1、 第 1 页（共 20 页） 历年高考数学真题精选（按考点分类）历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题 28 异面直线所成的角（学生版） 一选择题（共一选择题（共 12 小题）小题） 1（2018新课标） 在长方体 1111 ABCDABC D中，1ABBC， 1 3AA ， 则异面直线 1 AD 与 1 DB所成角的余弦值为( ) A 1 5 B 5 6 C 5 5 D 2 2 2（2017新课标） 已知直三棱柱 111 ABCABC中，120ABC，2AB ， 1 1BCCC， 则异面直线 1 AB与 1 BC所成角的余弦值为( ) A 3 2 B 15 5 C 10 5 D 3 3 3
2、 （2016新课标）平面过正方体 1111 ABCDABC D的顶点A，/ /平面 11 CB D，平 面ABCDm，平面 11 ABB An，则m、n所成角的正弦值为( ) A 3 2 B 2 2 C 3 3 D 1 3 4（2014大纲版） 已知二面角l 为60，AB，ABl，A为垂足，CD，Cl， 135ACD，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为( ) A 1 4 B 2 4 C 3 4 D 1 2 5 （2014新课标）直三棱柱 111 ABCABC中，90BCA，M，N分别是 11 A B， 11 AC的 中点， 1 BCCACC，则BM与AN所成角的余弦值为( ) A 1 10
3、B 2 5 C 30 10 D 2 2 6 （2014大纲版）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角 的余弦值为( ) A 1 6 B 3 6 C 1 3 D 3 3 7 （2012陕西）如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱 111 ABCABC， 1 2CACCCB， 则直线 1 BC与直线 1 AB夹角的余弦值为( ) 第 2 页（共 20 页） A 5 5 B 5 3 C 2 5 5 D 3 5 8 （2010全国）在正三棱柱 111 ABCABC中，侧棱 1 2A AAB，M、N分别是BC、 1 CC 的中点，则异面直线 1 AB与MN所成的角等于( ) A3
4、0 B45 C60 D90 9 （2010全国大纲版）直三棱柱 111 ABCABC中，若90BAC， 1 ABACAA，则 异面直线 1 BA与 1 AC所成的角等于( ) A30 B45 C60 D90 10 （2009黑龙江）已知正四棱柱 1111 ABCDABC D中， 1 2AAAB，E为 1 AA中点，则异 面直线BE与 1 CD所形成角的余弦值为( ) A 10 10 B 1 5 C 3 10 10 D 3 5 11 （2018上海）如图，在直三棱柱 111 ABCABC的棱所在的直线中，与直线 1 BC异面的直 线的条数为( ) A1 B2 C3 D4 第 3 页（共 20 页
5、） 12 （2012重庆）设四面体的六条棱的长分别为 1，1，1，1，2和a，且长为a的棱与长 为2的棱异面，则a的取值范围是( ) A(0, 2) B(0, 3) C(1, 2) D(1, 3) 二填空题（共二填空题（共 5 小题）小题） 13 （2016全国）已知BACD为直二面角，Rt ABCRt ADC，且ABBC，则异面 直线AB与CD所成角的大小为 14 （2016浙江）如图，已知平面四边形ABCD，3ABBC，1CD ，5AD ， 90ADC，沿直线AC将ACD翻折成ACD，直线AC与BD所成角的余弦的最大 值是 15（2015浙江） 如图， 三棱锥ABCD中，3ABACBDCD
6、，2ADBC， 点M， N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是 16 （2015四川）如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，他们所在的平面互相垂直， 动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点， 设异面直线EM与AF所成的角为， 则cos的最大值为 17 （2012四川）如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，M、N分别是CD、 1 CC的中点， 第 4 页（共 20 页） 则异面直线 1 A M与DN所成的角的大小是 三解答题（共三解答题（共 5 小题）小题） 18 （2019上海）如图，在正三棱锥PABC中，2,3PAPBPCABBCAC （1）
7、若PB的中点为M，BC的中点为N，求AC与MN的夹角； （2）求PABC的体积 19 （2016上海）将边长为 1 的正方形 11 AAOO（及其内部）绕 1 OO旋转一周形成圆柱，如 图，AC长为 2 3 ，1 1A B长为 3 ，其中 1 B与C在平面 11 AAOO的同侧 （1）求三棱锥 111 CO AB的体积； （2）求异面直线 1 B C与 1 AA所成的角的大小 第 5 页（共 20 页） 历年高考数学真题精选（按考点分类）历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题 28 异面直线所成的角（教师版） 一选择题（共一选择题（共 12 小题）小题） 1（2018新课标） 在长方体 11
8、11 ABCDABC D中，1ABBC， 1 3AA ， 则异面直线 1 AD 与 1 DB所成角的余弦值为( ) A 1 5 B 5 6 C 5 5 D 2 2 【答案】C 【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴， 1 DD为z轴，建立空间直角坐标系， 在长方体 1111 ABCDABC D中，1ABBC， 1 3AA ， (1A，0，0)， 1(0 D，0，3)，(0D，0，0)， 1(1 B，1，3)， 1 ( 1AD ，0，3)， 1 (1DB ，1，3)，设异面直线 1 AD与 1 DB所成角为， 则 11 11 |25 cos 5| |2 5 AD DB ADDB ，异面直线
9、1 AD与 1 DB所成角的余弦值为 5 5 故选：C 2（2017新课标） 已知直三棱柱 111 ABCABC中，120ABC，2AB ， 1 1BCCC， 则异面直线 1 AB与 1 BC所成角的余弦值为( ) A 3 2 B 15 5 C 10 5 D 3 3 【答案】C 第 6 页（共 20 页） 【解析】如图所示，设M、N、P分别为AB， 1 BB和 11 BC的中点， 则 1 AB、 1 BC夹角为MN和NP夹角或其补角（因异面直线所成角为(0,) 2 ， 可知 1 15 22 MNAB， 1 12 22 NPBC； 作BC中点Q，则PQM为直角三角形； 1PQ ， 1 2 MQA
10、C，ABC中，由余弦定理得 222 2cosACABBCAB BCABC 1 4122 1 () 2 7， 7AC， 7 2 MQ；在MQP中， 22 11 2 MPMQPQ； 在PMN中，由余弦定理得 222 222 5211 ()()() 10 222 cos 2552 2 22 MNNPPM MNP MN NP ； 又异面直线所成角的范围是(0， 2 ， 1 AB与 1 BC所成角的余弦值为 10 5 3 （2016新课标）平面过正方体 1111 ABCDABC D的顶点A，/ /平面 11 CB D，平 面ABCDm，平面 11 ABB An，则m、n所成角的正弦值为( ) A 3 2
11、 B 2 2 C 3 3 D 1 3 【答案】A 【解析】如图：/ /平面 11 CB D，平面ABCDm，平面 11 ABABn， 可知： 1 / /nCD， 11 / /mB D， 11 CB D是正三角形m、n所成角就是 11 60CD B 则m、n所成角的正弦值为： 3 2 4（2014大纲版） 已知二面角l 为60，AB，ABl，A为垂足，CD，Cl， 第 7 页（共 20 页） 135ACD，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为( ) A 1 4 B 2 4 C 3 4 D 1 2 【答案】B 【解析】如图，过A点做AEl，使BE，垂足为E，过点A做/ /AFCD，过点E做 EFA
12、E，连接BF，AEl90EAC / /CDAF又135ACD45FAC45EAF 在Rt BEA中，设AEa，则2ABa，3BEa， 在Rt AEF中，则EFa，2AFa，在Rt BEF中，则2BFa， 异面直线AB与CD所成的角即是BAF， 222222 (2 )( 2 )(2 )2 cos 24222 ABAFBFaaa BAF AB AFaa 故选：B 5 （2014新课标）直三棱柱 111 ABCABC中，90BCA，M，N分别是 11 A B， 11 AC的 中点， 1 BCCACC，则BM与AN所成角的余弦值为( ) A 1 10 B 2 5 C 30 10 D 2 2 【答案】C
13、 【解析】 直三棱柱 111 ABCABC中，90BCA，M，N分别是 11 A B， 11 AC的中点， 如图： BC 的中点为O，连结ON， / 11 1 2 MNBCOB，则0MN B是平行四边形，BM与AN所 成角就是ANO， 1 BCCACC， 设 1 2BCCACC，1CO，5AO ，5AN ， 2222 11 ( 2)26MBBMBB， 第 8 页（共 20 页） 在ANO中，由余弦定理可得： 222 630 cos 210256 ANNOAO ANO AN NO 6 （2014大纲版）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角 的余弦值为( ) A 1
14、6 B 3 6 C 1 3 D 3 3 【答案】B 【解析】如图，取AD中点F，连接EF，CF，E为AB的中点，/ /EFDB， 则CEF为异面直线BD与CE所成的角， ABCD为正四面体，E，F分别为AB，AD的中点，CECF 设正四面体的棱长为2a，则EFa， 22 (2 )3CECFaaa 在CEF中，由余弦定理得： 2222 2 3 cos 2623 CEEFCFa CEF CE EFa 故选：B 7 （2012陕西）如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱 111 ABCABC， 1 2CACCCB， 则直线 1 BC与直线 1 AB夹角的余弦值为( ) 第 9 页（共 20 页） A 5
15、 5 B 5 3 C 2 5 5 D 3 5 【答案】A 【解析】分别以CA、 1 CC、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系， 1 2CACCCB，可设1CB ， 1 2CACC (2A，0，0)，(0B，0，1)， 1(0 B，2，1)， 1(0 C，2，0) 1 (0BC ，2，1)， 1 ( 2AB ，2，1) 可得 11 0 ( 2)22( 1) 13BC AB ，且 1 |5BC， 1 |3AB， 向量 1 BC与 1 AB所成的角（或其补角）就是直线 1 BC与直线 1 AB夹角， 设直线 1 BC与直线 1 AB夹角为，则 11 11 5 cos| 5| | BC AB BCA
16、B 故选：A 8 （2010全国）在正三棱柱 111 ABCABC中，侧棱 1 2A AAB，M、N分别是BC、 1 CC 的中点，则异面直线 1 AB与MN所成的角等于( ) A30 B45 C60 D90 【答案】C 【解析】在正三棱柱 111 ABCABC中，侧棱 1 2A AAB，M、N分别是BC、 1 CC的中点， 以A为原点，在平面ABC中过点A作AC的垂线为x轴，AC为y轴， 1 AA为z轴， 建立空间直角坐标系，设 1 22A AAB， 则(0A，0，0)， 3 ( 2 B， 1 2 ，0)， 1 3 ( 2 B， 1 2 ，2)，(0C，1，0)， (0N，1， 2 ) 2
17、， 3 ( 4 M， 3 4 ，0)， 1 3 ( 2 AB ， 1 2 ，2)， 3 ( 4 MN ， 1 4 ， 2 ) 2 ， 设异面直线 1 AB与MN所成的角为，则 1 1 3 |1 4 cos 2| |3 3 4 AB MN ABMN ，60 异面直线 1 AB与MN所成的角等于60故选：C 第 10 页（共 20 页） 9 （2010全国大纲版）直三棱柱 111 ABCABC中，若90BAC， 1 ABACAA，则 异面直线 1 BA与 1 AC所成的角等于( ) A30 B45 C60 D90 【答案】C 【解析】延长CA到D，使得ADAC，则 11 ADAC为平行四边形， 1
18、 DAB就是异面直线 1 BA与 1 AC所成的角， 又 11 2ADABDBAB，则三角形 1 A DB为等边三角形， 1 60DAB故选：C 10 （2009黑龙江）已知正四棱柱 1111 ABCDABC D中， 1 2AAAB，E为 1 AA中点，则异 面直线BE与 1 CD所形成角的余弦值为( ) A 10 10 B 1 5 C 3 10 10 D 3 5 【答案】C 【解析】正四棱柱 1111 ABCDABC D中， 1 2AAAB，E为 1 AA中点， 11 / /BACD， 1 ABE是异面直线BE与 1 CD所形成角， 设 1 22AAAB，则 1 1AE ， 22 112BE
19、 ， 22 1 125AB ， 第 11 页（共 20 页） 222 11 1 1 cos 2 ABBEAE ABE AB BE 521 252 3 10 10 异面直线BE与 1 CD所形成角的余弦值为 3 10 10 故选：C 11 （2018上海）如图，在直三棱柱 111 ABCABC的棱所在的直线中，与直线 1 BC异面的直 线的条数为( ) A1 B2 C3 D4 【答案】C 【解析】在直三棱柱 111 ABCABC的棱所在的直线中， 与直线 1 BC异面的直线有： 11 A B，AC， 1 AA，共 3 条故选：C 12 （2012重庆）设四面体的六条棱的长分别为 1，1，1，1，
20、2和a，且长为a的棱与长 为2的棱异面，则a的取值范围是( ) A(0, 2) B(0, 3) C(1, 2) D(1, 3) 【答案】A 【解析】设四面体的底面是BCD，BCa，1BDCD，顶点为A，2AD 在三角形BCD中，因为两边之和大于第三边可得：02a （1） 取BC中点E，E是中点，直角三角形ACE全等于直角DCE， 第 12 页（共 20 页） 所以在三角形AED中， 2 1( ) 2 a AEED 两边之和大于第三边 2 22 1( ) 2 a 得02a （负值 0 值舍） （2） 由（1） （2）得02a 二填空题（共二填空题（共 5 小题）小题） 13 （2016全国）已知
21、BACD为直二面角，Rt ABCRt ADC，且ABBC，则异面 直线AB与CD所成角的大小为 【答案】 3 【解析】分别取AD、BD、AC的中点E、F、G，连结EF、EG、BG、DG， 设2ABBC，则2ADCD， 1 1 2 EFAB， 1 1 2 EGCD， BGAC，DGAC，BGD是二面角BACD的平面角， BACD为直二面角， 2 BGD ，2BGDG，222BD，1FG， EFG是等边三角形， / /EFAB，/ /EGDC，FEG是异面直线AB与CD所成角， 3 FEG ，异面直线AB与CD所成角为 3 故答案为： 3 14 （2016浙江）如图，已知平面四边形ABCD，3AB
22、BC，1CD ，5AD ， 90ADC，沿直线AC将ACD翻折成ACD，直线AC与BD所成角的余弦的最大 值是 第 13 页（共 20 页） 【答案】 6 6 【解析】如图所示，取AC的中点O，3ABBC，BOAC， 在Rt ACD中， 22 1( 5)6AC 作D EAC，垂足为E， 1530 66 D E 6 2 CO ， 2 16 66 DC CE CA ， 6 3 EOCOCE 过点B作/ /BFAC， 作/ /FEBO交BF于点F， 则E FA C 连接D FFBD为直线AC 与BD所成的角则四边形BOEF为矩形， 6 3 BFEO 22 630 3() 22 EFBO则FED为二面
23、角DCAB的平面角，设为 则 222 303030302510 ()()2cos5cos 626233 D F，cos1时取等号 D B 的最小值 2 106 ()2 33 直线AC与BD所成角的余弦的最大值 6 6 3 26 BF D B 15（2015浙江） 如图， 三棱锥ABCD中，3ABACBDCD，2ADBC， 点M， N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是 【答案】 7 8 【解析】连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME，则/ /MEAN，异面直线AN，CM所 成的角就是EMC， 第 14 页（共 20 页） 2 2AN ，2MEEN，2 2MC ， 又
24、ENNC， 22 3ECENNC， 222 2837 cos 28222 2 EMMCEC EMC EM MC 16 （2015四川）如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，他们所在的平面互相垂直， 动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点， 设异面直线EM与AF所成的角为， 则cos的最大值为 【答案】 2 5 【解析】 根据已知条件，AB，AD，AQ三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴， 建立如图所示空间直角坐标系，设2AB ，则： (0A，0，0)，(1E，0，0)，(2F，1，0)； M在线段PQ上，设(0M，y，2)，02y剟； ( 1, ,2),(2,1,0)EM
25、yAF ； 2 2 cos|cos,| 55 y EM AF y ； 设 2 2 ( ) 55 y f y y ， 22 25 ( ) 5(5)5 y fy yy ； 函数( )25g yy 是一次函数，且为减函数，(0)50g ； ( )0g y在0，2恒成立，( )0fy ； ( )f y在0，2上单调递减； 第 15 页（共 20 页） 0y时，( )f y取到最大值 2 5 17 （2012四川）如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，M、N分别是CD、 1 CC的中点， 则异面直线 1 A M与DN所成的角的大小是 【答案】90 【解析】以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角
26、坐标系设棱长为 2， 则(0D，0，0)，(0N，2，1)，(0M，1，0)， 1(2 A，0，2)，(0DN ，2，1)， 1 ( 2AM ， 1，2) 1 0DN AM ， 所以 1 DNAM， 即 1 A MD N， 异面直线 1 A M与DN所成的角的大小是90， 故答案为：90 三解答题（共三解答题（共 5 小题）小题） 第 16 页（共 20 页） 18 （2019上海）如图，在正三棱锥PABC中，2,3PAPBPCABBCAC （1）若PB的中点为M，BC的中点为N，求AC与MN的夹角； （2）求PABC的体积 解： （1）M，N分别为PB，BC的中点，/ /MNPC， 则PCA
27、为AC与MN所成角， 在PAC中，由2PAPC，3AC ， 可得 222 33 cos 24223 PCACPA PCA PC AC ， AC与MN的夹角为 3 arccos 4 ； （2）过P作底面垂线，垂直为O，则O为底面三角形的中心， 连接AO并延长，交BC于N，则 3 2 AN ， 2 1 3 AOAN 22 213PO 1133 33 3224 P ABC V 19 （2016上海）将边长为 1 的正方形 11 AAOO（及其内部）绕 1 OO旋转一周形成圆柱，如 图，AC长为 2 3 ，1 1A B长为 3 ，其中 1 B与C在平面 11 AAOO的同侧 第 17 页（共 20 页
28、） （1）求三棱锥 111 CO AB的体积； （2）求异面直线 1 B C与 1 AA所成的角的大小 解： （1）连结 11 O B，则 111111 3 O ABAO B ， 111 O AB为正三角形， 1 1 1 3 4 O A B S， 1 1 11 1 1 1 13 312 C O A BO A B VOOS （2）设点 1 B在下底面圆周的射影为B，连结 1 BB，则 11 / /BBAA， 1 BBC为直线 1 B C与 1 AA所成角（或补角） ， 11 1BBAA， 连结BC、BO、OC， 111 3 AOBAO B ， 2 3 AOC ， 3 BOC ， BOC为正三角形
29、，1BCBO， 1 tan1BBC， 直线 1 B C与 1 AA所成角大小为45 20 （2015新课标）如图，四边形ABCD为菱形，120ABC，E，F是平面ABCD同 一侧的两点，BE 平面ABCD，DF 平面ABCD，2BEDF，AEEC （）证明：平面AEC 平面AFC （）求直线AE与直线CF所成角的余弦值 第 18 页（共 20 页） 【答案】B 【解析】 （）连接BD，设BDACG，连接EG、EF、FG， 在菱形ABCD中，不妨设1BG ，由120ABC，可得3AGGC， BE 平面ABCD，2ABBC，可知AEEC，又AEEC， 所以3EG ，且EGAC，在直角EBG中，可得
30、2BE ，故 2 2 DF ， 在直角三角形FDG中，可得 6 2 FG ， 在直角梯形BDFE中， 由2BD ，2BE ， 2 2 FD ， 可得 22 23 2 2( 2) 22 EF ， 从而 222 EGFGEF，则EGFG， （或由 2 tantan21 2 EB FD EGBFGD BG DG ， 可得90EGBFGD，则)EGFG ACFGG，可得EG 平面AFC， 由EG 平面AEC，所以平面AEC 平面AFC； （）如图，以G为坐标原点，分别以GB，GC为x轴，y轴，|GB为单位长度， 建立空间直角坐标系Gxyz，由（）可得(0A，3，0)，(1E，0，2)， ( 1F ，0
31、， 2 ) 2 ，(0C，3，0)， 即有(1AE ，3，2)，( 1CF ，3， 2 ) 2 ， 故cosAE， 1313 3| |9 6 2 AE CF CF AECF 则有直线AE与直线CF所成角的余弦值为 3 3 第 19 页（共 20 页） 21 （2014湖南）如图，已知二面角MN的大小为60，菱形ABCD在面内，A、 B两点在棱MN上，60BAD，E是AB的中点，DO 面，垂足为O （）证明：AB 平面ODE； （）求异面直线BC与OD所成角的余弦值 【答案】B 【解析】 （1）证明：如图DO 面，AB，DOAB， 连接BD，由题设知，ABD是正三角形， 又E是AB的中点，DEA
32、B，又DODED，AB平面ODE； （）解：/ /BCAD， BC与OD所成的角等于AD与OD所成的角，即ADO是BC与OD所成的角， 由（）知，AB 平面ODE， ABOE，又DEAB，于是DEO是二面角MN的平面角， 从而60DEO，不妨设2AB ，则2AD ，易知3DE ， 在Rt DOE中， 3 sin60 2 DODE ，连AO，在Rt AOD中， 3 3 2 cos 24 OD ADO AD ， 故异面直线BC与OD所成角的余弦值为 3 4 第 20 页（共 20 页） 22 （2010湖南）如图所示，在长方体 1111 ABCDABC D中，1ABAD， 1 2AA ，M是 棱
33、1 CC的中点 （）求异面直线 1 A M和 11 C D所成的角的正切值； （）证明：平面ABM 平面 11 A B M 解： （1）如图，因为 1111 / /C DB A，所以 11 MAB为异面直线 1 A M和 11 C D所成的角， 11 AB 面 11 BCC B 11 90AB M 11 1AB ， 1 2B M 11 tan2MAB 即异面直线 1 A M和 11 C D所成的角的正切值为2 （） 11 AB 面 11 BCC B，BM 面 11 BCC B 11 ABBM 由（1）知 1 2B M ，2BM ， 1 2B B 1 BMB M 1111 ABB MB 由可知BM 面 11 A B M BM 面ABM 平面ABM 平面 11 A B M
