1、 1 江苏省 2016 2017学年度第二学期高 三期初检测 数学试卷（） 考试范围：高考数学全部内容 一、填空题： (本大题共 14小题，每小题 5分，共 70 分，请将答案填在 答题卡相应位置 上 .) 1、 已知集合 A=x|x=2k+1， k Z， B=x|0b0)的离心率 为32 ， F 是椭圆 E 的右焦点，直线 AF的斜率为 2 33 ， O为坐标原点 (1)求 E的方程； (2)设过点 A的动直线 l与 E相交于 P， Q两点，当 OPQ的面积最大时，求 l的方程 19、已知数列 na 的前 n 项积为 nT ，即 12nnT aa a? . （ 1）若数列 na 为首项为 2
2、016，公比为 12q? 的等比数列， 求 nT 的表达式； 当 n 为何值时， nT 取得最大值； （ 2）当 *nN? 时，数列 na 都有 0na? 且 1221 1 1 1( ) ( )nnn n n nT T a a a a ? 成立， 求证： na 为等比数列 . 5 20、 设 1x 、 2x )( 21 xx? 是函数 )0()( 223 ? axabxaxxf 的两个极值点 . （ 1）若 2,1 21 ? xx ，求函数 )(xf 的解析式； （ 2）若 12| | | | 2xx?，求 b 的最大值； （ 3）设函数 )()()( 1xxaxfxg ? ， 12( , )
3、x x x? ，当 ax?2 时，求证： 21( ) (3 2)12g x a a ? . 6 答 案 一、填空题： (本大题共 14小题，每小题 5分，共 70 分，请将答案填在 答题卡相应位置 上 .) 1、 1,3 2、 5 3、 265 4、 5、 4 6、 1115 7、 (2, )? 8、 533?（ , ） 9、 5 10、 105 11、 100101 12、 12 13、 13 14、 ? ?13， 23 二、解答题 （本大题共 6小题，共 90 分。第 15、 16、 17题各 14分，第 18、 19、 20 题各 16分。在 答题卡相应位置上 写出文字说明，证明过程或演
4、算步骤） 15、 解： (1)由题意： 2 , 2 , ( ) s in ( 2 )4f x x? ? ? ? ? ? ? 62( ) s in ( )6 3 4 4f ? ? ? ? ? ? ? 4分 (2)因为 ,22x? ? ? 所以 532,4 4 4x? ? ? ? ? ? 6分 x 2? 38? 8? 8? 38? 2? 2 4x ? 54? ? 2? 0 2? 34? y 22 0 1? 0 1 22 ? 8分 7 图像如图所 示： ? 12分 由图像可知 ? ?y f x? 在区间 ,22?上 的单调递减区间为 3 , , , 2 8 8 2? ? ? ? 。 ? 14 分 1
5、6、 证明：（ 1）连接 AC，交 BD 于点 O，连接 PO 因为四边形 ABCD为菱形，所以 BD AC? ? 2分 又因为 PB PD? ， O为 BD 的 中点， 所以 BD PO? ? 4分 又因为 AC PO O? ， 所以 BD APC?平 面 ， 又因为 PC APC?平 面 ，所以 BD PC? ? 7分 （ 2）因为 四边形 ABCD为菱形，所以 /BC AD ? 9分 因为 ,A D P A D B C P A D? ? ?平 面 平 面 所以 /BC PAD平 面 ? 11 分 又因为 BC PBC?平 面 ， 平面 PBC 平面 PAD l? 所以 /BCl ? 14
6、 分 17、 解 (1)由已知 , 22(1 0 75 )(5 )(1 0 75 )(7 )1222kbkb? ? ? ? ? ? 22(1 0 75 )(5 ) 0(1 0 75 )(7 ) 1kb? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?解得 b=5,k=1.?4 分 (2)当 p=q时 ,2(1? t)(x? 5)2 2x? ?6 分 P B C A D 8 (1 )t? 22( 5 ) 1 ( 5 )xx x t x? ? ? ? ? ? ?1+ 125 10x x ?8 分 25()f x x x?设 ， 121 2 1 2 1 212250 4 ; ( ) ( ) ( ) 0xxx
7、 x f x f x x x xx ? ? ? ? ? ? ?， 所以 25()f x x x? 在 (0,4上单调递减， ?1 0分 所以当 x=4时 ,f(x)有最小值 414 . 即当 x=4 时， t有最大值 5 故当 x=4时，关税税率的最大值为 500%. ? ?1 4分 18、 解 :(1)设 F(c,0)，由条件知， 2c 2 33 ，得 c 3. 又 ca 32 ，所以 a 2， b2 a2 c2 1.故 E的方程为 x24 y2 1. ? 4 分 (2)当 l x轴时不合题意， 故设 l： y kx 2， P(x1， y1)， Q(x2， y2)，将 y kx 2代入 x2
8、4 y2 1得 (1 4k2)x2 16kx 12 0. ?6 分 当 16(4k2 3)0，即 k234时， x1,2 8k2 4k2 34k2 1 . 从而 |PQ| k2 1|x1 x2| 4 k2 1 4k2 34k2 1 . ?8 分 又点 O到直线 PQ 的距离 d 2k2 1， 所以 OPQ的面积 S OPQ 12d|PQ| 4 4k2 34k2 1 . ?10 分 设 4k2 3 t，则 t0， S OPQ 4tt2 4 4t 4t. 因为 t 4t4 ，当且仅当 t 2，即 k 72 时等号成 立，且满足 0， ?14 分 所以，当 OPQ的面积最大时 l的方程为 y 72
9、x 2或 y 72 x 2. ? 16 分 9 19、 解： （ 1） 由题意知 112016( )2 nna ?， 所以 ( 1 )0 1 ( 1 ) 2112 0 1 6 ( ) 2 0 1 6 ( )22 nnn n nnT? ? ? ? ? ? ?.?3 分 记 |nnba? ， |nnRT? ，即 112016( )2 nnb ?， ( 1)212016 ( )2 nnnnR? ， 1 12016 ( )2 nnnRR? ?，当 *10,n n N?时， 1 1nnRR? ? ；当 *11,n n N?时， 1 1nnRR? ? ， 又因为 *,0nn N R? ? ? ，所以，当
10、*10,n n N?时， 1nnRR? ? ；当 *11,n n N?时，1nnRR? ? ，所以 nR 的最大值为 11R .?6 分 此时 11 5511 12016 ( ) 02T ? ? ?，而 9 10 120, 0, 0T T T? ? ?，所以 m ax 9 12( ) m ax , nT T T? . 而 3 1 0121 2 1 1 1 0 1 19 1( ) ( 2 0 1 6 ( ) ) 12T a a a aT ? ? ? ? ? ?， 所以，当 12n? 时， nT 取得最大值 . ?9 分 （ 2）当 2n? 时， 322 21 2 3 1 2 1 3( )( )a
11、 a a a a a a? ，所以 2 1 3aa? ，即 22 1 3a aa? ， ?10 分 已知 1221 1 1 1( ) ( )nnn n n nT T a a a a ? 当 2n? 时， 1221 1 1 1( ) ( )nnn n n nT T a a a a? 两式相除得 212 111 11()nnnn nnaaaa a? ?，化简得 2 1 2 11 1 +1nnn n na a a a? ? ， 又因为 221 1 +2nnn n na a a a? ? ， 两式相除得 1 2 11 2 1n n n nn n n na a a a? ? ? ? ? ， ?12 分
12、式可化为： 12 1 1221( ) ( ) 1nnn n n nnna a a aaa ? ? ? ?， 2n? 令 1112()nnnn naac a ?，所以 111, 1nnc c c?，所以 *1,nc n N? ? ? ， 即 211n n na a a? ， 2,n? *nN? 都成立， 所以 na 为等比数列 . ?16 分 10 20、 解：（ 1） )0()( 223 ? axabxaxxf ， )0(23)( 22 ? aabxaxxf 依题意有? ? ? 0)2( 0)1(ff， )0(0412 023 22 ? ? ? aaba aba. 解得? ? 96ba， xx
13、xxf 3696)( 23 ? . ?4 分 （ 2） )0(23)( 22 ? aabxaxxf , 依题意， 12,xx是方程 ( ) 0fx? ? 的两个根，且 12| | | | 2xx?， 21 2 1 2 1 2( ) 2 2 | | 4x x x x x x? ? ? ? ?， 即： 8|3|2)3(2)32( 2 ? aaab 4， 223 (3 )b a a?6 分 2 0b ， 06a? 3. ?8 分 设 2( ) 3 (3 )p a a a?，则 2( ) 9 18p a a a? ? ? 由 ( ) 0pa? ? 得 40 ?a 2，由 ( ) 0pa? ? 得 4?
14、a 2. 即：函数 ()pa 在区间 (0,2)上是增函数，在区间 (2,3)上是减函数， 当 2a? 时 ， ()pa 有极大值为 12， ()pa 在 (0,3 上的最大值是 12， b 的最大值为 23. ?10 分 （ 3） 证明： 21,xx 是方程 0)( ?xf 的两根， )(3)( 21 xxxxaxf ? . 321 axx ?， ax?2 ， 311 ?x.?12 分 |1)(3)31(|)31()(31(3|)(| ? axxaxaaxxaxg 21 xxx ? ，即 1 .3 xa? ? ? )133)(31(|)(| ? axxaxg | ()|gx )3 13)(31(3 ? axxa aaaaxa3143)2(3 232 ?3 23143a aa? 12 )23( 2? aa . | ()|gx 2(3 2)12a a? ?16 分
