1、 1 2017届高三下学期四月月考 理科数学试题 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求 . 1若复数( )21+ 2ai i-（i为虚数单位）是纯虚数，则实数 a=（ ） A 0B 1C D 1- 2设全集 U R，集合 2 | 2 3 0 | 1 0 A x x x B x x? ? ? ? ? ?， ，则图中阴 影部分所表示的集合为 ( ) A | 1xx B | 1xx? C | 1xx? 或 3x D | 1xx? 或 3x 3一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图相同，其上 部分是半圆，下部分是
2、边长为 2的正方形；俯视图是边长为 2的正方 形及其外接圆则该几何体的体积为 ( ) A 24 3? 来 B 4283?C 8283?D. 4243?4. 下列结论 正确的 是（ ） A 命题“如果 222pq?，则 2pq? ”的否命题是“如果 2pq? ，则222pq?”； B命题 : 0,1, 1xp x e? ? ?，命题 2: , 1 0 ,q x R x x? ? ? ? ?则 pq? 为假 ; C 若31()2 nx?的展开式中第四项为常数项，则 n =5 ; D. “若 22,am bm? 则 ab? ”的逆命题为真命题 . 5已知 MOD函数是一个求余函数，记 MOD( )m
3、n， 表示 m 除 以 n的余数，例如 MOD(8 3) 2?， 右图是某个算法的程序 框图，若输入 m的值为 48时，则输出 i 的值为 ( ) A 10 B 9 C 8 D 7 6.已知 ,ab为 单位向量 ， | | 2 | |a b a b? ? ?，则 a 在 ab? 的 投影 为 （ ） A 13 B 263? C 223 D 63 7.已 知等差数列 ?na 的 公差 0d? ， nS 是其 前 项和 ，若 2 3 6 a a a， ， 成 等比数列，且 10 17a ? ， 则2nnS的 最小值是（ ） A 38?B 58?C. 12?D 1532?8.为防止部分学生考试时用搜
4、题软件作弊，命题组指派 5 名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这 3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（ ） A 420 B 200 C 180 D 150 9.已知 ? ? ? ?sinf x x?，其中 0? ， 0,2? ?， ? ? ? ?120f x f x?，21min 2xx ?， ? ?fx? 2 3fx?，将 ?fx的图象向左平移 6? 个单位得 ?gx，则 ?gx的单调递减区间是（ ） A 5,36kk? ?Zk? B 2,63kk? ?Zk?C. ,2kk ? ?Zk? D 7,12 12kk? ?Zk?10.双曲线 C ： 221xyab
5、?（ 0a? ， 0b? ）的两条渐近线互相垂直， 1F ， 2F 分别为 C 的左，右焦点，P 点在该双曲线的右支上且到直线 22xa? 的距离为 32，若 128PF PF?，则双曲线的标准方程为（ ） A 13232 22 ?yx B 22116 16xy? C. 22188xy? D 22144xy? 11.已知实数 ,xy满足约束条件 02422xyxyxy?，如果目标函数 z x ay? 的最大值为 163 ，则实数 a 的值为( ) A. 3 或 113? B. 143 C.3 或 143 D. 3 12.已 知函数 ? ? 2 2 03 0xxfx x a a x? ? ? ?
6、 ? ? ， ，的 图象恰有 三 对点关于原点成中心对称，则 实数 a 的 取值范围是（ ） A 17 28?，B 171 16?，C. 191 16?，D 17 116?，第 卷（非选择题 共 90分） 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 . 13 已知数列 ?na 的前 n 项和为 2nSn? ，某三角形三边之比为 234:a a a ，则该三角形最大角为 . 14.我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异” .其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高 .原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒
7、相等，则这两个几何体的体积相等 .如图所示，在空间直角坐标系 xOy 平面 内，若函数? ? ? ?21 , 1 , 0c o s , 0 , 2xxfx xx ? ? ? ? ? ? ?的图象与 x 轴围成一个封闭的区域 A ，将区域 A 沿 z 轴的正方向平移 4个单位，得到几何体如图一，现有一个与之等高的圆柱如图二，其底面积与区域 A 的面积相等，则此圆柱的体积为 15.机器 人 “ 海宝 ” 在某圆形区域表演 “ 按指令行 走 ” ，如图所示， “ 海宝 ” 从圆心 出 发，先沿北偏西 12sin13?方向 行走 13米 至点 A 处 ，再沿正南方向行走 14米 至点 B 处 ，最后沿
8、正东方向行走至点 C 处 ，点 BC， 都 在圆 上 ，则在以线段 BC 中 点为坐标 原点 O ，正东方向为 x 轴 正方向，正北方向 为 y 轴 正方向的直角坐标系中，圆 的 标准方程3 为 16.已知圆 ? ? ? ?22: 1 4 1 0C x y? ? ? ?和点 ? ?5,Mt，若圆 C上存在两点 A,B，使得 MA MB? ，则实数 t 的取值范围是 三、解答题：本大题共 6小题，共 70 分 .解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程 . 17.（ 12 分）设 等差数列 ?na 的 前 项 和为 nS ， 且 5 5 6 25S a a? ? ? . 求 ?na 的 通项公式
9、； 若 不等式 ? ? ? ?2 8 2 7 1 4nnnS n k a? ? ? ? ?对 所有的正整数 都 成立， 求 实数 k 的 取值范围 . 18 (12分 )时下，租车已经成为新一代的流行词，租车自驾游也慢慢流行起来，某小车租车点的收费标准是，不超过 2天按照 300元计算；超过两天的部分每天收费标准为 100元（不足 1天的部分按 1天计算）有甲乙两人相互独立来该租车点租车自驾游（各租一车一次），设甲、乙不超过 2天还车的概率分别为 11,32；2 天以上且不超过 3天还车的概率分别 11,23；两人租车时间都不会超过 4天 求甲所付租车费用大于 乙所付租车费用的概率； 设甲、乙
10、两人所付的租车费用之和为随机变量 ? ，求 ? 的分布列与数学期望 ?E? 19.（ 12 分）如图，在圆柱中， A， B， C， D是底面圆的四等分点， O是圆心， A1A， B1B， C1C与底面 ABCD垂直，底面圆的直径等于圆柱的高 证明： BC AB1； 求二面角 A1 - BB1 - D的大小； 求异面直线 AB1和 BD所成角的余弦值 20 (12分 )已知椭圆 ? ?22: 1 0xyE a bab? ? ? ?，直线 2 12 xy?经过 E 的右顶点和上顶点 . 求椭圆 E 的方程； 设椭圆 E 的右焦点为 F ，过点 ? ?2,0G 作斜率不为 0 的直线交椭圆 E 于
11、,MN两点 . 设直线 FM 和FN 的斜率为 12,kk. 求证 : 12kk? 为定值； 求 FMN? 的面积 S 的最大值 . ODCBAC1B1A14 21.（本题满分 12分）已知函数 ? ? ? ?22 ln .f x x x x a? ? ? 若 ?fx在定义域上为单调递减函数，求实数 a 的取值范围； 是否存在实数 a ，使得 ? ? 0fx? 恒成立，且 ?fx有唯一零点，若存在，求出满足 ? ?, 1 ,a n n n Z? ? ?的 n 的值，若不存在，请说明理由 . 请考生在 第 22、 23 两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B
12、铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。 22.（本题满分 10分）选修 4-4：参数方程与极坐标系 在平面直角坐标系 xoy 中，曲线 1C 的参数方 程为2cossinxy ? ?（ ? 为参数），以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2 2: c o s 42C ? ? ?， 3 : 2sin .C ? 求曲线 1C 与 2C 的交点 M在直 角坐标系 xoy 中的坐标； 设点 A,B分别为曲线 23,CC上的动点，求 AB 的最小值 . 23.（本题满分 10分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ? ? 2 1 .f x x a x? ? ? ? 当 1a? 时，求
13、?fx的最小值； 若存在 ? ?0,2x? 使得不等式 ? ?fx? 0成立，求实数 a 的取值范围 . 南城一中 2017届理科数学四月模拟考试题参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B B C B D C D C D A B 13.23? 14. 4? 15. ? ?22 9 225xy? ? ? 16. ? ?2,6 17.（） 34nan?（） 297 4k? ? ? 试题解析：解 ：（ 1） 设公差为 ， 则1 1 1545 4 5 2 52a d a d a d? ? ? ? ? ?， 1 1 3ad? ?， . ?na 的通 项公式为 3
14、4nan?.111 ? 5分 （ 2） ? ?312n nnSn ? ? ?， 22 8 2 7 3 3 2 7nS n n n? ? ? ? ?， 43nan? ； 5 ? ? 911n kn n? ? ? ? ， 当 为 奇数时， 91knn? ? ?； 当 为 偶数时， 91kn n? ? ? ， 917n n? ? ? ， 当且仅当 3n? 时 取等号， 当 为 奇数时， 91n n? 的 最小值为 7， 当 为 偶数时， 4n? 时，91n n? 的 最小值为 294 ， 297 4k? ? ? .?1 2分 （ 18）（本小题满分 12分） 解：（）证明：因为 B1B平面 ABCD
15、，且 BC? 平面 ABCD，所以 BC B1B，又因为 在底面圆 O 中， AB BC， AB B1B = B，所以 BC平面 A1B1BA，又因为 BA1? 平面 A1B1BA，所以 BC AB1 ? 5分 （ ）（）由圆柱性质知 CB、 CD、 CC1两两垂直以 C为原点，以 CD 、 CB 、 1CC 为 x轴、 y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系 C xyz? ，不妨设圆柱的高为 2 则 (0,0,0)C ， (0, 2,0)B ， (1,1,0)O ? 6分 所以平面 A1B1B的一个法向量是 (0, 2,0)CB? 平面 BB1D的一个法向量是 (1,1,0)CO? 所以 22c
16、 o s ,222C B C OC B C O C B C O? ? ? ? ? ? ? ? 8分 由图知二面角 A1 - BB1 - D 是锐二面角，所以它的大小是4? 9分 （）由题意得 ( 2, 2,0)A ， ( 2,0,0)D ， 1(0, 2,2)B 所以 1 ( 2,0,2)AB ? ， ( 2, 2,0)BD ? 所以 1112 6c o s , 624 2 2A B B DA B B DA B B D? ? ? ? ? ? 12分 19 【答案】（ 1） 718 ；（ 2）分布列见解析， ? ? 750E ? ? 【解析】（ 1）因为甲所付租车费用大于乙所付租车费用， 当乙租车 2天内时，则甲租车 3或 4天，其概率为1 1 1 112 3 3P ? ? ? ?； 当乙租车 3天时，则甲租车 4 天，其概率为2 1 1 1 113 3 2 1 8P ? ? ? ? ?； 则甲所付租车费用大于乙所
