1、 - 1 - 江西省横峰县 2017届高三数学下学期第 8 周周练试题 理 一、单项选择（注释） 1、 已知抛物线的顶点在原点，焦点在 x轴的正半轴上，若抛物线的准线与双曲线 5x2 y2= 20的两条渐近线围成的三角形的面积等于 54 ，则抛物线的方程为（ ） A y2=4x B y2=8x C x2=4y D x2=8y 【答案】 B 【解析】 抛物线的顶点在原点，焦点在 x 轴的正半轴上排除 C D，设抛物线的方程为)0(22 ? ppxy ，则抛物线的准线方程为 2px ? ，双曲线的渐进线方程为 xy 5? ，由面积为 54 可得 545221 ? pp ，所以 4?p ，答案选 B
2、。 2、 如图，图案共分 9个区域，有 6中不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能涂一种颜色的涂料，其中 2 和 9 同色、 3 和 6 同色、 4 和 7 同色、 5 和 8 同色，且相邻区域的颜色不相同，则涂色方法有（ ） A 360种 B 720 种 C 780种 D 840种 【答案】 B 【解析】 由图可知，区域 2,3,5,7 不能同色，所以 2 和 9 同色、 3 和 6 同色、 4 和 7同色、 5和 8 同色，且各区域的颜色均不相同，所以涂色方法有 720246 ?A 种，故应选 B . 考点： 1、涂色问题； 2、排列组合 . 3、 执行如右 图所示的程序框图，则输出的结果是
3、 ( ) A 1920 B 2021 C 2122 D 2223【答案】 C 【解析】 4、下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的- 2 - “更相减损术”执行该程序框图，若输入的 a,b分别为 14,18，则输出的 a=（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 14 【答案】 B 【解析】 由 a=14， b=18， a b， 则 b变为 18-14=4， 由 a b，则 a变为 14-4=10， 由 a b，则 a变为 10-4=6， 由 a b，则 a变为 6-4=2， 由 a b，则 b变为 4-2=2， 由 a=b=2， 则输出的 a=2 考点：程序框图 5、 已知
4、两定点 ( 1,0)A? 和 (1,0)B ， 动点 (, )Pxy 在直线 :3l y x? 上移动 ， 椭圆 C 以 A ， B为焦点且经过点 P ， 则椭圆 C 的离心率的最大值为 （ ） A 55 B 105 C 255 D 2105 【答案】 A 【解析】 设 ( 1,0)A? 关于直线 :3l y x? 的对称点为 ),(/ nmA ,则?213211mnmn,解之得? ?23nm,即 )2,3(/ ?A ,因 1?c 是定值 ,故当 a 最小时椭圆的离心率 ae 1? 最大 .由于54202 / ? BAPBPAPBPAa （当且仅当 BPA ,/ 共线时取等号） ,即5?a ,
5、则 551?ae ,故应选 A. 考点：椭圆的定义及直线与椭圆的位 置关系及运用 . 【易错点晴】本题是一道考查直线与椭圆的位置关系及最值等问题的综合性问题 .解答时先建- 3 - 立方程组?213211mnmn求 ( 1,0)A? 关于直线 :3l y x? 的对称点为 ),(/ nmA ,然后通过运用转化化归的数学思想将问题转化为求“当 a 最小时椭圆的离心率 ae 1? 最大”的问题然后借助 54202 / ? BAPBPAPBPAa （当且仅当 BPA ,/ 共线时取等号）求出 5?a ,使得问题获解 . 6、 已知双曲线 22: 1( 0 , 0 )xyC a bab? ? ? ?的
6、一条渐近线截圆 22:( 1) 1M x y?所得弦长为 3 ，则该双曲线的离心率为（ ） A 43 B 233 C 63 D 53 【答案】 B 【解析】 双曲线的一条渐近线为 0bx ay?，圆心到直线的距离为 12bd c? ， 2cb? ，22 3a c b b? ? ?，故离 心率 233e? . 考点：直线与圆锥曲线位置关系 . 【思路点睛】本题考查双曲线的连线的求法，注意运用渐近线方程和点到直线的距离公式，求得圆的圆心和半径，双曲线的渐近线方程，可得圆心到渐近线的距离，运用弦长公式可得2cb? ，由 a b c， ， 的关系和离心率公式计算即可得到所求值 评卷人 得分 二、填空题
7、（注释） 7、 长方体 8个顶点中，以任意 3个为顶点的所有三角形中，锐角三角形共有 _个 【答案】 8 - 4 - 【解析】 任取 3点构成的三角形个数为 38 56C? ，其中等腰直角三角形有4 12 242? ? 个，非等腰直角三角形有 2 12 24? ，所以锐角三角形有56 24 24 8? ? ? 个 考点： 排列组合 8、 椭圆 E： 22=116 4xy? 内有一点 P(2,1)，则经过 P 并且以 P为中点的弦所在直线方程为 _ 【答案】 x 2y 4 0 【解析】 设所求直线与椭圆相交于 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 2211=116 4xy? ， 22=
8、116 4xy? 两式相减得 1 2 1 2 1 2 1 2 =01 6 4x x x x y y y y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 又 x1 x2 4， y1 y2 2， kAB 12121= 2yyxx? ? 因此所求直线方程为 y 1 12 (x 2)， 即 x 2y 4 0 【解析】 9、 执行如下图所示的程序框图 ， 输出的 S值为 . 【答案】 10 【解析】 评卷人 得分 三、解答题（注释） 10、 已知中心在原点的椭圆 C： 的一个焦点为 F1(0,3)， M(x,4)(x0)为椭圆 C 上一点， MOF1的面积为 . - 5 - (1)求椭圆 C的方程； (2)是
9、否存在平行于 OM 的直线 l，使得直线 l与椭圆 C相交于 A， B两点，且以线段 AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线 l的方程；若不存在，说明理由 【答案】 【解析】 (1)因为椭圆 C的一个焦点为 F1(0,3)，所以 b2 a2 9，则椭圆 C的方程为 11、 如图 1，已知抛物线 ? 的顶点 ? 在坐标原点，焦点在 y 轴正半轴上，准线与 y 轴的交点 为? 过点 ? 作圆 C: ? ?22 21xy? ? ?的两条切线，两切点分别为 D ， G ，且 42DG 3? （ 1）求抛物线 ? 的标准方程； - 6 - （ 2）如图 2 ，过抛物线 ? 的焦点 F 任作两条互相
10、垂直的直线 1l ， 2l ，分别交抛物线 ? 于 ? ， Q两点和 ? ， ? 两点， ? ， ? 分别为线段 Q? 和 ? 的中点，求 ? 面积的最小值 【答案】 （ 1） 2 4xy? ；（ 2） 6 试题分析：（ 1）由对称性知， DG y? 轴，设 DG 与 y 轴的交点为 ? ，则 22D 3? 在Rt C D? 中，D1? 22 1C C D D 3? ? ? ? ? ?2C C C D? ? ?C3? C?0,2?C2? 1?2p?24xy? ；（ 2）设直线 1l 的斜率为 k ，由 1l 过? ?F0,1? 1l ： 1y kx? 代 入 2 4xy?2 4 4 0x kx
11、? ? ? 12 4x x k? ? ? ?点? ?22 ,2 1kk?， 同 理 可 得 点 222,1kk? ? ? ：2222 1 22222y k x kkkkk? ? ? ? ?1 3y k xk? ? ? ? 过定点 ? ?D0,3 ?的 面 积 ：11332S S S x x k k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?13 2 6k k? ? ? ?（当且仅当 1k? 时取等号） ? 的面积的最小值为 6 试题解析：（ 1）由对称性知， DG y? 轴，设 DG 与 y 轴的交点为 ? ，则 22D 3? 连 CD ，则 Rt C D? 中， CD 1?
12、 ，则 22 1C C D D 3? ? ? ? ? 因为 D? 为圆 C 的切线，则 CD D?由射影定理，得 2C C CD? ? ? ，则 C3? 因为圆心 C 的坐标为 ? ?0,2 ，则 C2?，所以 1? ，即 12p? ，得 2p? 所以抛物线 ? 的标准方程为 2 4xy? （ 2）设直线 1l 的斜率为 k ，因为 1l 过焦点 ? ?F0,1 ，则直线 1l 的方程为 1y kx?代入 2 4xy? ，得 - 7 - yxQMBFCOP2 4 4 0x kx? ? ? 设点 ? ?11,xy? ， ? ?22Q,xy ，则 124x x k? 因为 ? 为线段 Q? 的中点
13、，则点 ? ?22 ,2 1kk? 因为 12ll? ，则直线 2l 的方程为 1 1yxk? ? 同理可得点222,1kk? ? ?直线 ? 的方程为 2222 1 22222y k x kkkkk? ? ? ? ?，即 1 3y k xk? ? ?，显然过定点 ? ?D0,3 设 ? 的 面 积 为 S ， ? 与 y 轴 的 交 点 为 ? ，则11332S S S x x k k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 13 2 6k k? ? ? ?，当且仅当 1k? 时取等号所以 ? 的面积的最小 值为 6 考点： 1、抛物线的标准方程； 2、直线与圆； 3、
14、射影定理； 4、直线与抛物线； 5、三角形的面积； 6、重要不等式 . 【方法点晴】本题主要考查抛物线的标准方程；、直线与圆、射影定理、直线与抛物线、三角形的面积与重要不等式，综合程度高，属于难题 .本题最难点是利用重要不等式求最小值，使用该公式是一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性） .平时应熟练掌握双钩函数的图像，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，才能灵活应对这类题型 . 【解析】 12、 已知圆 22: ( 1) ( 1) 2C x y? ? ? ?经过椭圆 22: 1( 0)xy abab? ? ? ? ?的右焦点 F
15、 和上顶点 B （ ）求椭圆 ? 的方程； （ ）如图，过原点 O 的射线 l 与椭圆 ? 在第一象限的交点为 Q ，与圆 C 的交点为 P ， M 为OP 的中点， 求 OMOQ? 的最大值 . 【答案】 （ ） 22184xy?.（ ） 23 - 8 - 【解析】 （ ）在 22: ( 1) ( 1) 2C x y? ? ? ?中， 令 0y? 得 (2,0)F ，即 2c? ，令 0x? ，得 (0,2)B ， 2b? ， 由 2 2 2 8a b c? ? ? ， 椭圆 ? ： 22184xy?. -4分 （ ） 法一： 依题意射线 l 的斜率存在，设 : ( 0, 0)l y kx
16、x k? ? ?，设 1 1 2 2( , ), ( , )P x kx Q x kx 22184y kxxy? ?得： 22(1 2 ) 8kx?， 2 22212x k? ?. -6分 22( 1) ( 1) 2y kxxy? ? ? ? ? 得： 22(1 ) (2 2 ) 0k x k x? ? ? ?， 1 2221 kx k? ? ， 11( , )22x kxOM OQ? ? ? 22 2 1 2 1 2 211( , ) ( ) 2 2 ( 0 )2 12 kx k x x x k x x kk? ? ? ?. -9分 22(1 ) 2 12 2 2 21 2 1 2k k k
17、kk? ? ? 设 2221() 12kkk k? ? ?， 2/224 2 2() (1 2 )kkk k? ? ? ? ?， 令 2/224 2 2( ) 0(1 2 )kkk k? ? ? ?，得 112k? ? ? 又 0k? ， ()k? 在 1(0, )2单调递增，在 1( , )2?单调递减 . 当 12k?时，max 13( ) ( )22k?，即 OMOQ? 的最大值为 23. -13分 法二： 依题意射线 l 的斜率存在，设 : ( 0, 0)l y kx x k? ? ?，设 1 1 2 2( , ), ( , )P x kx Q x kx 22184y kxxy? ?得： 22(1 2 ) 8kx?， 2 22212x k? ?. -6分 ()O M O Q O C C M O Q O C O Q? ? ? ? ? ? = 2 2 2(1,1) ( , ) (1 )x k
