC d 36 m2 12 m2 36 m2 6 2 36， 当 m2 6，即 m 6或 m 6时， ABC 面积取得最大值 3. 此时，直线 BC 的方程为 y 3x 6. ? 16 分 19.(1)解 当 k 0 时， f(x) 1 lnx. 因为 f( x) 1x，从而 f(1) 1. 又 f(1) 1，所以曲线 y f(x)在点 (1， f(1)处的切线方程为 y 1 x 1， 即 x y 0. ? 2 分 (2)证明 当 k 5 时， f(x) lnx 10x 4. 因为 f( x)
